若当标准形与对角阵、特征值与特征向量、矩阵指数运算

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一、相似矩阵

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如果存在非奇异的矩阵 $P$ ，使得 $P^{-1}AP=B$，则称矩阵$A$、$B$相似。

知道相似有什么意义呢？当然不是为了花里胡哨好看，而是为了使得问题简化。特别地，如果$B$ 刚好为对角矩阵 $\Lambda$，问题就很简单了，简单在哪里呢？幂函数、指数等简单，跟一个数的运算很相似。

以二阶方阵计算指数说明问题，若
$$\Lambda =\left[\begin{array}{c}{\lambda }_{1}0\\ 0{\lambda }_2\end{array}\right]$$

则

$$e^{\Lambda t}=\left[\begin{array}{c}{e}^{{\lambda }_1}0\\ 0e^{{\lambda }_2}\end{array}\right]$$

换句话说，对于对角阵，计算指数就是直接对对角元素进行指数运算。这样，问题就接踵而至：

1. 对矩阵做指数运算有什么意义或价值
2. 所有的矩阵都可以对角化吗
3. 矩阵不能对角化时，怎样计算指数函数

对于问题1，不是数序问题，简单提一下个人涉及内容，目前学线性系统理论，系统的转移矩阵实际上就是矩阵的指数运算。

对于问题2，答案是否定的，n 阶矩阵需要有 n 个线性无关的特征向量才能对角化，具体在第二节说明。

对于问题3，矩阵不能对角化，但一定能化成若当（Jordan）标准形，也是方便计算指数函数的，对角阵只是特殊的若当标准形。具体第三节说明。

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二、对角化

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2.1 可对角化

若存在一个非奇异的矩阵 $P$ 和一个对角阵 $\Lambda$，使得 $n\times n$ 矩阵 $A$ 满足 $$P^{-1}AP=\Lambda$$则称$A$ 为可对角化的。

那 $P$、$\Lambda$ 存在吗，如果存在怎么找？羊毛出在羊身上，$A$ 应该决定了 $P$、$\Lambda$ 。实际上，$\Lambda$ 就是特征值构成的对角阵，而 $T$ 就是$A$ 的特征值对应的特征向量组成的矩阵。

例如矩阵：

$$A=\left[\begin{array}{cc}2& -3\\ 2& -5\end{array}\right]$$

有两个特征根 ${\lambda }_1=1$ 和 ${\lambda }_2=-4$，并且对应的特征向量分别为 ${\alpha }_1=(3,1{)}^T$，${\alpha }_2=(1,2{)}^T$ ，则：

$$P=\left[\begin{array}{cc}3& 1\\ 1& 2\end{array}\right]\Lambda =\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -4\end{array}\right]$$

满足 $P^{-1}AP=\Lambda$

如果计算 $e^{At}$，则

$$e^{At}=P{e}^{\Lambda t}{P}^{-1}=P\exp \left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -4\end{array}\right)P^{-1}=P\left(\begin{array}{cc}{e}^t& 0\\ 0& e^{-4t}\end{array}\right)P^{-1}$$

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2.2 不可对角化

如果矩阵
$$A=\left[\begin{array}{cc}2& 1\\ 0& 2\end{array}\right]$$

则矩阵 $A$ 有一个特征值 $\lambda =2$ （2重），一个线性无关特征向量 $\alpha =[1,0{]}^T$（所有特征向量为 $k\alpha ,k\ne 0$）。如果依旧取两个特征向量作为对角化矩阵 $P$，如令：

$$P=\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& 0\end{array}\right]$$

那么矩阵 $P$ 是奇异的，其逆不可计算。追溯原因，是由于二阶方阵 $A$ 只有一个线性无关的特征向量 $\alpha$。这世界无奇不有，不可对角化就不可对角化，没什么大不了的，但是，如果还是要计算矩阵的指数怎么办呢？若当标准形应运而生。

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三、若当标准形

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3.1 若当标准形定义

任何一个复数域上的 $n$ 阶方阵都可以找到唯一的（不考虑顺序）Jordan标准形与之相似。Jordan标准形是准对角矩阵，非零元素只出现在对角线上或对角线上方一行，在对角线上方一行时为1。例如：

$$\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 2\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ 0& 2& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 2& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$$

以下则不是若当标准形：

$$\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& 2\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 0& 2& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 1& 2& 1\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$$

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3.2 若当标准形指数运算

若非奇异矩阵 $P$ 与若当标准形 $J$ 满足：

$$P^{-1}AP=J$$

则：

$$e^{At}=P{e}^{Jt}{P}^{-1}$$

其中，

$$e^{Jt}=\left[\begin{array}{ccccc}1& t& \frac{1}{2!}{t}^2& ...& \frac{1}{(p-1)!}{t}^{p-1}\\ 0& 1& t& ...& \frac{1}{(p-2)!}{t}^{p-2}\\ ⋮& ⋮& ⋮& & ⋮\\ 0& 0& 0& ...& 1\end{array}\right]e^{\lambda t}$$

不要感觉复杂，举个栗子就一下子清晰了。

若
$$A=\left[\begin{array}{cc}2& 1\\ 0& 2\end{array}\right]$$

可见，$A$ 已经是若当标准形，$P=P^{-1}=I_2$ （二阶单位阵）即可，$J=A$

$$e^{Jt}=\left[\begin{array}{cc}1& t\\ 0& 1\end{array}\right]e^{2t}=\left[\begin{array}{cc}{e}^{2t}& t{e}^{2t}\\ 0& e^{2t}\end{array}\right]$$

再来一个梨子：

$$J=\left[\begin{array}{ccc}2& 1& 0\\ 0& 2& 0\\ 0& 0& 3\end{array}\right]$$

分成两个若当块，一个二阶，特征值为2；一个一阶，特征值为3，易得：

$$e^{Jt}=\left[\begin{array}{ccc}{e}^{2t}& t{e}^{2t}& 0\\ 0& e^{2t}& 0\\ 0& 0& e^{3t}\end{array}\right]$$

其他的就依葫芦画瓢，不再赘述。

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3.3 若当标准形的计算

对角阵中，$P$ 是由线性无关的特征向量组成，$\Lambda$ 由特征值组成。那么，若当标准形中的 $P$、$J$ 如何计算呢？

这里比较繁琐，难打公式，以后再写。