Keras深度学习实战（7）——卷积神经网络详解与实现

0. 前言

我们已经学习了传统的深度前馈神经网络(也可以称为全连接神经网络)，传统深度前馈神经网络的局限性之一是它并不满足平移不变性，也就是说，在传统神经网络看来，图像右上角的猫与位于图像中心的猫被视为不同对象，即使实际上这是同一只猫。另外，传统的神经网络受对象大小的影响，如果训练集中大多数图像中的对象较大，而训练数据集图像中包含相同的对象但占据图像画面的比例较小，则传统的神经网络可能无法对图像进行正确分类。
卷积神经网络 (Convolutional Neural Network, CNN) 的提出正是用于解决传统神经网络的这些缺陷。鉴于即使对象位于图片中的不同位置或其在图像中具有不同占比，CNN 也能够正确的处理这些图像，因此在对象分类/检测任务中更加有效。

1. 传统神经网络的缺陷

为了了解卷积神经网络 (Convolutional Neural Network, CNN) 的优势，我们首先了解为什么在图像中，如果对象平移或比例改变时前馈神经网络 (Neural Network, NN) 性能欠佳，然后了解 CNN 对比传统前馈神经网络的改进。
我们首先考虑使用以下策略，以了解 NN 模型的缺陷：

• 建立一个 NN 模型，以预测 MNIST 手写数字标签
• 获取所有标签为 1 的图像，并取这些图像的均值生成新图像
• 使用构建的 NN 预测在上一步中生成的均值图像的标签
• 将均值图像向左或向右平移若干个像素，生成新图像，并使用 NN 模型对生成的新图像进行预测

1.1 构建传统神经网络

接下来，根据上述策略，编写代码实现如下。

1. 加载所需库和 MNIST 数据集：

from keras.datasets import mnist
from keras.layers import Flatten, Dense
from keras.models import Sequential
import matplotlib.pyplot as plt
from keras.utils import np_utils
import numpy as np

(x_train, y_train), (x_test, y_test) = mnist.load_data()

2. 获取训练集中标签为 1 的数字图片：

x_train1 = x_train[y_train==1]

3. 将训练数据整形以符合网络输入尺寸要求，并进行数据规范化：

num_pixels = x_train.shape[1] * x_train.shape[2]
x_train = x_train.reshape(x_train.shape[0], num_pixels).astype('float32')
x_test = x_test.reshape(x_test.shape[0], num_pixels).astype('float32')
x_train = x_train / 255.
x_test = x_test / 255.

4. 对图像标签进行独热编码：

y_train = np_utils.to_categorical(y_train)
y_test = np_utils.to_categorical(y_test)
num_classes = y_train.shape[1]

5. 然后，构建模型并进行拟合：

model = Sequential()
model.add(Dense(1024, input_dim=num_pixels, activation='relu'))
model.add(Dense(num_classes, activation='softmax'))
model.compile(loss='categorical_crossentropy', optimizer='adam', metrics=['acc'])
model.fit(x_train, y_train,
            validation_data=(x_test, y_test),
            epochs=5,
            batch_size=1024,
            verbose=1)

6. 接下来，使用标签为 1 的所有图像的均值生成新图像，并使用训练后的模型预测此图像的标签。首先，生成图像：

pic = np.zeros((x_train1.shape[1], x_train1.shape[2]))
pic2 = np.copy(pic)

for i in range(x_train1.shape[0]):
    pic2 = x_train1[i,:,:]
    pic = pic + pic2
pic = pic / x_train1.shape[0]
plt.imshow(pic, cmap='gray')
plt.show()

在代码中，我们初始化了一个尺寸为 28 x 28 的空白图像，并通过循环遍历 x_train1 中的所有值，即标签为 1 的所有图像，将图像中各个像素位置值进行加和，求取平均像素值。生成的图像显示如下：

在上图中，像素越白，表示人们在此位置书写的频率就越高；像素越黑的位置表示书写频率越低。可以看到，中间的像素是最白的，这是因为大多数人，都习惯于在中间位置书写数字。

