《数字图像处理》题库5：计算题 ①

前言

        这是我在学习数字图像处理这门课程时，从网络上以及相关书籍中搜集到的一些题目， 这些题目主要是针对期末考试的。 做题之前你需要注意以下几点：

1. 这篇文章整理了第5种题型，即计算题，为了避免篇幅过长，我将分为上中下3部分来展示。
2. 由于题目或答案中会出现许多的公式，重新编写很费时间，因此，我会将整个题目或答案截成图片来代替。
3. 为了提高复习的效率，这篇文章从考试可能涉及到的各个考点出发， 将题目按照考点归类，每一个考点中包括知识点回顾、经典例题、举一反三这3个部分。其中：
   1. 知识点回顾：对于一些重要的考点，我会在前面加上与这种题型相关的知识点，帮助大家快速的复习，不用现去翻阅书籍查找。（注：有一些考点，由于许多学校都不讲或者是讲的较少，这些部分的题目相对来说比较少，因此，这些题目只整理了少部分，比如形态学处理，图像分割，表示与描述等）
   2. 经典例题：知识点回顾之后，我会利用一道或几道经典的例题来说明此考点，并且这些例题会给出详细的分析或解题步骤。
   3. 举一反三：光有几道例题显然是不够的，因此，我在每一小节后还整理了一些类似的题目，帮助大家更好的巩固这些考点，这些习题的答案将放到我的个人主页对应的资源中（整理不易，希望大家支持）

        最后，在开始做题之前，给一些我个人的建议：

        由于数字图像处理这门学科可以参考的计算题并不多，因此建议大家尽量高质量的刷题，即通过几道经典的例题之后，便可以迅速地掌握这个考点并且能够举一反三，毕竟这些题目相对于高等数学来说，还是比较简单的，而且题型和考法都相对固定。

考点预览

        我对本书中涉及到的所有考点做一个总结，我将分别从考点的难易程度、重要程度以及考试频次3方面进行评估。

（注：由于这些都是我个人标注的，因此仅供参考，请大家以各自学校的重点为准）

考点内容	重要程度	难易程度	考点频次
考点01：人眼成像	★☆☆	★☆☆	★☆☆
考点02：成像模型	★☆☆	★☆☆	★☆☆
考点03：图像容量	★★★	★☆☆	★★☆
考点04：图像传输时间	★★☆	★☆☆	★☆☆
考点05：线性操作、非线性操作	★★★	★★☆	★★☆
考点06：灰度插值法	★★☆	★★☆	★★☆
考点07：像素间的基本关系	★★★	★★☆	★★★
考点08：距离度量	★★★	★☆☆	★★★
考点09：灰度变换	★★★	★★☆	★★★
考点10：直方图均衡化	★★★	★☆☆	★★★
考点11：直方图规定化	★★★	★★☆	★★★
考点12：其他直方图相关的题目	★★☆	★☆☆	★☆☆
考点13：中值滤波、均值滤波	★★★	★☆☆	★★★
考点14：卷积运算	★★★	★★☆	★★★
考点15：傅里叶变换	★★★	★★★	★★☆
考点16：彩色图像处理	★★☆	★★☆	★☆☆
考点17：图像复原的各种滤波器	★★★	★★☆	★★☆
考点18：图像压缩的基本概念	★★★	★☆☆	★★★
考点19：Huffman编码	★★★	★★☆	★★★
考点20：算术编码	★★★	★★☆	★★★
考点21：香农—范诺编码	★★☆	★★☆	★★☆
考点22：费诺—仙农编码	★★☆	★★☆	★★☆
考点23：LZW编码	★☆☆	★★☆	★☆☆
考点24：压缩率	★★☆	★☆☆	★☆☆
考点25：区域分割、区域增长	★★★	★★☆	★★☆
考点26：膨胀和腐蚀	★★★	★☆☆	★★☆
考点27：提取边缘	★★☆	★★☆	★☆☆

考点01：人眼成像

知识点回顾

中央凹

        中央凹本身是视网膜中直径约为1.5 mm 的圆形凹坑。然而，为便于后续的讨论，我们把它近似为方形或矩形敏感元素的阵列会更有用。这样，为解释的灵活性，我们可以把中央凹看成是大小为1.5 mm×1.5 mm 的方形传感器阵列。在视网膜这一区域中，锥状体的密度大约为150 000个/mm²。基于这一近似，眼睛中最高敏感区域的锥状体数量约为337 000个。从自然分辨能力的角度看，恰好与一个中等分辨率的电荷耦合元件（CCD）成像芯片具有的元素数量相当，接收器阵列不大于 5 mm×5 mm。尽管人类整体的智慧和视觉经验的能力使得这种比较有些肤浅，但记住， 人眼分辨细节能力的进一步讨论与当前电子成像传感器当然是可比较的。

