最小费用流算法详解

1.前言

• 在学习最小费用流算法时，对其算法的设计，条件的设计，算法的流程有很大的疑惑，遂花时间来理解
• 本文仅个人理解，仅供参考
• 阅读本文前，最好已经了解过最大流算法，知道如何寻找增广路
• 博主目前无法证明最小费用流算法的正确定，这里只介绍其原理及流程
• 后续可能会添加实例，或者介绍最大流算法

2.问题

给定流值v，找到从 s->t 流值为 v 的流中，花费最小的那个流

3.可以写成如下规划

我们在图中，会用一对数表示一条边的信息，(a, b)：

• 其中 a 代表边的长度，也就是单位花费

• b 代表边的容量，也就是允许通过的最大流值
  

4.上述规划问题的对偶问题

将原问题的 $x_{ij}\le c_{ij}$ 写成 $-x_{ij}-新变量=-c_{ij}$ 就很容易写成下面的形式

• 每个变量没有很直观的物理意义，我们构造出来只是为了解决原始问题，但是在后面的分析中，我们能够很直观地看出每个变量的作用

5.互补松紧条件

若原问题的可行解 $\{x_{ij}\}$，对偶问题的可行解 $\{p_i,r_{ij}\}$分别是原问题和对偶问题的最优解，则其充要条件是互补松紧条件，如下所示：

注意：必须要先是可行解，满足互补松紧条件之后，才能是最优解

我们进一步观察，可以通过上述两个等式，推导出下面两个条件

本算法的妙处之一：构造 $r_{ij}=max(0,p_j-p_i-w_{ij})$ ，这使得 $r_{ij}\ge p_j-p_i-w_{ij}$ 恒成立，且$r_{ij}\ge 0$恒成立，使得 任意的 $p_i$ 与构造出的 $r_{ij}$ 组成的解，都是对偶问题的可行解

• 我们观察对偶问题，可以看到只有两个约束条件

  • 对于第一个条件，因为 $r_{ij}\ge p_j-p_i-w_{ij}$ 恒成立，所以第一个条件满足

• 对于第二个条件，因为 $r_{ij}\ge 0$ 恒成立，所以满足

• 对 $p_i$ 是无限制的

• 所以，我们只要取 $r_{ij}=max(0,p_j-p_i-w_{ij})$，其与任意的 $p_i$ 构成的解，都是对偶问题的可行解。这就是我们构造 $r_{ij}$ 的目的，保证取到的值是对偶问题的可行解

现在，我们通过使用构造的 $r_{ij}$ 来重新看待刚刚得到的两个条件，可以证明

• 

• 第二个式子很好看出来，我们下面给出第一个式子的证明

还记得刚刚的互补松紧条件吗？就是下面这个

我们使用上面通过构造的 $r_{ij}$ 得到的两个条件，可以将互补松紧条件等价为

也就是说，只要我们找到了原问题的可行解 $\{x_{ij}\}$，对偶问题的可行解 $\{p_i,r_{ij}\}$（恒可行），他们满足上面这两个条件，则这两个解分别是原问题和对偶问题的最优解。

这有什么用呢？

• 用处：我们在保证互补松紧条件始终成立的情况下，找到原问题的一个可行解，则这个解就是原问题的最优解（就是找到一条路，如果其流值为 $a$，这条路就是流值为 $a$ 的路中，费用最小的）
• 这可以将寻找最小费用流问题转换为：
  • 在满足互补松紧条件的情况下，找原问题的可行解
    • 原问题中，任意一个 s-t 流都是原问题的可行解。因为我们满足从 s 点流出的流量等于流入 t 点的流量，中间节点流入流量等于流出流量（原问题的约束）
  • 假如一条 s-t 流的流量是 $v_1$，因为满足互补松紧条件，这个流就是流量是 $v_1$ 的流中费用最小的，也就是 $v_1$ 对应的最小费用流
  • 如果 $v_1<v$，我们就尝试通过寻找增广路，来增加流值，直到找到了流值为 $v$ 的解。同样，这个解自然成为流值为 $v$ 的时候，费用最小的。
  • 通过这种方式，我们可以找到给定流值 $v$ 的最小费用流

总的来说，互补松紧条件的作用就是：使得我们在找到原问题的可行解的时候（任意一个 s-t 流），如果其满足互补松紧条件，则这个流就是当前流值对应的最小费用流

因为互补松紧条件有这样好的性质，所以下面我们寻找增广路时，要保证不破坏互补松紧条件。

6.最小费用流算法

核心思想：总是在费用最小的增广路上增加流值，直到流值达到 $v$。

我们从 $\{p_i=0\}$（是对偶问题的可行解），$\{x_{ij}=0\}$（原始问题不可行）开始

• 通过 $r_{ij}=max(0,p_j-p_i-w_{ij})$，计算出 $r_{ij}$
• 当前 $\{p_i,r_{ij}\}$ 是对偶规划的可行解（前面说过，只要 $r_{ij}$ 是这样定义出来的，任意 $\{p_i,r_{ij}\}$ 都是对偶问题的可行解）

我们通过增广路，来增大流值，这时的流值变成 $v_1$。注意：寻找增广路的时候，不能违背互补松紧条件，否则我们找到一条流，没法说明其是最小费用流。

• 我们看到，互补松紧条件其实定义了边上的流的大小，在 $p_j-p_i\ne w_{ij}$ 时，我们是不能通过寻找增广路来增加流值的，因为这些边上的流，要么等于 0，要么等于其容量。如果对这些边进行增广路算法，将破坏互补松紧条件

• 那我们寻找增广路时，只能在 $p_i-p_h=w_{ij}$ 上的边中，寻找增广路，来增加流值。

  • 如果是前向弧，还需要满足 $x_{ij}<c_{ij}$。（容量没满才能继续增加流量）

  • 如果是后向弧，还需要满足 $x_{ij}>0$。（边上有流量，才有机会退回流量）

  • 于是，我们定义可以运行增广路算法的弧，我们称其为允许弧，定义如下

    

  • 我们为了不违反互补松紧条件，只能在允许弧上，搜索增广路。

• 我们不断寻找增广路，增加流值，直到找到的流的流值等于 $v$

算法如下：

这个算法很容易理解，就是迭代增加流值

• 每次迭代时，先确定可行弧

• 然后再可行弧上寻找增广路

  • 如果能找到 s-t 增广路，则增加流量

  • 如果找不到

    • 将寻找增广路时，未获得标号的点的 $p_i$ 值都 + 1

      • 这会导致，在标号的点 $i$ 和没有标号的点 $j$ 之间的 $p_i-p_j$ 产生差值（因为只有未标号的点的 $p_i$ 增加了）

      • 差值会导致什么呢？

      • 差值会导致，我们能够在有标号的点和未标号的点之间的边上，构造出 $p_i-p_j=w_{ij}$ 的条件，从而将这条边加入到允许弧的集合中

      • 如果 $i$ 有两条邻接边，一条费用是3， 一条费用是 10，则费用是 3 的边会先加到允许弧中。因为找不到增路时，每次都是未标号的点 $p_j+1$，加到第三次时，费用为3的边就会被加入允许弧了。这同时保证了，我们优先走费用小的弧

      • 总的来说，这个操作的意义就是：

        

• 直到流量增加到 $v$，然后返回这个流（就是返回解）

这么看来，最小费用流算法，其实就是在互补松紧条件限制下的最大流算法