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为了方便起见，这些模型通常简称为TAR模型。这些模型捕获了线性时间序列模型无法捕获的行为，例如周期，幅度相关的频率和跳跃现象。Tong和Lim（1980）使用阈值模型表明，该模型能够发现黑子数据出现的不对称周期性行为。
一阶TAR模型的示例：
σ是噪声标准偏差，Yt-1是阈值变量，r是阈值参数， {et}是具有零均值和单位方差的iid随机变量序列。
每个线性子模型都称为一个机制。上面是两个机制的模型。
考虑以下简单的一阶TAR模型：
#低机制参数
i1 = 0.3
p1 = 0.5
s1 = 1
#高机制参数
i2 = -0.2
p2 = -1.8
s2 = 1
thresh = -1
delay = 1
#模拟数据
y=sim(n=100,Phi1=c(i1,p1),Phi2=c(i2,p2),p=1,d=delay,sigma1=s1,thd=thresh,sigma2=s2)$y
#绘制数据
plot(y=y,x=1:length(y),type='o',xlab='t',ylab=expression(Y\[t\])
abline(thresh,0,col="red")
TAR模型_框架_是原始TAR模型的修改版本。它是通过抑制噪声项和截距并将阈值设置为0来获得的：
_框架_的稳定性以及某些规律性条件意味着TAR的平稳性。稳定性可以理解为，对于任何初始值Y1，_框架_都是有界过程。
在[164]中：
#使用不同的起点检查稳定性
startvals = c(-2, -1.1,-0.5, 0.8, 1.2, 3.4)
count = 1
for (s in startvals) {
ysk\[1
} else {
ysk\[i\] = -1.8*ysk\[i-1\]
}
count = count + 1
}
#绘制不同实现
matplot(t(x),type="l"
abline(0,0)
Chan和Tong（1985）证明，如果满足以下条件，则一阶TAR模型是平稳的
一般的两机制模型写为：
在这种情况下，稳定性更加复杂。然而，Chan and Tong（1985）证明，如果
模型估计
一种方法以及此处讨论的方法是条件最小二乘（CLS）方法。
为简单起见，除了假设p1 = p2 = p，1≤d≤p，还假设σ1=σ2=σ。然后可以将TAR模型方便地写为
如果Yt-d> r，则I（Yt-d> r）= 1，否则为0。CLS最小化条件残差平方和：
在这种情况下，可以根据是否Yt-d≤r将数据分为两部分，然后执行OLS估计每个线性子模型的参数。
如果r未知。
在r值范围内进行搜索，该值必须在时间序列的最小值和最大值之间，以确保该序列实际上超过阈值。然后从搜索中排除最高和最低10％的值
- 在此受限频带内，针对不同的r = yt值估算TAR模型。
- 选择r的值，使对应的回归模型的残差平方和最小。
#找到分位数
lq = quantile(y,0.10)
uq = quantile(y,0.90)
#绘制数据
plot(y=y,x=1:length(y),type='o',xlab='t'abline(lq,0,col="blue")
abline(uq,0,col="blue")
#模型估计数
sum( (lq <= y ) & (y <= uq) )80
如果d未知。
令d取值为1,2,3，...，p。为每个d的潜在值估算TAR模型，然后选择残差平方和最小的模型。
Chan（1993）已证明，CLS方法是一致的。
最小AIC（MAIC）方法
由于在实践中这两种情况的AR阶数是未知的，因此需要一种允许对它们进行估计的方法。对于TAR模型，对于固定的r和d，AIC变为
然后，通过最小化AIC对象来估计参数，以便在某个时间间隔内搜索阈值参数，以使任何方案都有足够的数据进行估计。
#估算模型
#如果知道阈值
#如果阈值尚不清楚
#MAIC 方法
for (d in 1:3) {
if (model.tar.s$AIC < AIC.best) {
AIC.best = model.tar.s$AIC
model.best$d = d
model.best$p1 = model.tar.s
ar.s$AIC, signif(model.tar.s$thd,4)
AICM
非线性测试
1.使用滞后回归图进行目测。
绘制Yt与其滞后。拟合的回归曲线不是很直，可能表明存在非线性关系。
在[168]中：
lagplot(y) 
2.Keenan检验：
考虑以下由二阶Volterra展开引起的模型：
其中{ϵt} 的iid正态分布为零均值和有限方差。如果η=0，则该模型成为AR（mm）模型。
可以证明，_Keenan_检验等同于回归模型中检验η=0：
其中Yt ^ 是从Yt-1，...，Yt-m上的Yt回归得到的拟合值。
3. Tsay检验：
_Keenan_测试的一种更通用的替代方法。用更复杂的表达式替换为Keenan检验给出的上述模型中的项η（∑mj = 1ϕjYt-j）2。最后对所有非线性项是否均为零的二次回归模型执行F检验。
在[169]中：
#检查非线性: Keenan, Tsay
#Null is an AR model of order 1
Keenan.test(y,1)$test.stat
90.2589565661567
$p.value
1.76111433596097e-15
$order