眼睛中图像的形成

        在普通照相机中，镜头有固定的焦距，各种距离的聚焦是通过改变镜头和成像平面间的距离实现的，胶片放置在成像平面上（数码相机情况下是成像芯片）。在人眼中。则与此相反;晶状体和成像区域（视网膜）之间的距离是固定的，实现正确聚焦的焦距是通过改变晶状体的形状来得到的。睫状体中的纤维可实现这一功能，在远离或接近目标物时纤维会分别变扁或加厚晶状体。晶状体中心和视网膜沿视轴的距离大约是17 mm。焦距约为14~17 mm，在眼睛放松且聚焦距离大于3 m 时，焦距约为17mm。

        图2.3中的几何关系说明了如何得到一幅在视网膜上形成的图像的尺度。例如，假设一个人正在观看距其100 m 处的高为15m的一棵树。令h表示视网膜图像中该物体的高度，由图2.3的几何形状可以看出15/100 = h/17或h = 2.55 mm。正如2.1.1节指出的那样，视网膜图像主要聚焦在中央凹区域。然后，光接收器的相对刺激作用产生感知，把辐射能转变为电脉冲，最后由大脑解码。

经典例题

【冈萨雷斯《数字图像处理》第2版 P55  习题2.1】

        使用2.1节提供的背景信息，如果纸上的一个打印点离眼睛0.2 m远、请采用纯几何方法，估计眼睛能辨别的最小打印点的直径。为简单起见，假设在中央凹处的像点变得远比视网膜区域的感受器（锥状体）的直径小时，视觉系统已不能检测到该点。进一步假设中央凹可建模为1.5mm×1.5mm的方形阵列，并且锥状体间的间隔在该阵列上均匀分布。

 

举一反三

【冈萨雷斯《数字图像处理》第3版 P58  习题2.1】

1、使用2.1节提供的背景信息，如果纸上的一个打印点离眼睛0.3 m远、请采用纯几何方法，估计眼睛能辨别的最小打印点的直径。为简单起见，假设在中央凹处的像点变得远比视网膜区域的感受器（锥状体）的直径小时，视觉系统已不能检测到该点。进一步假设中央凹可建模为直径为1.5mm 的圆形阵列，并且锥状体间的间隔在该阵列上均匀分布。

【冈萨雷斯《数字图像处理》第2版 P56  习题2.5】

2、7mm x 7 mm的CCD芯片有1024×1024元素，将其聚焦到相距0.5m远的方形平坦区域。该摄像机每毫米能解析多少线对?摄像机配置 35 mm镜头。（提示∶成像处理模型如图2.3所示，摄像机镜头聚焦长度代替眼睛的聚焦长度。）

【冈萨雷斯《数字图像处理》第3版 P58  习题2.5】

3、14mm x 14 mm的CCD芯片有2048×2048元素，将其聚焦到相距0.5m远的方形平坦区域。该摄像机每毫米能解析多少线对?摄像机配置 35 mm镜头。（提示∶成像处理模型如图2.3所示，摄像机镜头聚焦长度代替眼睛的聚焦长度。）

考点02：成像模型

知识点回顾

简单的图像形成模型

我们用形如f（x，y）的二维函数来表示图像。在空间坐标（x，y）处，f的值或幅度是一个正的标量，其物理意义由图像源决定。当一幅图像由物理过程产生时，其亮度值正比于物理源（如电磁波）所辐射的能量。因此f（x，y）一定是非零的和有限的，即0 < f（x，y）< ∞ 

