高斯赛德尔迭代法

我们在求解矩阵时，有很多种方法，其中当矩阵是大型稀疏矩阵（矩阵中有大部分元素都为0）时，我们可以用迭代法求解。
关于该方法的思想和定义，请参考如下博客：
http://www.doc88.com/p-6953977164202.html
我编写的C++代码，也是根据上面的博客中的数学公式。
在这里我们使用的数据文件matrix.txt为
- 第一行表示矩阵的行数或者列数
- 接下来的三行，表示矩阵本体 A
- 最后一行表示 b，A*x=b
- 我们要计算的就是x

3
8 -3 2
4 11 -1
6 3 12
20 33 36

代码如下：

#include 
#include 
#include 
#include 
#include 

using namespace std;
using namespace cv;

int main()
{
    ifstream file("matrix.txt");
    int rows;
    int cols;
    file >> rows;
    cols = rows;

    Mat A(rows, cols, CV_32FC1);
    /*我们假设输入的矩阵对角线元素不为0*/
    for (int i = 0; i < rows; i++)
    {
        for (int j = 0; j < cols; j++)
        {
            file >> A.at<float>(i, j);
        }
    }
    Mat b(1, cols, CV_32FC1);
    for (int i = 0; i < cols; i++)
    {
        file >> b.at<float>(i);
    }
    file.close();

//迭代次数 iter = 10次
    Mat x(1, cols, CV_32FC1);
    x.setTo(0);
    for (int iter = 0; iter < 10; iter++)
    {
        for (int i = 0; i < rows; i++)
        {
            float sum = 0;
            for (int j = 0; j < cols; j++)
            {
                if (i == j)continue;
                sum += A.at<float>(i, j)*x.at<float>(j);
            }
            x.at<float>(i) = (b.at<float>(i) -sum) / A.at<float>(i, i);
        }
    }
    cout << "最终的结果为:" << endl;
    for (int i = 0; i < cols; i++)
    {
        cout << "x" << i << "=" << x.at<float>(i) << "\t";
    }

    return 0;
}

最后输出的结果为

最终结果为
x0=3    x1=2    x2=1

和正确的结果一样。在这里我们迭代了10次，求出了最终的结果。关于数值分析，我并没有投入太多的精力，如果有问题和值得改进的地方，希望各位留言。