[机器学习导论]——第五课——支持向量机SVM

第五课——支持向量机SVM

一、约束优化知识复习

约束优化问题与KKT条件

约束优化问题由如下三部分组成

目标函数
变量
约束条件

目标：找到满足约束条件的变量，使得目标函数的值达到最大或最小。

对于一般的约束优化问题
$$\begin{gathered} \text{min}f(x) \\ s.t.g_j(x)=0,j=1,2,...,n \\ {h}_i(x)\le 0,i=1,2,...,m \end{gathered}$$
通过引入新的变量和a，将所有的等式、不等式约束以及()构造拉格朗日函数：
$$L(x,\lambda ,a)=f(x)+\sum _j{a}_j{g}_j(x)+\sum _i{\lambda }_i{h}_i(x)$$
其最优解$x^{\ast }$满足KKT条件(Kuhn-Tucker conditions)

KKT(Karush-Kuhn-Tucker)条件，是非线性规划领域里最重要的理论成果之一，是确定某点为极值点的必要条件。对于凸规划，KKT点就是优化极值点(充分必要条件)。

如果一个点x是满足所有约束的极值点，那么该点x就要满足一下所有条件，即KKT条件

对朗格朗日乘子λ分两种情况
KaTeX parse error: No such environment: align at position 8: \begin{̲a̲l̲i̲g̲n̲}̲ &\lambda_i\ge0…
对于下图：

KaTeX parse error: No such environment: align at position 8: \begin{̲a̲l̲i̲g̲n̲}̲ &L(u,\lambda)=…

对偶问题

通过拉格朗日乘子可以将约束优化问题转化为对偶问题(将参数转为拉格朗日乘子)。

主问题最小化->对偶问题最大化；或者主问题最大化->对偶问题最小化

当优化问题的对偶形式更容易求解时，使用对偶方程进行求解

对于主问题
KaTeX parse error: No such environment: align at position 8: \begin{̲a̲l̲i̲g̲n̲}̲ &\underset{w}{…
利用拉格朗日乘子得到无约束优化问题
$$L(w,\alpha )=f_0(w)+\sum _{i=1}^k{\alpha }_i{f}_i(w)$$
定理
$$ifw满足主问题约束，\underset{{\alpha }_i\ge 0}{\max }L(w,\alpha )=f_0(w)$$

即，当有拉格朗日乘子约束时，$$L(w，\alpha )的最大值为f_0(x)$$

主问题重写为${\text{min}}_w{\text{max}}_{a_i\ge 0}L(w,\alpha )$

上述主问题的对偶问题为${\text{max}}_{a_i\ge 0}{\text{min}}_{w}L(w,\alpha )$

弱对偶性
$$d={\text{max}}_{a_i\ge 0}{\text{min}}_{w}L(w,\alpha )\le {\text{min}}_w{\text{max}}_{a_i\ge 0}L(w,\alpha )=p$$
强对偶性:=p(当主问题为凸优化问题)

实例说明

KaTeX parse error: No such environment: align at position 8: \begin{̲a̲l̲i̲g̲n̲}̲ &L(u,\lambda)=…

二、SVM问题

SVM简介

支持向量机（Support Vector Machines）最早在上世纪90 年代由Vapnik 等人提出

在深度学习时代（2012）之前，SVM被认为机器学习中近十几年来最成功，表现最好的算法。

在手写字符识别上，测试误差仅为 1.1% (1994)