函数f（x，y）可由两个分量来表征∶

        （1）入射分量：入射到被观察场景的光源照射总量，表示为i（x，y）

        （2）反射分量：场景中物体所反射的光照总量，表示为r（x，y）

两个函数作为一个乘积合并形成f（x，y）：

        即 f（x，y） = i（x，y）r（x，y） 其中： 0 < i（x，y）< ∞   0 < r（x，y）< 1

0 < r（x，y）< 1指出反射分量限制在 0（全吸收）和 1（全反射）之间。

i（x，y）的性质取决于照射源，而r（x，y）的性质则取决于成像物体的特性。

经典例题

【冈萨雷斯《数字图像处理》第2版 P56  习题2.7、2.8】

考点03：图像容量

知识点回顾

经典例题

【冈萨雷斯《数字图像处理》第2版 P56  习题2.10】

        高清晰度电视（HDTV）使用1125条水平电视线隔行扫描来产生图像（每隔一行在显像管表面画一条线，每两场形成一帧，每场用时 1/60秒）。图像的宽高比是16∶9。在水平行数固定的情况下，求图像的垂直分辨率。一家公司已经设计了一种图像获取系统，该系统由 HDTV 图像生成数字图像。在该系统中，每条（水平）电视行的分辨率与图像的宽高比成正比，彩色图像的每个像素都有 24 比特的灰度分辨率，红色、绿色、蓝色图像各8比特。这三幅原色图像形成彩色图像。存储 2小时的HDTV节目需要多少比特? 

举一反三

1、存储一幅1024×768，256 个灰度级的图像需要多少位？ 存储一幅512×512 的32 bit 真彩图像的容量为多少位？ 

【冈萨雷斯《数字图像处理》第3版 P59  习题2.10】

2、高清晰度电视（HDTV）使用1080条水平电视线隔行扫描来产生图像（每隔一行在显像管表面画一条线，每两场形成一帧，每场用时 1/60秒）。图像的宽高比是16∶9。在水平行数固定的情况下，求图像的垂直分辨率。一家公司已经设计了一种图像获取系统，该系统由 HDTV 图像生成数字图像。在该系统中，每条（水平）电视行的分辨率与图像的宽高比成正比，彩色图像的每个像素都有 24 比特的灰度分辨率，红色、绿色、蓝色图像各8比特。这三幅原色图像形成彩色图像。存储 90分钟的一部HDTV电影需要多少比特?

考点04：图像传输时间

经典例题

【冈萨雷斯《数字图像处理》第2版 P56  习题2.9】

        在串行通信中，数字数据传输通常用波特率度量，其定义为每秒中传输的比特数。串行通信中，数据传输的单位是帧，也称字符。通常的传输是以一个开始比特、一个字节（8 比特）的信息和一个停止比特组成的包完成的。基于这个概念回答下列问题：

        1、用 56K 波特的调制解调器传输一幅 1024×1024、256 级灰度的图像要花费几分钟？

        2、以750K 波特【是典型的电话 DSL（数字用户线）连接的速度】传输要用多少时间？

1、传输数据包（包括起始比特和终止比特）为：N = n+m = 1+8+1 = 10bits

对于一幅1024×1024 大小的图像，其总的数据量为M = 1024×1024×N

故以56K 波特的速率传输所需时间为T=M/56000=1024×1024×(8+2)/56000 = 187.25 秒

2、以750K 波特的速率传输所需时间为T=M/750000=1024×1024×(8+2)/750000 = 13.98秒

举一反三

【冈萨雷斯《数字图像处理》第3版 P59  习题2.9】

        在串行通信中，数字数据传输通常用波特率度量，其定义为每秒中传输的比特数。串行通信中，数据传输的单位是帧，也称字符。通常的传输是以一个开始比特、一个字节（8 比特）的信息和一个停止比特组成的包完成的。基于这个概念回答下列问题：

        1、用 33.6K 波特的调制解调器传输一幅 2048×2048、256 级灰度的图像要花费几分钟？

        2、以3000K 波特【是典型的电话 DSL（数字用户线）连接的速度】传输要用多少时间？

        3、如果要传输的图像是512×512的真彩色图像（颜色数目是32 bit），则分别在上面两种信道下传 输，各需要多长时间？【此小问作为补充，书上没有】 

考点05：线性操作、非线性操作

知识点回顾

（注：这里给出了冈萨雷斯《数字图像处理》第2版和第3版两个版本的讲解，虽然描述上不太一样，但是表示的是同一个意思，方便大家全面的理解这个知识点）

【冈萨雷斯《数字图像处理》第2版 P54】

 【冈萨雷斯《数字图像处理》第3版 P42】

经典例题

1、算子H(f)=f+1是否线性算子？为什么？

举一反三

【冈萨雷斯《数字图像处理》第3版 P42  例1】

1、作为一个简单的例子，假设 H 是求和算子E，即该算子的功能是对输入简单地求和。

【冈萨雷斯《数字图像处理》第2版 P57  习题2.19】

【冈萨雷斯《数字图像处理》第3版 P60  习题2.19】

2、一个数集的中值ε定义为这样一个值，该数集中的一半数值比它小，另一半数值比它大，例如，数集{2、3、8、20、21、25、31}的中值是20。试证明计算子图像区域S的中值的算子是非线性的