7. 最后，查看神经网络对于此图像的预测：

p = model.predict(pic.reshape(1, -1)/255.)
print(p)
c = np.argmax(p)
print('神经网络预测结果：', c)

np.argmax() 函数用于返回一个 Numpy 数组中最大值的索引，在以上示例中，最大值的索引就是模型预测概率最大的类别。以上拟合后的模型，输出的预测结果如下：

[[8.6497545e-05 9.2336720e-01 2.6006915e-03 5.4899454e-03 4.6638816e-04
  8.7751285e-04 6.4074027e-04 2.3328003e-03 6.3134938e-02 1.0033193e-03]]
神经网络预测结果： 1

1.2 传统神经网络的缺陷

情景 1：创建一个新图像，将上一节由所有标签为 1 的图像生成均值图像向左平移 1 个像素。使用以下代码，我们遍历图像的各列，并将下一列的像素值复制到当前列，从而完成向左平移：

for i in range(pic.shape[0]):
    if i < 20:
        pic[:,i]=pic[:,i+1]

plt.imshow(pic, cmap='gray')
plt.show()

向左平移 1 个像素后的均值图像如下所示：

使用训练完成的的模型预测图像的标签：

p = model.predict(pic.reshape(1, -1)/255.)
print(p)
c = np.argmax(p)
print('神经网络预测结果：', c)

该模型对平移后图像的预测如下：

[[2.3171112e-03 5.3161561e-01 2.6453543e-02 8.1305495e-03 5.2826328e-04
  3.4600161e-02 4.3771293e-02 3.4394194e-04 3.5101682e-01 1.2227822e-03]]
神经网络预测结果：1

我们可以看到尽管模型可以将其正确预测为 1，但是其预测概率要比未平移像素时的概率小的多。

情景 2：创建一个新图像，将原始平均图像的像素向右移动了 2 个像素：

pic=np.zeros((x_train1.shape[1], x_train1.shape[2]))
pic2=np.copy(pic)
for i in range(x_train1.shape[0]):
    pic2=x_train1[i,:,:]
    pic=pic+pic2
pic=(pic/x_train1.shape[0])
pic2=np.copy(pic)
for i in range(pic.shape[0]):
    if ((i>6) and (i<26)):
        pic[:,i]=pic2[:,(i-3)]
plt.imshow(pic, cmap='gray')
plt.show()

平移后的平均图像如下所示：

然后，对该图像进行预测：

p = model.predict(pic.reshape(1, -1)/255.)
print(p)
c = np.argmax(p)
print('神经网络预测结果：', c)

该模型对平移后图像的预测如下：

[[0.00519334 0.0018531  0.07164755 0.33244154 0.3407778  0.00380969
  0.00090572 0.19745363 0.0096615  0.03625605]]
神经网络预测结果：4

可以看到模型输出了错误的预测结果：4，以上这些问题的存在就是我们需要使用 CNN 的原因。

2. 使用 Python 从零开始构建CNN

在本节中，首先介绍卷积神经网络 (CNN) 的相关概念与组成，以便了解CNN提高平移图像预测准确率的原理。然后，我们将使用 NumPy 从零开始构建 CNN，来了解 CNN 的工作原理。

2.1 卷积神经网络的基本概念

我们已经学习了如何构建经典神经网络，在本节中，我们了详细介绍 CNN 中卷积过程的工作原理和相关组件。

2.1.1 卷积

卷积是两个矩阵间的乘法——通常一个矩阵具有较大尺寸，另一个矩阵则较小。要了解卷积，首先讲解以下示例。给定矩阵 A 和矩阵 B 如下：

在进行卷积时，我们将较小的矩阵在较大的矩阵上滑动，在上述两个矩阵中，当较小的矩阵 B 需要在较大矩阵 A 的整个区域上滑动时，会得到 9 次乘法运算，过程如下。
在矩阵 A 中从第 1 个元素开始选取与矩阵 B 相同尺寸的子矩阵 $\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 0\\ 1& 1& 1\\ 3& 3& 2\end{array}\right]$ 和矩阵 B 相乘并求和：

$$1\times 3+2\times 1+0\times 1+1\times 2+1\times 3+1\times 1+3\times 2+3\times 2+2\times 3=29$$