LeNet（784-192-30-10）, 测试误差为 0.9% （1998）

最近的卷积神经网络模型，测试误差大约为 0.6%

问题的引入

❓ 针对二分类问题，给定线性可分的训练样本，可以找到很多的超平面将训练样本分开，那么哪一个划分超平面是最优的？

我们可以定义线性分类器的“间隔margin”：到击中边界可以增加的宽度

宽度越大说明分类面越好，可以容忍更多的噪声

线性可分SVM

线性可分SVM选择具有“最大间隔”的分类超平面。

线性可分SVM的核心：学习一个具有最大间隔的划分超平面

使用超平面方程$w^{T}x+b=0$表示分类面，$w^{T}x+b=\pm 1$表示支持面

分类面由穿过支持面的样本点决定

一开始并不知道那些样本点是支持向量

样本的标签被设置为了-1和+1

训练时使用训练集训练出w和b，然后测试时根据$w^T+b$的值大于0还是小于0来判断是属于+1类还是-1类

SVM要求两类支持面的距离 M 尽可能大

间隔M建模

向量w与支持面、分类面正交：x₁和x₂是+1类的样本点

使用w和b对M建模

因为$a^{T}b=||a||\Vert |b||\text{cos}\theta$，这里的θ=0

则有

问题简化为求两个支持面与w的两个交点x⁺与x^-之间的距离

M表达式如下
$$marginM=||x^{+}-x^{-}||=\frac{2}{||w||}$$

SVM问题建模

这样，最大间隔问题转化成优化问题
$$\text{max}\frac{2}{||w||}\iff \text{min}||w|{|}^2$$
该目标的约束条件为

将约束条件(loss function)简化为
$$y_i({w\text{w}w}^T{x\text{x}x}_i+b)\ge 1$$
最终，寻找具有最大间隔的划分超平面转化成如下约束问题

约束里的等号仅在穿过支持面的点（支持向量）处成立

因为最大间隔通过支持面得到，所以不难理解分类超平面仅由支持向量决定

线性可分SVM是一个凸二次规划问题

SVM的对偶问题

对应的朗格朗日函数如下：
$$L(w,b,\alpha )=\frac{1}{2}{w\text{w}w}^{T}w\text{w}w-\sum _{i=1}^N{\alpha }_i(y_i({w\text{w}w}^T\cdot {x\text{x}x}_i+b)-1)\forall i,{\alpha }_i\ge 0$$
最小化伤处拉格朗日：对w和b求偏导，并且令偏导为0，则有
$$\begin{gathered} {\nabla }_{w}L(w,b,\alpha )=w-\sum _{i=1}^N{\alpha }_i{y}_i{x}_i=0 \\ {\nabla }_{b}L(w,b,\alpha )=\sum _{i=1}^N{\alpha }_i{y}_i=0 \end{gathered}$$
将$w={\sum }_{i=1}^N{\alpha }_i{y}_i{x}_i，{\sum }_{i=1}^N{\alpha }_i{y}_i=0$带入朗格朗日函数中，得到对偶问题：
KaTeX parse error: No such environment: align at position 66: …alpha)\\ \begin{̲a̲l̲i̲g̲n̲}̲L(w,b,\alpha) &…
对偶问题
$$\begin{gathered} \underset{{\alpha }_i}{\max }\{\sum _{i=1}^N{\alpha }_i-\frac{1}{2}\sum _{i,j=1}{\alpha }_i{\alpha }_j{y}_i{y}_j({x\text{x}x}_i^T{x\text{x}x}_j)\} \\ s.t.\sum _{i=1}^N{\alpha }_i{y}_i=0{\alpha }_i\ge 0 \end{gathered}$$
解出${\alpha }_i$后，利用$w={\sum }_{i=1}^N{\alpha }_i{y}_i{x}_i$得到w

最后，通过支持向量得到b

由原问题的KKT条件
$$\begin{gathered} {\alpha }_i\ge 0 \\ 1-y_i(w^T{x}_i+b)\le 0 \\ {\alpha }_i(1-y_i(w^T{x}_i+b))=0 \end{gathered}$$
则当${\alpha }_i\ge 0$时，此时约束条件起作用，$1-y_i(w^T{x}_i+b)=0$从而可以解得b