【冈萨雷斯《数字图像处理》第2版 P57  习题2.18】

【冈萨雷斯《数字图像处理》第3版 P60  习题2.18】

3、在下一章，我们将讨论一些算子，其功能是在一个很小的子图像区域S中计算像素值的总和，证明这些算子都是线性算子。

考点06：灰度插值法

知识点回顾

        数字图像处理只能对坐标网格点（离散点）的值进行变换。而坐标变换后产生的新坐标值同网格点值往往不重合，因此需要通过内插的方法将非网格点的灰度值变换成网格点的灰度值，这种算法称为灰度内插。

经典例题

令 F（221，396）=18，F（221，397）=45，F（222，396）=52，F（222，397）=36，问 F（221.3，396.7）=？ 

（1）用最邻近插值法， （2）用双线性插值法，写出双线性方程及各系数的值。

（1）最邻近插值法：F（221.3，396.7）= 45

（2）双线性插值法：

45 –[(45–36) / 10]×3=42.3

18 –[(18–52) / 10]×3=28.2

42.3 –[(42.3–28.2) / 10]×3 =38.07

F（221.3，396.7）= 38.07

 

考点07：像素间的基本关系

知识点回顾

 

经典例题

举一反三

【冈萨雷斯《数字图像处理》第2版 P56  习题2.11】

【冈萨雷斯《数字图像处理》第3版 P59  习题2.11】

1、两个图像子集S1和S2图下图所示。对于V＝｛1｝确定这两个子集是4-邻接，8-邻接，还是m邻接的？

 2、计算所给图中的连通域个数？（分别用 4 连接求、 8 连接求）

【冈萨雷斯《数字图像处理》第2版 P57  习题2.12】

【冈萨雷斯《数字图像处理》第3版 P59  习题2.12】

3、提出将一个像素宽度的 8 通路转换为 4 通路的一种算法。

【冈萨雷斯《数字图像处理》第2版 P57  习题2.13】

【冈萨雷斯《数字图像处理》第3版 P60  习题2.13】

4、提出将一个像素宽度的 m通路转换为 4 通路的一种算法

【冈萨雷斯《数字图像处理》第3版 P60  习题2.15】

5、考虑如下所示的图像分割：

        令V＝｛0,1,2｝并计算ｐ和ｑ间的4，8，m通路的最短长度。如果在这两点间不存在特殊通路，其解释原因。

        对 V＝｛2,3,4｝重复上题。

考点08：距离度量

知识点回顾

经典例题

举一反三

1、已知p(x,y)、q(u,v)是两点，判断以下函数是否可以作为距离函数，并证明你的结论。

【冈萨雷斯《数字图像处理》第2版 P57  习题2.16】

【冈萨雷斯《数字图像处理》第3版 P60  习题2.16】

2、对于点p和q 间的D4 距离等于这两点间最短4通路的情况，给出需要的条件。这个通路唯一吗?【冈萨雷斯《数字图像处理》第2版 P57  习题2.17】

【冈萨雷斯《数字图像处理》第3版 P60  习题2.17】

3、对于点p和q 间的D8 距离等于这两点间最短8通路的情况，给出需要的条件。这个通路唯一吗?

考点09：灰度变换

知识点回顾

灰度变换（能根据变换函数的图形特征分析对图像增强的结果）

灰度变换可调整图像的灰度动态范围或图像对比度，是图像增强的重要手段之一。

直接灰度变换属于点处理技术，关键是设计合适的映射函数。

包含的技术有：灰度线性变换、分段线性变换、反转变换、对数变换、幂次变换、灰度切分。

 （注：考试中如果考灰度变换的计算题，一般来说都是线性灰度变换，因为这种模型简单并且计算方便，而非线性灰度变换，如对数变换、指数变换，由于模型比较复杂且计算困难，因此下面整理的题目大部分都是线性变换的，只有少数是非线性灰度变换的）  

