数据结构初阶之二叉树——概念篇
目录
一. 树的概念及结构
1. 树的概念
2. 树的相关概念
3. 树的表示
4. 实际运用
二. 二叉树概念及结构
1. 概念
2. 完全二叉树和满二叉树
3. 二叉树的性质
三. 练习
四. 练习答案及解析
一. 树的概念及结构
1. 树的概念
树是一种非线性的数据结构，它是由n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。
- 有一个特殊的结点，称为根结点，根节点没有前驱结点
- 除根节点外，其余结点被分成M(M>0)个互不相交的集合T1、T2、……、Tm，其中每一个集合Ti(1<= i <= m)又是一棵结构与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继
- 因此，树是递归定义的。
注意：树形结构中，子树之间不能有交集，否则就不是树形结构
PS：树与非树
以上都是非树，树具有以下特点：
子树不相交
除了根节点外，每个结点有且仅有一个父节点
一颗N个结点的树有N-1条边
2. 树的相关概念
节点的度：一个节点含有的子树的个数称为该节点的度； 如上图：A的为6
叶节点或终端节点：度为0的节点称为叶节点； 如上图：B、C、H、I...等节点为叶节点
非终端节点或分支节点：度不为0的节点； 如上图：D、E、F、G...等节点为分支节点
双亲节点或父节点：若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点； 如上图：A是B的父节点
孩子节点或子节点：一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点； 如上图：B是A的孩子节点
兄弟节点：具有相同父节点的节点互称为兄弟节点； 如上图：B、C是兄弟节点
树的度：一棵树中，最大的节点的度称为树的度； 如上图：树的度为6
节点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子节点为第2层，以此类推；
树的高度或深度：树中节点的最大层次； 如上图：树的高度为4
堂兄弟节点：双亲在同一层的节点互为堂兄弟；如上图：H、I互为兄弟节点
节点的祖先：从根到该节点所经分支上的所有节点；如上图：A是所有节点的祖先
子孙：以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙。如上图：所有节点都是A的子孙
森林：由m（m>0）棵互不相交的树的集合称为森林；
3. 树的表示
树结构相对线性表就比较复杂了，要存储表示起来就比较麻烦了，既然保存值域，也要保存结点和结点之间的关系，实际中树有很多种表示方式如：双亲表示法，孩子表示法、孩子双亲表示法以及孩子兄弟表示法等。我们这里就简单的了解其中最常用的孩子兄弟表示法。
代码如下：
typedef int DataType;
struct Node
{
struct Node* firstChild1;//第一个孩子结点
struct Node* NextBrother;//指向其下一个兄弟结点
DataType data; // 结点中的数据域
};实现图如下：
4. 实际运用
二. 二叉树概念及结构
1. 概念
一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合:
1. 或者为空
2. 由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成
从上图可以看出：
1. 二叉树不存在度大于2的结点
2. 二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树
注意：对于任意的二叉树都是由以下几种情况复合而成的：
2. 完全二叉树和满二叉树
满二叉树：一个二叉树，如果每一个层的结点数都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树。也就是说，如果一个二叉树的层数为K，且结点总数是 ，则它就是满二叉树。
完全二叉树：完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K的，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从1至n的结点一一对应时称之为完全二叉树。 要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。（前k-1层都是满的，最后一层不满，但是最后一层从左往右是连续的）
二叉树的逻辑结构是树形的，但是物理结构是是像数组那样连续存储的，所以，这里我们会发现二叉树的父节点和孩子节点之间会满足：
左孩子结点 = 父节点 * 2 + 1
右孩子结点 = 父节点 * 2 + 2
父节点 = ( 左孩子结点 - 1 ) / 2
为什么父节点等于左孩子结点减一除以二也满足右孩子呢？
这是因为在计算机中，整数除法是不会出现小数的，会把小数位舍弃
3. 二叉树的性质
1. 若规定根节点的层数为1，则一棵非空二叉树的第i层上最多有2^(i-1)个结点.
2. 若规定根节点的层数为1，则深度为h的二叉树的最大结点数是是2^h-1.
3. 对任何一棵二叉树，如果度为0其叶结点个数为n0，度为2的分支结点个数为n2，则有n0＝n2＋1
4. 若规定根节点的层数为1，具有n个结点的满二叉树的深度，h=log2^(n+1). (ps：log2^(n+1)是log以2为底，n+1为对数)
5. 对于具有n个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的数组顺序对所有节点从0开始编号，则对于序号为i的结点有：
- 若i>0，i位置节点的双亲序号：(i-1)/2；i=0，i为根节点编号，无双亲节点
- 若2i+1=n否则无左孩子
- 若2i+2=n否则无右孩子
三. 练习
1. 某二叉树共有 399 个结点，其中有 199 个度为 2 的结点，则该二叉树中的叶子结点数为（ ）
A 不存在这样的二叉树
B 200
C 198
D 199
2.下列数据结构中，不适合采用顺序存储结构的是（ ）
A 非完全二叉树
B 堆
C 队列
D 栈
3.在具有 2n个结点的完全二叉树中，叶子结点个数为（ ）
A n
B n+1
C n-1
D n/2
4.一棵完全二叉树的节点数位为531个，那么这棵树的高度为（ ）
A 11
B 10
C 8
D 12
5.一个具有767个节点的完全二叉树，其叶子节点个数为（）
A 383
B 384
C 385
D 386
四. 练习答案及解析
第一题 n0 = n2 + 1 = 200，选择A
第二题 非完全二叉树因为中间是有间隔，所以不适合采用顺序存储结构
第三题 假设度为0的结点有n0个，度为1的结点有n1个，度为2的结点有n2个
就会有：n0+n1+n2 = 2n
因为度为0的结点一定会比度为二的结点多一个所以有：n0+n1+n0-1 = 2n
由于完全二叉树满足第k层一定是从左到右是连续的，所以度为1的结点只能是0个或者1个，而目前是 2n0 + n1 = 2n + 1
由于结点的数量不可能是小数，所以度为1的结点只能是有一个，不然会出现小数，也就是说以上的式子变为：2n0 = 2n ，也就是说 n0 = n ，叶子结点为n， 选择A
第四题 假设高度为h，我们会发现二叉树里所有结点的和是满足等比数列（ a1(1-q^n)/(1-q) ）的，根据这个公式可以求出这个二叉树最多是2^h-1个结点（满二叉树）， 最少是2^(h-1)-1+1个结点（前k-1层都是满的，第k层就一个结点），所有我们的h要满足这个范围，可以求出h等于10，选择B
第五题 和第三题一样，假设度为0的结点有n0个，度为1的结点有n1个，度为2的结点有n2个就会有：n0+n1+n2 = 767
因为度为0的结点一定会比度为二的结点多一个所以有：n0+n1+n0-1 = 767
由于完全二叉树满足第k层一定是从左到右是连续的，所以度为1的结点只能是0个或者1个，而目前是 2n0 + n1 = 768
由于结点的数量不可能是小数，所以度为1的结点只能是有0个，不然会出现小数，也就是说以上的式子变为：2n0 = 768，也就是说 n0 = 384 ，叶子结点为n， 选择B