理论上，可通过任意一个支持向量获得b; 但实际中，通常使用所有支持向量的平均值

在求得模型参数 w,b 后，对于一个测试样本$x_{test}$ ，可通过下式分类
$$\hat{y}=\text{sign}(w^T{x}_{test}+b)=\text{sign}(\sum _i^n{\alpha }_i{y}_i{x}_i^T{x}_{test}+b)$$
依据KKT条件，仅支持向量的的拉格朗日系数不为0，所以分类决策可简化为
$$\hat{y}=\text{sign}(\sum _{i\in SupportVectors}{\alpha }_i{y}_i{x}_i^T{x}_{test}+b)$$

对偶问题的约束条件比主问题的约束条件简单，然而，对偶问题的规模正比于训练样本数。

SMO (Sequential Minimal Optimization) 序列最小优化算法是求解对偶问题的高效算 法

省事起见，可以调用Python中CVXOPT凸优化包求解

SMO算法思想

基本思路：固定${\alpha }_i$之外的所有参数，关于${\alpha }_i$求极值

基本步骤：在初始化参数之后，不断执行如下两个步骤直至收敛

1️⃣选取一对需要更新的变量和

2️⃣固定和以外的参数，求解更新后的和
$${\alpha }_i{y}_i+{\alpha }_j{y}_j=-\sum _{k\ne i,j}{\alpha }_k{y}_k=c$$
利用${\alpha }_i{y}_i+{\alpha }_j{y}_j=c$，得到关于的单变量二次规划问题，从而解出的闭式解。

举例说明——重要

$W(\alpha )$是拉格朗日函数

1️⃣ 对${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3,{\alpha }_4$赋予初值

2️⃣ 每次更新两个变量：以${\alpha }_2,{\alpha }_3$为例

${\alpha }_2-{\alpha }_3={\alpha }_4-{\alpha }_1=C\Rightarrow {\alpha }_2={\alpha }_3+C$

3️⃣ 将${\alpha }_2={\alpha }_3+C$带入到$W(\alpha )$中
$$W(\alpha )=关于{\alpha }_3的开口向上函数$$
从而能得到${\alpha }_3$和${\alpha }_2$

❓ 如何选择更新的两个变量？

选择一个${\alpha }_i$

误差$E_i=f(x_i)-y_i$

让$|E_i-E_j|$最大的${\alpha }_j$为另一个

得出来${\alpha }_1，{\alpha }_2，{\alpha }_3，{\alpha }_4$则可进行下一步

例如得到${\alpha }_1=0，{\alpha }_2=4，{\alpha }_3=3，{\alpha }_4=1$
$$w=4\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]-3\left[\begin{array}{c}2\\ 0\end{array}\right]-\left[\begin{array}{c}0\\ 2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}-2\\ -2\end{array}\right]$$

使用支持向量$x_4$
$$1-y_4(w^T{x}_4+b)=0\Rightarrow b=3$$
则有
$$f(x)=w^{T}x+b=\left[\begin{array}{c}-2\\ -2\end{array}\right]x+3$$
得到了$f(x)$就可以根据$x_{text}$进行判断

SVM性质

超平面法向量是支持向量的线性组合：仅支持向量的${\alpha }_i\ne 0$

1️⃣ 鲁棒性强：SVM模型完全依赖于支持向量(SupportVectors),即使训练集里面所有非支持向量的点都被去除，重复训练过程，结果仍然会得到完全一样的模型。

2️⃣ 泛化能力强：支持向量个数通常较小，模型容易被泛化。

3️⃣ 不会出现维数灾难：对偶问题只给样本标记分配参数，而不是特征。

4️⃣ 对大规模训练样本难以实施：对偶问题的规模正比于训练样本数，在实际任务中造成很大开销

三、线性不可分SVM

松弛变量引入

SVM假定存在一个超平面能将不同类的样本完全划分开

但通常情况并非如此：因为会产生噪声(noise),异常值（outlier）

解决：通过惩罚错误分类的数目对问题建模
$$\text{min}{w}^{T}w/2+C\ast (\#mistakes)$$
为了使问题变得可解，引入松弛变量，使得距离间隔在加入松弛变量后满足约束条件

