【动态规划】最大子段和

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首发日期：2022年5月7日星期六
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1️⃣问题引入（恒生电子笔试题）

输入一个整型数组，数组里有正数也有负数。数组中连续的一个或多个整数组成一个子数组，每个子数组都
有一个和。求所有子数组的和的最大值。要求时间复杂度为O(n)。
例如输入的数组为1，-2，3，10，-4，7，2，-5，和最大的子数组为3，10，-4，7，2，因此输出为该子数组的 和18。

2️⃣问题描述

• 给定n个整数（可能是负数）组成的序列a[1], a[2], a[3], …, a[n]，求该序列 的子段和，例如a[i]+a[i+1]+…+a[j]的最大值
• 当所给的整数均为负数时定义子段和为0，依此定义，所求的最优值为： max{0, a[i]+a[i+1]+…+a[j]}, 1<=i<=j<=n
• 例如，当（a[1],a[2],a[3],a[4],a[5],a[6]）=(-2,11,-4,13,-5,-2)时，最大子段 和为20，即 20 = 11 + (-4) + 13

3️⃣两种设计方法

• 以a1开始：{a1 }, {a1 ,a2 }, {a1 ,a2 ,a3 }……{a1 ,……an }，共n个
• 以a2开始：{a2 }, {a2 ,a3 }, {a2 ,a3 ,a4 }……{a2 ,……an }，共n-1个
• …
• 以an开始：{an }，共1个

一共有（n+1)*n/2个连续字串

穷举法

对所有的(i,j)对，顺序求和a[i]+...+a[j]并比较出最大的和

时间复杂度：O(n^3 )

import java.util.Scanner;

public class Main1 {

	public static void main(String[] args) {
		Scanner scanner=new Scanner(System.in);
		int n=scanner.nextInt();
		int[] num=new int[n];
		for(int i=0;i<n;++i) {
			num[i]=scanner.nextInt();
		}	
		int max=Solve(num);
		System.out.println(max);
		scanner.close();
	}

    //穷举法
	private static int Solve(int[] num) {
		int len=num.length;
		int max=0;
		for(int i=0;i<len;++i) {
			for(int j=i;j<len;++j) {
				int t=0;
				for(int k=i;k<=j;++k) {
					t+=num[k];
				}
				if(t>max) {
					max=t;
				}
			}
		}
		return max;
	}
}

算法改进

时间复杂度：O(n^2)

private static int SloveImp(int[] num) {
		int len=num.length;
		int max=0;
		for(int i=0;i<len;++i) {
			int t=0;
			for(int j=i;j<len;++j) {
				t+=num[j];
				if(t>max) {
					max=t;
				}
			}
		}
		return max;
	}

动态规划法

• 若记b[j]=max(a[i]+a[i+1]+..+a[j])，b[j]表示以a[j]作为最后一个元素的最 大子段和，其中1<=i<=j，并且1<=j<=n，则所求的最大子段和为 max{b[j]}，1<=j<=n

• 由b[j]的定义可易知，当b[j-1]>0时b[j]=b[j-1]+a[j]，否则b[j]=a[j]。故 b[j]的动态规划递归式为:

b[j]=max(b[j-1]+a[j], a[j])，1<=j<=n

时间复杂度：O(n)

例题：HNUCM-OJ最大字段和

private static int DpSolve(int[] num) {
		int len=num.length;
		int max=-99999;
		int b[]=new int[len];
		b[0]=num[0];
		for(int i=1;i<len;++i) {
			if(b[i-1]>0) {
				b[i]=b[i-1]+num[i];
			}else {
				b[i]=num[i];
			}
			if(b[i]>max) {
				max=b[i];
			}
		}
		return max;
	}

4️⃣升级版最大字段和

例题：HNUCM-OJ最大字段和升级版

输出最大子段和，以及子段的起始位置和结束位置：

例如：输入数组(6,-1,5,4,-7)，输出14, 1, 4，其中14表示最大子段和，1 表示和最大的子段从第1个数字开始，4表示和最大的子段到第4个数字结 束，即(6, -1 , 5, 4)

import java.util.Scanner;

public class Main {

	public static void main(String[] args) {
		Scanner scanner=new Scanner(System.in);
		int n;
		int num[];
		int []b;
		int end;
		int max;
		while(scanner.hasNext()) {
			n=scanner.nextInt();
			num=new int[n];
			for(int i=0;i<n;++i) {
				num[i]=scanner.nextInt();
			}
			//dp数组
			b=new int[n];
			b[0]=num[0];
			//记录结束位置
			end=0;
			//最大值初始值为第一个元素
			max=num[0];
            
			//动态规划
			for(int i=1;i<n;++i) {
				if(b[i-1]>0) {
					b[i]=b[i-1]+num[i];
				}else {
					b[i]=num[i];
				}
				if(b[i]>max) {
					max=b[i];
					end=i;
				}
			}
			
			int k=max;
			//记录起始位置
			int begin=0;
			//当k==0时，说明找到了起始位置点
			for(int i=end;k!=0;--i) {
				k-=num[i];
				begin=i;
			}
			System.out.println(max+" "+(begin+1)+" "+(end+1));			
		}
		scanner.close();
	}
}

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