1在[170]中：
Tsay.test(y,1)$test.stat
71.34
$p.value
3.201e-13
$order
14.检验阈值非线性
这是基于似然比的测试。
零假设是AR（pp）模型；另一种假设是具有恒定噪声方差的p阶的两区域TAR模型，即σ1=σ2=σ。使用这些假设，可以将通用模型重写为
零假设表明ϕ2,0 = ϕ2,1 = ... = ϕ2，p = 0。
似然比检验统计量可以证明等于
其中n-p是有效样本大小，σ^ 2（H0）是线性AR（p）拟合的噪声方差的MLE，而σ^ 2（H1）来自TAR的噪声方差与在某个有限间隔内搜索到的阈值的MLE。
H0下似然比检验的采样分布具有非标准采样分布；参见Chan（1991）和Tong（1990）。
在[171]中：
res = tlrt(y, p=1, d=1, a=0.15, b=0.85)
res$percentiles
14.1
85.9
$test.statistic
: 142.291963130459
$p.value
: 0模型诊断
使用残差分析完成模型诊断。TAR模型的残差定义为
标准化残差是通过适当的标准偏差标准化的原始残差：
如果TAR模型是真正的数据机制，则标准化残差图应看起来是随机的。可以通过检查标准化残差的样本ACF来检查标准化误差的独立性假设。
#模型诊断
diag(model.tar.best, gof.lag=20)
预测
预测分布通常是非正态的。通常，采用模拟方法进行预测。考虑模型
然后给定Yt = yt，Yt-1 = yt-1，...
因此，可以通过从误差分布中绘制et + 1并计算h（yt，et + 1），来获得单步预测分布的Yt + 1的实现。 。
通过独立重复此过程 B 次，您可以 从向前一步预测分布中随机获得B值样本 。
可以通过这些B 值的样本平均值来估计提前一步的预测平均值 。
通过迭代，可以轻松地将仿真方法扩展为找到任何l步提前预测分布：
其中Yt = yt和et + 1，et + 2，...，et + l是从误差分布得出的ll值的随机样本。
在[173]中：
#预测
model.tar.pred r.best, n.ahead = 10, n.sim=1000)
y.pred = ts(c
lines(ts(model.tar.pred$pred.interval\[2,\], start=end(y) + c(0,1), freq=1), lty=2)
lines(ts(model
样例
这里模拟的时间序列是1700年至1988年太阳黑子的年数量。
在[174]中：
#数据集
#太阳黑子序列，每年
plot.ts(sunsp
#通过滞后回归图检查非线性
lagplot(sunspo)
#使用假设检验检查线性
Keenan.test(sunspot.year)
Tsay.test(sunspot.year)$test.stat
18.2840758932705
$p.value
2.64565849317573e-05
$order
9
$test.stat
3.904
$p.value
6.689e-12
$order
9在[177]中：
#使用MAIC方法
AIC{
sunspot.tar.s = tar(sunspot.year, p1 = 9, p2 = 9, d = d, a=0.15, b=0.85)
AICM
在[178]中：
#测试阈值非线性
tl(sunspot.year, p=9, d=9, a=0.15, b=0.85)$percentiles
15
85
$test.statistic
: 52.2571950943405
$p.value
: 6.8337179274236e-06#模型诊断
tsdiag(sunspot.tar.best)
#预测
sunspot.tar.pred <- predict(sunspot.tar.best, n.ahead = 10, n.sim=1000)
lines(ts(sunspot.tar.pred$pretart=e
#拟合线性AR模型
#pacf(sunspot.year)
#尝试AR阶数9
ord = 9
ar.mod <- arima(sunspot.year, order=c(ord,0,0), method="CSS-ML")
plot.ts(sunspot.year\[10:289\]
模拟TAR模型上的AR性能
_示例1._ 将AR（4）拟合到TAR模型
set.seed(12349)
#低机制参数
i1 = 0.3
p1 = 0.5
s1 = 1
#高机制参数
i2 = -0.2
p2 = -1.8
s2 = 1
thresh = -1
delay = 1
nobs = 200
#模拟200个样本
y=sim(n=nobs,Phi1=c(i1,p1),Phi$y
#使用Tsay的检验确定最佳AR阶数
ord <- Tsay.test(y)$order
#线性AR模型
#pacf(sunspot.year)
#try AR order 4
_例子2._ 将AR（4）拟合到TAR模型
_例子3._ 将AR（3）拟合到TAR模型
_例子3._ 将AR（7）拟合到TAR模型
参考文献
恩德斯（W. Enders），2010年。应用计量经济学时间序列
最受欢迎的见解
1.在python中使用lstm和pytorch进行时间序列预测
2.python中利用长短期记忆模型lstm进行时间序列预测分析