经典例题

举一反三

1、在一个线性拉伸中，a，b 取何值时，A、B（其中 0≤A≤255）可分别移到 0 和 Dm。试画出当 A=32，B=200，Dm=255 时的 GST 函数

2、令图像 f (x, y)的灰度范围为[50, 80]，我们希望作一个线性变换，使得变换后图像 g(x, y)的灰度值范围为[20，180]，请写出 g(x, y)与 f (x, y)之间存在的变换公式

【冈萨雷斯《数字图像处理》第3版 P120  习题3.1】

3、为了展开一幅图像的灰度，使其最低灰度为C，最高灰度为L－1，试给出一个单调的变换函数

4、已知灰度图像f(x,y)如下矩阵所示，求经过变换后的图像g(x,y)，变换函数为。

【冈萨雷斯《数字图像处理》第2版 P113  习题3.3】

7、提出一组能够产生8比特单色图像所有单独位平面的灰度分层变换（例如，变换函数T（r），当r在【0，127】范围内时，T（r）=0，而当r在【128，255】范围内时，T（r）=255，此函数可以产生一幅8 比特图像的第7位平面图像）。

【冈萨雷斯《数字图像处理》第3版 P120  习题3.4】

8、提出一组能够产生4比特单色图像所有单独位平面的灰度分层变换（例如，变换函数T（r），当r在【0，7】范围内时，T（r）=0，而当r在【8，15】范围内时，T（r）=15，此函数可以产生一幅8 比特图像的第4比特平面图像）。

【冈萨雷斯《数字图像处理》第2版 P114  习题3.10 下图左】

【冈萨雷斯《数字图像处理》第3版 P121  习题3.11 下图右】

 考点10：中值滤波、均值滤波

知识点回顾

中值滤波

         中值滤波是对一个滑动窗口内的诸像素灰度值排序，用中间值代替窗口中心像素的原来灰度值，它是一种非线性的图像平滑法。

        它对脉冲干扰及椒盐噪声的抑制效果好，在抑制随机噪声的同时能有效保护边缘少受模糊。但它对点、线等细节较多的图像却不太合适。

均值滤波（邻域平均法 或 局部平滑法）

        局部平滑法是一种直接在空间域上进行平滑处理的技术。用邻域内各像素的灰度平均值代替该像素原来的灰度值，实现图像的平滑。

        设有一幅N×N的图像f(x,y)，若平滑图像为g(x,y)，s为（x,y）邻域内像素坐标的集合；

        则有式中x,y = 0,1,…,N-1；M表示集合s内像素的总数。

        可见邻域平均法就是将当前像素邻域内各像素的灰度平均值作为其输出值的去噪方法。

        设图像中的噪声是随机不相关的加性噪声，窗口内各点噪声是独立同分布的，经过上式平滑后，信号与噪声的方差比可望提高M倍。

        这种算法简单，但它的主要缺点是在降低噪声的同时使图像产生模糊，特别在边缘和细节处。而且邻域越大，在去噪能力增强的同时模糊程度越严重。 

经典例题

1、如图所示为原始图像数据，对该图像采用3×3模板进行邻域平均滤波。

2、对下图做3*3中值滤波处理，写出处理结果（忽略边界）。

举一反三

3、下图为一个5x5的数字图像，采用3x3中值滤波，给出处理后结果，写出计算过程，边界像素不处理，设定为黑色。（边界像素不进行处理）

4、假设图像输入为0 0 8 0 0 2 3 2 0 2 3 2 0 3 5 3 0 3 5 3 0 0 2 3 4 5 5 5 5 5 0 0 0。

• 请问采用1×3的均值滤波模板的结果是什么？（需要考虑边界）
• 请问采用1×3的中值滤波模板的结果是什么？（需要考虑边界）

5、图像为2 4 7 4 3 5 4 6 4 4 4，中值滤波取1*5的一维的模板，需要考虑边界，求经过中值滤波后的值

6、假设一幅数字图像上带有随机加性噪声，而我们对这幅图像的拍摄信息一无所知。请设计一个方案用来判断噪声模型（简要说明步骤）。如图为一幅 16 级灰度的图像。请写出 3x3 的均值滤波器和 3x3 的中值滤波器；并给出两种滤波器对下图的滤波结果（只处理灰色区域，不处理边界）。

7、以为模板，对下图进行均值滤波处理，请写出处理结果