然后，向右滑动一个窗口，选择第 2 个与矩阵 B 相同尺寸的子矩阵 $\left[\begin{array}{ccc}2& 0& 2\\ 1& 1& 2\\ 3& 2& 1\end{array}\right]$ 和矩阵 B 相乘并求和：

$$2\times 3+0\times 1+2\times 1+1\times 2+1\times 3+2\times 1+3\times 2+2\times 2+1\times 3=28$$

然后，再向右滑动一个窗口，选择第 3 个与矩阵 B 相同尺寸的子矩阵 $\left[\begin{array}{ccc}0& 2& 3\\ 1& 2& 0\\ 2& 1& 2\end{array}\right]$ 和矩阵 B 相乘并求和：

$$0\times 3+2\times 1+3\times 1+1\times 2+2\times 3+0\times 1+2\times 2+1\times 2+2\times 3=25$$

当向右滑到尽头时，向下滑动一个窗口，并从矩阵 A 左边开始，选择第 4 个与矩阵 B 相同尺寸的子矩阵 $\left[\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 3& 3& 2\\ 1& 0& 2\end{array}\right]$ 和矩阵 B 相乘并求和：

$$1\times 3+1\times 1+1\times 1+3\times 2+3\times 3+2\times 1+1\times 2+0\times 2+2\times 3=30$$

然后，继续向右滑动，并重复以上过程滑动矩阵窗口，直到滑动到最后一个子矩阵为止，得到最终的结果 $\left[\begin{array}{ccc}29& 28& 25\\ 30& 30& 27\\ 20& 24& 34\end{array}\right]$：

完整的卷积计算过程如以下动图所示：

通常，我们把较小的矩阵 B 称为滤波器 (filter) 或卷积核 (kernel)，使用 $\otimes$ 表示卷积运算，较小矩阵中的值通过梯度下降被优化学习，卷积核中的值则为网络权重。卷积后得到的矩阵，也称为特征图 (feature map)。
卷积核的通道数与其所乘矩阵的通道数相等。例如，当图像输入形状为 5 x 5 x 3 时(其中 3 为图像通道数)，形状为 3 x 3 的卷积核也将具有 3 个通道，以便进行矩阵卷积运算：

可以看到无论卷积核有多少通道，一个卷积核计算后都只能得到一个通道。多为了捕获图像中的更多特征，通常我们会使用多个卷积核，得到多个通道的特征图，当使用多个卷积核时，计算过程如下：

需要注意的是，卷积并不等同于滤波，最直观的区别在于滤波后的图像大小不变，而卷积会改变图像大小，关于它们之间更详细的计算差异，并非本节重点，因此不再展开介绍。

2.1.2 步幅

在前面的示例中，卷积核每次计算时在水平和垂直方向只移动一个单位，因此可以说卷积核的步幅 (Strides) 为 (1, 1)，步幅越大，卷积操作跳过的值越多，例如以下为步幅为 (2, 2) 时的卷积过程：

2.1.3 填充

在前面的示例中，卷积操作对于输入矩阵的不同位置计算的次数并不相同，具体来说对于边缘的数值在卷积时，仅仅使用一次，而位于中心的值则会被多次使用，因此可能导致卷积错过图像边缘的一些重要信息。如果要增加对于图像边缘的考虑，我们将在输入矩阵的边缘周围的填充 (Padding) 零，下图展示了用 0 填充边缘后的矩阵进行的卷积运算，这种填充形式进行的卷积，称为 same 填充，卷积后得到的矩阵大小为 $\lfloor \frac{d+s-1}{s}\rfloor$，其中 $s$ 表示步幅。而未进行填充时执行卷积运算，也称为 valid 填充。

2.1.4 激活函数

在传统神经网络中，隐藏层不仅将输入值乘以权重，而且还会对数据应用非线性激活函数，将值通过激活函数传递。CNN 中同样包含激活函数，CNN 支持我们已经学习的所有可用激活函数，包括 Sigmoid，ReLU，tanh 和 LeakyReLU 等。

