pku2942 (点)双连通分量 求割点 判奇圈
这题还是比较难了，我刷了两天，终于弄懂什么意思了，杯具！
点双连通，指的是，去掉任何一个点以及这个点的临边，都不影响整个图的连通性。可以这样认为，任意两点都有两条完全不同的路可达，也就构成了圈。
题目大意：国王身边有n个骑士，每次开会需要奇数个骑士来开会，会议桌是个圆桌，给出m个点对<A, B>，表示骑士A和B不能坐在一起，问：有多少个骑士，无论如何，不可能坐到会议桌旁，则国王就会开除他们。
分析：想一想，如果骑士A可以做到圆桌旁，得满足两个条件：1. 圆桌上的有奇数个人。2. 圆桌每两个相邻的骑士不hate对方。就可以建一个补图，顶点集合为所有的骑士，如果任意一对骑士可以坐在一起，则可以在图上加上一条边。则如果能找到一个奇圈，则这个圈里的所有人都符合条件，都可以留下。如果某一个骑士，不在任何一个奇圈内，则会被国王开除。
既然是圈，就表示这个圈所表示的子图是个双连通的，而又有一个定理是这样描述的，对于一个（点）双连通分量，如果找到一个奇圈，则这个分量的其他点也必然在某一个奇圈内。这样就好做了，只要找到图的割点，找到所有的双连通分支，判断一下分支中是否存在奇圈，如果存在，则整个分支的点都可以标记为留下，最后那总的点个数，减去可以留下的，剩下的就是要被国王开除的。图的割点可能存在于两个连通分支分支中，但缩点后割点和分支不会再构成双连通分量，也就不会出现分支跨度大于1的奇圈。
上面那个定理只适用于点双连通，不用于边双连通。看图
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点2是割点，就会形成两个双连通分支(1, 2, 3), (2, 4, 5 , 6)，然后用定理可以判断出分支1有奇圈，分支2没有，ans = 6 - 3 = 3。图中没有割边，整个图就一个连通分支，如果用定理就是任意一个点都在某奇圈内，显然4, 5, 6 不可能。所以这个定理用于点双连通。既然如此，这题就用求割点的方法就可以过了。
一个顶点u是割点，当且仅当满足(1)或(2)
(1) u为树根，且u有多于一个子树。
(2) u不为树根，且满足存在(u,v)为树枝边(或称父子边，即u为v在搜索树中的父亲)，使得DFN(u)<=Low(v)。
这里如果是第一种情况，显然去掉树根，就会形成两棵树，也就是说连通分支增加了，u当然就是割点了。
第二种情况，<u, v>为树枝边，如果dfn(u) <= low[v]，说明v以及v的子树最多会有反向边连在u上，绝对不会连通u以前的结点，所以，去掉u后，连通分支增加了，所以u就是割点。
这道题求得是连通分支中的奇圈，第一种情况可以忽略，可以不用考虑，如果第一个点只有一个树枝边，也就是说，第一个点的度为1，那么他就不是割点，但对于这道题没有多大影响，这道题直接用dfs是由于u作为根节点，DFN(u)肯定小于LOW(v)，当误判为割点的时候，也不会找到奇圈，最后还是会被去掉，一个结点不算奇圈的。
在判奇圈的时候有这样一个定理：一个图是二部图当且仅当它不包含奇数环。这样我们就可以先假设是二分图，用交叉染色的方法，初始化一对相邻点异色，依边染色，如果有一点未被染色，相邻点染成异色，如果遇到相邻点都已染色，且为同色，则证明有奇圈，如果，染完整个连通分支都没有遇到相邻点异色的话，就证明没有奇圈。
在处理连通分支的时候，可以在dfs的时候就用栈来保存边，类似Tarjan的方法，如果遇到DFN(U) <= LOW(V)，则u为割点，边出栈即可。
#include<stdio.h>
#include<string.h>
#define NN 1004
#define MM 1000004
int map[NN][NN];
int dfn[NN]; // 深搜标号
int low[NN]; // 能搜到的最小标号
int col[NN];
int odd[NN]; // 保存任意在奇圈的点
int mark[NN];
int idx, n, time, top;
typedef struct node{
int v, vis;
struct node *nxt, *op;// op表示反向边
}NODE;
NODE edg[MM];
NODE *link[NN];
NODE *stack[MM];
int Min(int a, int b){
return a < b ? a : b;
}
void Add(int u, int v){// 加边
edg[idx].v = v;
edg[idx].vis = 0;
edg[idx].nxt = link[u];
edg[idx].op = edg + idx + 1;
link[u] = edg + idx++;
edg[idx].v = u;
edg[idx].vis = 0;
edg[idx].nxt = link[v];
edg[idx].op = edg + idx - 1;
link[v] = edg + idx++;
}
int find(int u){//用交叉染色的方法查找奇圈
int v;
for (NODE *p = link[u]; p; p = p->nxt){
v = p->v;
if (mark[v]){
if (col[v] == -1){
col[v] = !col[u];
return find(v);
}else if (col[v] == col[u]){// 如果相邻两点同色，说明有奇圈
return 1;
}
}
}
return 0;
}
void Col(int u){// 取出分支的点，并着色
int i;
NODE *p;
memset(mark, 0, sizeof(mark));
do{// 先将分支中的点用mark[]标记一下
p = stack[top];
mark[p->v] = 1;
mark[p->op->v] = 1;
top--;
}while(p->op->v != u);
memset(col, -1, sizeof(col));
col[u] = 0;
if (find(u)){// 如果有奇圈
for (i = 1; i <= n; i++){
if (mark[i]) odd[i] |= 1; // 如果点i在任意奇圈内，都可以用odd[]标记
}
}
}
void dfs(int u){
int v;
dfn[u] = low[u] = ++time;
for (NODE *p = link[u]; p; p = p->nxt){
v = p->v;
if (p->vis) continue;
p->vis = p->op->vis = 1; // 将反向边也置1，无向边只走一次
stack[++top] = p;
if (!dfn[v]){
dfs(v);
low[u] = Min(low[u], low[v]);
if (dfn[u] <= low[v]){ // u为割点的条件
Col(u);
}
}else{
low[u] = Min(low[u], dfn[v]);
}
}
}
void Solve(){
int cnt, i;
time = 0;
top = 0;
memset(odd, 0, sizeof(odd));
memset(dfn, 0, sizeof(dfn));
memset(low, 0, sizeof(low));
for (i = 1; i <= n; i++)
if(!dfn[i]) // 图有可能不连通
dfs(i);
cnt = 0;
for (i = 1; i <= n; i++){
if (odd[i]) cnt++;
}
printf("%d\n", n - cnt);
}
int main()
{
int m, i, j, u, v;
while(scanf("%d%d", &n, &m) != EOF){
if (n == 0 && m == 0) break;
for(i = 1; i <= n; i++){
for(j = 1; j <= n; j++){
map[i][j] = 1;
}
}
while(m--){
scanf("%d%d", &u, &v);
map[u][v] = map[v][u] = 0;
}
memset(link, 0, sizeof(link));
for(i = 1; i <= n; i++){// 建补图
for(j = 1; j < i; j++){
if (map[i][j] == 1) Add(i, j);
}
}
Solve();
}
return 0;
}