C语言数据结构与算法---最短路径（弗洛伊德算法）

一. 求所有顶点间的最短路径

方法一：每次以一个顶点为源点，重复执行迪杰斯特拉算法 n 次

方法二：使用弗洛伊德算法

两种方法的时间复杂度相同都为 n^3，但是弗洛伊德算法却更为简单

二. 弗洛伊德（Floyd）算法

1. 算法思想

• 逐个顶点试探
• 从 Vi 到 Vj 的所有可能存在的路径
• 选出一条长度最短的路径

步骤：

1. 初始时设置一个 n 阶方阵，令其对角线元素为 0，若存在弧，则对应元素为权值；否则为∞。
   
2. 逐步试着在原直接路径中增加中间顶点，若加入中间顶点后路径变短，则修改之；否则维持原值。所有顶点试探完毕，算法结束。
   
   
   

2. 代码实现

void ShortestPath_Floyd(Graph G, int** Path, int** D)  //Path,D 为二维数组 
{
	int v, w, k;
	for (v = 0; v < G.numv; v++)
	{
		for (w = 0; w < G.numv; w++)
		{
			D[v][w] = G.edge[v][w];  //初始化 D 数组为邻接矩阵
			//若 v 与 w 之间有弧，将 w 的前驱置为 v
			//若 v 与 w 之间没有弧，将 w 的前驱置为 -1
			if (D[v][w] < INFINITY)
			{
				path[v][w] = v;
			}
			else
			{
				path[v][w] = -1;
			}
		}
	}
	for (k = 0; k < G.numv;k++)
	{
		for (v = 0; v < G.numv; v++)
		{
			for(w = 0;w < G.numv; w++)
			{
				if (D[v][w] > D[v][k] + D[k][w]) //如果从 v 经 k 到 w 的路径最短
				{
					D[v][w] = D[v][k] + D[k][w];
					Path[v][w] = Path[v][k];
				}
			}
		}
	}

	//显示最短路径
	printf("各顶点间最短路径如下:\n");    
	for(v = 0; v < G.numv; v++)   
	{        
		for(w = v+1; w < G.numv; w++)  
		{
			printf("v%d-v%d weight: %d ",v,w,D[v][w]);
			k = Path[v][w];		//获得第一个路径的顶点下标
			printf(" path: %d",v);	//打印源点 
			while(k != w)		//如果路径顶点下标不是终点 
			{
				printf(" -> %d",k);	//打印路径顶点 
				k = Path[k][w];	//获得下一个路径顶点下标
			}
			printf(" -> %d\n",w);	//打印终点
		}
		printf("\n");
	}
}