2.1.5 池化

研究了卷积的工作原理之后，我们将了解用于卷积操作之后的另一个常用操作：池化 (Pooling)。假设卷积操作的输出如下，为 2 x 2：

$$\left[\begin{array}{cc}29& 28\\ 20& 24\end{array}\right]$$

假设使用池化块(或者类比卷积核，我们也可以称之为池化核)为 2 x 2 的最大池化，那么将会输出 29 作为池化结果。假设卷积步骤的输出是一个更大的矩阵，如下所示：
$$\left[\begin{array}{cccc}29& 28& 25& 29\\ 20& 24& 30& 26\\ 27& 23& 26& 27\\ 24& 25& 23& 31\end{array}\right]$$
当池化核为 2 x 2，且步幅为 2 时，最大池化会将此矩阵划分为 2 x 2 的非重叠块，并且仅保留每个块中最大的元素值，如下所示：

$$\left[\begin{array}{ccccc}29& 28& |& 25& 29\\ 20& 24& |& 30& 26\\ —& —& —& —& —\\ 27& 23& |& 26& 27\\ 24& 25& |& 23& 31\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}29& 30\\ 27& 31\end{array}\right]$$

从每个池化块中，最大池化仅选择具有最高值的元素。除了最大池化外，也可以使用平均池化，其将输出每个池化块中的平均值作为结果，在实践中，与其他类型的池化相比，最常使用的池化为最大池化。

2.2 卷积和池化相比全连接网络的优势

在以上 MNIST 手写数字识别示例中，可以看出传统神经网络的缺点之一是每个像素都具有不同的权重。因此，如果当这些权重用于除原始像素以外的相邻像素，则神经网络得到的输出将不是非常准确(如情景 1 的示例，像素稍微向左侧移动后，准确率就大幅下降)。
使用 CNN 可以解决这一问题，因为图像中的像素共享由卷积核构成的权重。所有像素都乘以构成卷积核的所有权重；在池化层中，仅选择卷积后具有最高值的输出。这样，无论要识别的对象像素是位于中心还是偏离中心，输出通常都是期望值。但是，当要识别的像素距离中心很远时，问题仍然存在，这是由于靠近中心的像素在 CNN 能够会被卷积核更频繁的划过。

3. 使用 Keras 构建卷积神经网络

为了进一步加深对卷积神经网络 (Convolutional Neural Network, CNN) 的理解，我们将使用 Keras 构建基于 CNN 的体系结构，并通过使用 Keras 和 Numpy 从输入开始构建 CNN 前向传播过程获得输出，来增强我们对 CNN 的理解。

3.1 CNN 使用示例

我们首先定义一个输入和预期输出数据的简单示例来实现 CNN。

1. 创建输入和输出数据集：

import numpy as np
x_train = np.array([[[1,2,3,3],
                    [2,3,4,5],
                    [4,5,6,7],
                    [1,3,4,6]],
                    [[-1,2,3,-5],
                    [2,-2,4,5],
                    [-3,5,-4,9],
                    [-1,-3,-2,-5]]])
y_train = np.array([0, 1])

在以上代码中，我们创建了以下数据：输入全为正数得到的输出为 0，带有负值的输入则得到 1 作为输出。

2. 缩放输入数据集：

x_train = x_train / 9

3. 对输入数据集的形状进行整形，以使每个输入图像都以 (宽度 x 高度 x 通道数) 的格式表示：

x_train = x_train.reshape(x_train.shape[0], x_train.shape[1], x_train.shape[1], 1)

4. 准备数据后，构建模型架构，导入相关方法后实例化模型：

from keras.models import Sequential
from keras.layers import Conv2D, Flatten, MaxPooling2D
model = Sequential()

5. 接下来，我们将执行卷积操作：

model.add(Conv2D(1, (3, 3), input_shape=(4, 4, 1), activation='relu'))