新的优化问题为（软-SVM）：
$$\underset{w,b,{ϵ}_i}{\min }{w}^{T}w/2+C\sum _{i=1}^n{ϵ}_i$$
约束条件
$$\begin{gathered} w^T{x}_i+b+{ϵ}_i\ge +1(\forall x_i\in +1) \\ {w}^T{x}_i+b-{ϵ}_i\le -1(\forall x_i\in -1) \\ {ϵ}_i\ge 0(\forall i) \end{gathered}$$
仍然是一个二次规划问题

模型选择——正则化常数C

C取较大值时，表示对误分类有较大的惩罚：训练误差小，但间隔也小

C取较小值时，表示对误分类的惩罚较小：训练误差大，但是间隔也大

所以需要选择一个合适的C，通常使用交叉验证法进行选择

四、SVM进阶

软分类SVM

	SVM	软SVM
主问题
约束
对偶问题

软-SVM的对偶问题

1️⃣${\alpha }_i=0,{\mu }_i=0,{ϵ}_i=0\Rightarrow y_i(w^T{x}_i+b)-1>0$

2️⃣$0<{\alpha }_i<C,0<{\mu }_i<C,{ϵ}_i=0\Rightarrow y_i(w^T+b)=1$

KaTeX parse error: No such environment: align at position 8: \begin{̲a̲l̲i̲g̲n̲}̲ &L(w,b,ε_i,\al…
于是有:
KaTeX parse error: No such environment: align at position 8: \begin{̲a̲l̲i̲g̲n̲}̲ & w=\sum_{i=1}…
带入原朗格朗日函数可得：
KaTeX parse error: No such environment: align at position 8: \begin{̲a̲l̲i̲g̲n̲}̲ L&=\frac{1}{2}…

对于约束条件有：
$$\begin{gathered} \forall i,{\alpha }_i\ge 0,{\mu }_i\ge 0,{\alpha }_i+{\mu }_i=C \\ \sum _{i=1}^n{\alpha }_i{y}_i=0 \end{gathered}$$
可得：
$$\begin{gathered} C\ge {\alpha }_i\ge 0,\forall i \\ \sum _{i=1}^n{\alpha }_i{y}_i=0 \end{gathered}$$
综上，软-SVM主问题的对偶问题如下：
$$\begin{gathered} \underset{\alpha }{\max }\sum _{i=1}^n{\alpha }_i-\frac{1}{2}\sum _{i,j}{\alpha }_i{\alpha }_j{y}_i{y}_j{x\text{x}x}_i^T{x\text{x}x}_j \\ C\ge {\alpha }_i\ge 0,\forall i \\ \sum _{i=1}^n{\alpha }_i{y}_i=0 \end{gathered}$$

软-SVM对偶问题的解中，支持向量(>0)有两类

1️⃣ 支持面上的训练样本=0：
$$\begin{gathered} y_i({x\text{x}x}_i\cdot w\text{w}w+b)=1 \\ 0<{\alpha }_i<C \end{gathered}$$
2️⃣ 违背硬约束的训练样本>0
$$\begin{gathered} y_i({x\text{x}x}_i\cdot w\text{w}w+b)<1 \\ {\alpha }_i=C \end{gathered}$$

对于测试样本，仍然使用如下公式进行预测
$$\hat{y}=\text{sign}(\sum _{i\in SupportVectors}{\alpha }_i{y}_i{x}_i^T{x}_{test}+b)$$

软-SVM的高效求解

合二为一：通过惩罚错误分类的数目对问题建模
$$\text{min}{w}^{T}w/2+C\ast (\#mistakes)$$
等价于
$$\text{min}{w}^{T}w/2+C\ast \sum _{i=1}^n{\ell }_{0/1}(y_i(w^T{x}_i+b))$$

其中，${\ell }_{0/1}$是“0/1”损失函数

${\ell }_{0/1}$非凸、非连续，数学性质不好。可使用如下三种替代损失

利用hinge 损失

将其写成一种“更自然”的形式

更一般形式的目标函数

使用（子）梯度下降求解目标函数

随机近似 （随机选择一个样本点）

若$y_i(w^T{x}_i+b)<1$:

若$y_i(w^T{x}_i+b)\ge 1$:

hinge loss子梯度
$$\frac{dl}{dz}=\{\begin{array}{ll}-1,& z<1\\ 0,& z\ge 0\end{array}$$

对于指数损失有：

对于对率损失有：

佩加索斯（Pegasos）算法

算法核心：下降步长${\eta }_t$和下降方向（子梯度方向）

使用 Pegasos算法解SVM原始问题具有以下优点

简单、高效

适用于大规模训练样本问题

基于随机梯度下降，收敛速度较快，比SMO算法快很多

虽然是近似算法，但具有较高的精度

缺点：训练速度受样本向量维度影响

代码实现

SVM实现垃圾邮件分类

import numpy as np
import scipy.io
import math


def load_data():
    # 读取数据
    train_set = scipy.io.loadmat('./svm-data/spamTrain.mat')  # 4000条
    test_set = scipy.io.loadmat('./svm-data/spamTest.mat')  # 1000条

    train_x = np.mat(train_set['X'])  # 4000*1899(每条数据是一个1899维的向量)
    train_y = []  # 4000*1 代表标签
    for item in train_set['y']:
        if item[0] == 0:
            train_y.append([-1])
        else:
            train_y.append([1])
    train_y = np.mat(train_y)
    test_x = np.mat(test_set['Xtest'])  # 1000*1899
    test_y = []  # 1000*1 代表标签
    for item in test_set['ytest']:
        if item[0] == 0:
            test_y.append([-1])
        else:
            test_y.append([1])
    test_y = np.mat(test_y)

    # 源数据的标签y是1/0，需要转化成1/-1才能套用之前的公式
    return train_x, train_y, test_x, test_y


def get_target_value(x_i, y_i, w, lmbda, b):
    # 随机近似
    max = 0 if 0 > 1-y_i*(w.T*x_i+b) else 1-y_i*(w.T*x_i+b)
    value = lmbda*w.T*w/2+max
    return np.array(value)[0][0]


class SVM_Pegasos:
    def __init__(self, n):
        # 初始化
        self.w = np.zeros((n, 1))  # n*1
        self.b = np.zeros((1, 1))
        self.X_train, self.Y_train,  self.X_test, self. Y_test = load_data()

    def train_by_hinge(self, T, C, n):
        """
        使用hinge损失函数
        T：随机选取的数据长度
        C：参数
        n：向量维度
        """
        X_train = self.X_train
        Y_train = self.Y_train
        w = self.w
        b = self.b
        choose = np.random.randint(low=0, high=4000, size=T)
        # 产生一组长度为T的[0, 4000)随机自然数序列(有重复)，用于随机挑选样本
        t = 0
        lmbda = 1 / (n * C)
        target_function_value = []
        for i in choose:
            t += 1
            x_i = X_train[i].T  # .T表示转置
            y_i = float(Y_train[i])
            eta = 1.0/(lmbda*t)
            constraint = y_i*(w.T*x_i+b)
            if constraint < 1:
                w = w - w/t + eta * y_i * x_i
                b = b + eta * y_i
            else:
                w = w - w/t
            # 求目标函数的值
            value = get_target_value(x_i, y_i, w, lmbda, b)
            target_function_value.append(value)
        self.w = w
        self.b = b
        return target_function_value

    def train_by_exp(self, T, C, n):
        """
        使用指数损失函数
        T：随机选取的数据长度
        C：参数
        n：向量维度
        """
        X_train = self.X_train
        Y_train = self.Y_train
        w = self.w
        b = self.b
        choose = np.random.randint(low=0, high=4000, size=T)
        t = 0
        lmbda = 1 / (n * C)
        target_function_value = []
        for i in choose:
            t += 1
            x_i = X_train[i].T  # .T表示转置
            y_i = float(Y_train[i])
            eta = 1.0/(lmbda*t)
            constraint = -y_i*(w.T*x_i+b)
            if constraint < 3:  # 指数判断
                partial_w = lmbda*w-y_i*x_i*math.exp(constraint)
                partial_b = -y_i * math.exp(constraint)
                w = w-eta*partial_w
                b = b-eta*partial_b
            # 求目标函数的值
            value = get_target_value(x_i, y_i, w, lmbda, b)
            target_function_value.append(value)
        self.w = w
        self.b = b
        return target_function_value