在上述代码中，我们对输入数据执行 2D 卷积 Conv2D，其中有 1 个大小为 3 x 3 的卷积核，由于这是实例化模型中的第一层，我们需要指定输入形状，为 (4, 4, 1)；最后，我们在卷积的输出之上使用 ReLU 激活函数。由于我们没有对输入进行填充，因此输出的特征图大小将缩小，卷积运算输出的形状为 2 x 2 x 1。

6. 接下来，我们将添加一个执行最大池化操作的网络层 MaxPooling2D，如下所示：

model.add(MaxPooling2D(pool_size=(2, 2)))

我们在上一层获得的输出之上执行最大池化 (池化核大小为 2 x 2)，这表示需要计算图像每个滑动窗口 2 x 2 部分中的最大值，得到池化运算输出的形状为 1 x 1 x 1。

7. 接下来，展平池化层的输出：

model.add(Flatten())

一旦执行了展平 Flatten 处理，展平层的操作十分简单——将多维的输入整形为一维数组，Flatten操作不影响第一维的 batch_size，在本例中，执行 Flatten 操作后，数据形状由 (batch_size, 1,1,1) 变为 (batch_size, 1)。之后就与在标准前馈神经网络中执行的过程非常相似，先连接到若干隐藏层，最后连接到输出层。在这里，我们使用 sigmoid 激活函数，并直接将展平层的输出连接到输出层：

model.add(Dense(1, activation='sigmoid'))

查看该模型的相关信息：

model.summary()

输出的模型简要信息如下：

Model: "sequential"
_________________________________________________________________
Layer (type)                 Output Shape              Param #   
=================================================================
conv2d (Conv2D)              (None, 2, 2, 1)           10        
_________________________________________________________________
max_pooling2d (MaxPooling2D) (None, 1, 1, 1)           0         
_________________________________________________________________
flatten (Flatten)            (None, 1)                 0         
_________________________________________________________________
dense (Dense)                (None, 1)                 2         
=================================================================
Total params: 12
Trainable params: 12
Non-trainable params: 0
_________________________________________________________________

如上所示，卷积层中有 10 个参数，因为一个 3 x 3 的卷积核，其具有 9 个权重和 1 个偏置项。池化层和展平层没有任何参数，因为它们只需某个区域中提取最大值(最大池化 MaxPooling2D)，或者展平前一层的输出(展平层 Flatten)，因此不需要在其中一个权重进行修改的操作这些层。输出层具有两个参数，因为展平层只有一个输出，该输出连接到具有一个值的输出层，因此具有一个权重和一个偏置项来连接展平层和输出层。

8. 最后，编译并拟合模型：

model.compile(loss='binary_crossentropy',optimizer='adam',metrics=['acc'])
model.fit(x_train, y_train, epochs=50)

在上述代码中，我们将损失指定为二进制交叉熵，因为输出结果是 1 或 0。

3.2 验证 CNN 输出

在上一节中，我们已经拟合了模型，接下来，通过实现 CNN 的前向传播过程来验证从模型中获得的输出。

1. 首先，我们提取权重和偏置的相关信息：

print(model.get_weights())

输出结果如下：

[<tf.Variable 'conv2d/kernel:0' shape=(3, 3, 1, 1) dtype=float32, numpy=
array([[[[ 0.1985341 ]],

        [[ 0.27599618]],
        [[ 0.20717546]]],
       [[[-0.41702896]],
        [[-0.21289168]],
        [[ 0.12980239]]],
       [[[-0.14379142]],
        [[ 0.55261314]],
        [[-0.49706236]]]], dtype=float32)>,
<tf.Variable 'conv2d/bias:0' shape=(1,) dtype=float32, numpy=array([0.04198299], dtype=float32)>,
<tf.Variable 'dense/kernel:0' shape=(1, 1) dtype=float32, numpy=array([[1.5805249]], dtype=float32)>,
<tf.Variable 'dense/bias:0' shape=(1,) dtype=float32, numpy=array([-0.28272304], dtype=float32)>]

可以看到，首先显示了卷积层的权重，然后是偏置，最后是输出层中的权重和偏置。卷积层中权重的形状为 (3, 3, 1, 1)，因为卷积核的形状为 3 x 3 x 1 (形状中的前三个值)，形状中的第四个值 1 用于在卷积层中指定卷积核的数量。如果我们指定 64 作为卷积中的卷积核数量，则权重的形状为 3 x 3 x 1 x 64，而如果对具有 3 个通道的图像执行卷积运算，则每个卷积核的形状将为 3 x 3 x 3。

2. 使用 model 的 weights 属性提取各层的权重值：

print(model.weights)

接下来，我们使用模型计算第一个输入 x_train[0] 的输出，以便我们可以通过前向传播查看 CNN 计算结果：

print(model.predict(x_train[0].reshape(1,4,4,1)))
# 输出如下
# [[0.04299431]]

以上代码对输入数据整形，同时将其传递给预测方法，因为模型希望接受输入的形状为 (None, 4, 4, 1)，其中 None 用于指定批大小，可以是任何数字。我们运行的模型预测输出为 0.04299431。

3. 接下来，我们通过模拟卷积过程进行验证，对输入数据执行卷积，输入图像的形状为 4 x 4，而卷积核的形状为 3 x 3，在代码中沿着行和列执行矩阵乘法(卷积)：

sumprod = []
for i in range(x_train[0].shape[0]-model.get_weights()[0].shape[0]+1):
    for j in range(x_train[0].shape[0]-model.get_weights()[0].shape[0]+1):
        img_subset = np.array(x_train[0,i:(i+3),j:(j+3),0])
        filter = model.get_weights()[0].reshape(3,3)
        val = np.sum(img_subset*filter) + model.get_weights()[1]
        sumprod.append(val)

在以上代码中，我们初始化一个名为 sumprod 的空列表，用于存储卷积核与输入数据的每个子矩阵卷积的输出。

4. 整形 sumprod 的输出，以便将其传递到池化层：

sumprod = np.array(sumprod).reshape(2, 2, 1)

5. 在卷积的输出传递到池化层之前，先对其使用激活函数：

sumprod = np.where(sumprod>0, sumprod, 0)

6. 将卷积输出传递到池化层，根据以上模型定义，考虑到卷积的输出为 2 x 2，根据最大池化层的定义我们取输出中的最大值：

pooling_layer_output = np.max(sumprod)

7. 将池化层的输出连接到输出层，将池化层的输出乘以输出层中的权重，然后在输出层中加上偏置值：

intermediate_output_value = pooling_layer_output * model.get_weights()[2] + model.get_weights()[3]

8. 计算 Sigmoid 输出：

print(1/(1+np.exp(-intermediate_output_value)))

以上操作的输出如下：

[[0.42994314]]

可以看到输出与我们使用 model.predict 方法获得的输出相同，从而加深了我们对 CNN 工作流程的了解。

4. 构建 CNN 模型识别 MNIST 手写数字

4.1 任务与模型分析

在前面的部分中，我们了解了传统神经网络的问题以及 CNN 的工作原理。在本节中，我们将构建 CNN 模型用来识别经过平移的 MNIST 手写数字。我们采用的以下策略构建 CNN 模型：

• 输入形状为 28 x 28 x 1，使用的卷积核尺寸为 3 x 3 x 1
  • 需要注意的是，卷积核的大小可以更改，但是通道数不能更改，需要与输入通道数相同
  • 使用 10 个卷积核
• 输入图像经过卷积层后，使用池化层：
  • 输出的图像尺寸减半
  • 展平池化后获得的输出
• 展平层连接到一个具有 1000 个单位的隐藏层
• 最后，将隐藏层连接到输出层，输出层中有 10 类(包括数字 0-9 )

建立模型后，我们使用所有标签为 1 的图像生成均值图像，并平移 1 个像素，然后在平移后的图像上测试 CNN 模型的性能；在第 1 节中，我们已经知道，全连接神经网络无法争取预测该均值图像的类别。