    def train_by_log(self, T, C, n):
        """
        使用对率损失函数
        T：随机选取的数据长度
        C：参数
        n：向量维度
        """
        X_train = self.X_train
        Y_train = self.Y_train
        w = self.w
        b = self.b
        choose = np.random.randint(low=0, high=4000, size=T)
        t = 0
        lmbda = 1 / (n * C)
        target_function_value = []
        for i in choose:
            t += 1
            x_i = X_train[i].T  # .T表示转置
            y_i = float(Y_train[i])
            eta = 1.0/(lmbda*t)
            constraint = -y_i*(w.T*x_i+b)
            if constraint < 3:  # 对数判断
                partial_w = lmbda*w-y_i*x_i * \
                    math.exp(constraint)/(1+math.exp(constraint))
                partial_b = -y_i * \
                    math.exp(constraint)/(1+math.exp(constraint))
                w = w-eta*partial_w
                b = b-eta*partial_b
             # 求目标函数的值
            value = get_target_value(x_i, y_i, w, lmbda, b)
            target_function_value.append(value)
        self.w = w
        self.b = b
        return target_function_value

    def test(self):
        X_test = self.X_test
        Y_test = self.Y_test
        w = self.w
        b = self.b
        predict_result = []
        for item in X_test:
            y_pre = w.T*item.T+b
            if y_pre[0][0] > 0:
                predict_result.append(1)
            else:
                predict_result.append(-1)
        count = 0
        for i in range(len(predict_result)):
            if(predict_result[i] == Y_test[i][0]):
                count += 1
        return count/len(predict_result)

非线性SVM

有些问题线性可分（文本分类），而有些线性不可分（图像）

在低维空间中不能线性可分的数据，在高维空间变得线性可分

对于不能在原始空间线性可分的数据

首先使用一个非线性变换z = ()将x从低维空间映射到高维空间中(use features of features of features …)；

在高维空间中使用线性 SVM 学习分类模型。

利用非线性映射把原始数据映射到高维空间中

例如：对于二维的数据$x=(x_1,x_2{)}^T$,线性SVM模型的数学表达式：
$$f(x)=w_1{x}_1+w_2{x}_2+b$$

通过二次多项式基将$x\to \varphi (x)=(x_1,x_2,x_1{x}_2,x_1^2,x_2^2{)}^T$

参数从两个变成了5个

令新变量$z=\varphi (x)=(x_1,x_2,x_1{x}_2,x_1^2,x_2^2{)}^T$并在z形成的空间中学习SVM 模型

基于上述步骤，优化参数w 和 b 的模型为：

其对偶问题是

实际中计算量大：首先需要将映射到() ；其次需要计算 ²个 高维向量的内积$\varphi (x_i{)}^T\varphi (x_j)$，会造成维数灾难

而对偶问题的解为：
$$f(x)=w^T\varphi (x)+b=\sum _{i,j=1}^N({\alpha }_i{y}_i\varphi (x_i{)}^T)\varphi (x)+b=\sum _{i,j=1}^N{\alpha }_i{y}_i(\varphi (x_i{)}^T\varphi (x))+b$$
优化问题和解公式都是以内积形式出现

核方法

如果高维空间的内积，可以通过在原始空间获得，即
$$\varphi (x_i)\cdot \varphi (x_j)=K(x_i,x_j)$$
有了核函数$K(x_i,x_j)$，则不必计算高维空间的内积