4.2 CNN 模型构建与训练

接下来，使用 Keras 实现上述定义的 CNN 架构，以了解如何在 MNIST数据上使用 CNN 模型。

1. 加载并预处理数据：

from keras.layers import Dense,Conv2D,MaxPool2D,Flatten
from keras.models import Sequential
from keras.datasets import mnist
from keras.utils import np_utils
import numpy as np

(x_train, y_train),(x_test, y_test) = mnist.load_data()
x_train = x_train.reshape(x_train.shape[0], x_train.shape[1], x_train.shape[1], 1)
x_test = x_test.reshape(x_test.shape[0], x_test.shape[1], x_test.shape[1], 1)
x_train = x_train.astype('float32') / 255.
x_test = x_test.astype('float32') / 255.
y_train = np_utils.to_categorical(y_train)
y_test = np_utils.to_categorical(y_test)
num_classes = y_test.shape[1]

预处理步骤与我们在《构建深度前馈神经网络》中使用的方法完全相同。

2. 建立并编译模型：

model = Sequential()
model.add(Conv2D(10, (3, 3), input_shape=(28, 28, 1), activation='relu'))
model.add(MaxPool2D(pool_size=(2, 2)))
model.add(Flatten())
model.add(Dense(512, activation='relu'))
model.add(Dense(num_classes, activation='softmax'))
model.summary()

model.compile(loss='categorical_crossentropy', optimizer='adam', metrics=['acc'])

可以获取我们在前面的代码中初始化的模型的简要架构信息：

model.summary()

输出该模型的简要架构信息如下：

Model: "sequential"
_________________________________________________________________
Layer (type)                 Output Shape              Param #   
=================================================================
conv2d (Conv2D)              (None, 26, 26, 10)        100       
_________________________________________________________________
max_pooling2d (MaxPooling2D) (None, 13, 13, 10)        0         
_________________________________________________________________
flatten (Flatten)            (None, 1690)              0         
_________________________________________________________________
dense (Dense)                (None, 512)               865792    
_________________________________________________________________
dense_1 (Dense)              (None, 10)                5130      
=================================================================
Total params: 871,022
Trainable params: 871,022
Non-trainable params: 0
_________________________________________________________________

卷积层中总共有 100 个参数，因为卷积层中有 10 个 3 x 3 x 1 的卷积核，因此总共有 90 个权重参数和 10 个偏置项(每个卷积核中 1 个)，共 100 个参数。最大池化层没有任何参数，因为它只需要计算每个大小为 2 x 2 的池化核中的最大值。可以看到使用 CNN 模型可以大幅降低网络参数量。

3. 最后，拟合模型：

model.fit(x_train, y_train,
            validation_data=(x_test, y_test),
            epochs=10,
            batch_size=1024,
            verbose=1)

以上模型在 10 个 epoch 训练后，可以达到 98％ 的准确率：

4. 接下来，使用所有标签为 1 的图像生成均值图像，并平移 1 个像素：

# 获取标签为1的所有图像输入
x_test1 = x_test[y_test[:, 1]==1]
# 利用所有标签为1的图像生成均值图像
pic = np.zeros((x_test.shape[1], x_test.shape[2]))
pic2 = np.copy(pic)
for i in range(x_test1.shape[0]):
    pic2 = x_test1[i, :, :, 0]
pic = pic + pic2
pic = (pic / x_test1.shape[0])
# 将均值图像中的每个像素向左平移一个像素
for i in range(pic.shape[0]):
    if i < 21:
        pic[:, i] = pic[:, i+1]
# 对平移后的图像进行预测
p = model.predict(pic.reshape(1, x_test.shape[1], x_test.shape[2], 1))
print(p)
c = np.argmax(p)
print('CNN预测结果：', c)

得到的模型输出结果如下所示：

[[1.3430370e-05 9.9989212e-01 2.0535077e-05 2.6301734e-07 4.3278211e-05
  5.9122913e-06 1.5874346e-05 6.2533190e-06 2.0079199e-06 4.1732173e-07]]
CNN预测结果： 1

看以看到，与深度前馈神经网络模型的情况相比，使用 CNN 架构得到的预测结果能够以更大的输出概率将平移后的图像预测为 1。

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