既不用计算内积，又不用显示表示,没有增加计算量

举例

举例

现有5个一维数据

选择 二次多项式核：$K(x,z)=(xz+1{)}^2$，求解${\alpha }_i(i=1,2,3,4,5)$

$$K(x,z)=(xz+1{)}^2=x^2{z}^3+2xz+1=\left[\begin{array}{c}xz,\sqrt{2xz},1\end{array}\right]{\left[\begin{array}{c}xz,\sqrt{2xz},1\end{array}\right]}^T$$

即$\varphi (x)=x^2+\sqrt{2}x+1$

对偶问题为：
$$\begin{gathered} \max \sum _{i=1}^5{\alpha }_i-\frac{1}{2}\sum _{i=1}^5\sum _{j=1}^5{\alpha }_i{\alpha }_j{y}_i{y}_j(x_i{x}_j+1{)}^2 \\ {\alpha }_i\ge 0,\sum _{i=1}^5{\alpha }_i{y}_i=0 \end{gathered}$$
通过二次规划求解，得到

支持向量为$\{x_2=2,x_4=5,x_5=6\}$

判别函数即为：

常用核函数

核函数	核函数
线性核	$K(x_i,x_j)=x_i^T{x}_j$
多项式核	$K(x_i,x_j)=(1+x_i^T{x}_j{)}^d$
高斯核	$K(x_i,x_j)=e^{-
拉普拉斯核	$K(x_i,x_j)=e^{-

对于非线性可分数据，若已知合适映射 (⋅) ,则可以写 出核函数K。但现实中通常不知道(⋅)

核函数的选取是SVM最棘手的地方

实际中，直接用常用核函数（高斯核，多项式核） 代入到对偶问题中，然后查看分类效果，再调整核函数的类型，这样就隐式地实现了低维到高维的映 射

借助先验知识。针对图像分类，通常使用高斯核； 针对文本分类，则通常使用线性核

核函数总结

通过非线性映射把低维向量映射到高维空间中，使向量 在高维空间中可以线性可分，以便在这个空间中构造线 性最优决策函数。

构造最优决策函数时，巧妙地利用原空间的核函数取 代了高维特征空间中的内积运算，从而避免了高维的计 算灾难。

由于实际中通常知道不知道非线性映射的具体形式，因 此“核函数选择”是核SVM的最大变数。通常使用高斯核和次数较低的多项式核

多分类SVM

将多分类问题转换为多个二分类问题

一对多法（one-versus-rest）

训练m 个分类器，如下图，学习3个二分类器

训练时依次把某个类别的样本归为一类，其他剩余的样本归为另一类，这样k个类别的样本就构造出了k个SVM。分类时将未知样本分类为具有最大分类函数值的那类。

例如：假如我有四类要划分（也就是4个label），他们是A、B、C、D。

于是我在抽取训练集的时候，分别抽取

（1）A所对应的向量作为正集，B，C，D所对应的向量作为负集；

（2）B所对应的向量作为正集，A，C，D所对应的向量作为负集；

（3）C所对应的向量作为正集，A，B，D所对应的向量作为负集；

（4）D所对应的向量作为正集，A，B，C所对应的向量作为负集；

使用这四个训练集分别进行训练，然后的得到四个训练结果文件。

在测试的时候，把对应的测试向量分别利用这四个训练结果文件进行测试。最后每个测试都有一个结果 f 1 ( x ) ， f 2 ( x ) ， f 3 ( x ) ， f 4 ( x ).于是最终的结果便是这四个值中最大的一个作为分类结果。

类别不平衡：不同类别训练样例数相差很大情况

极端情况：例如有3个正例， 997个负例，那 么分类器只需要将样本预测为负例，就能达到 99.7%的精度

改造目标函数：期望正类和负类之间的错误达到平衡

一对一法（one-versus-one ）

训练$\frac{m(m+1)}{2}$个分类器

与一对多相比，看似训练分类器的数目更多。但在训练时，每个分类器仅用两个类的样例。因此训练时间成本差不多，但测试成本更大。

参考资料

[1]庞善民.西安交通大学机器学习导论2022春PPT

[2]KKT条件介绍

[3]SVM实现多分类