PCA详解

一、来源及作用

存在问题

  在我们训练模型的过程中，有时会出现在训练集上误差较小，但到了测试集误差又较大，我们称之为泛化误差，造成这种现象往往是以下几个原因：

• 训练数据不足
• 训练集与测试集数据分布不同
• 特征维度过高，造成过拟合

  而为了解决这一问题，我们又有以下几种方法：

• 增加样本数量
• 使用正则项
• 对数据进行降维

  其中对数据进行降维可以进行人工特征筛选，但往往费时又费力，效果还有可能不好，因此我们可以采用一些模型来进行数据降，其中比较常用的就是PCA(Principal Component Analysis)，即主成分分析。

基本作用

  PCA经常被用作以下几个方面：

• 数据降维（降低高维数据，简化计算）
• 数据去噪
• 处理共线特征，降低算法的开销，同时防止样本过拟合

二、 基本原理及求解步骤

核心思想

  PCA的核心思想是经过线性变换，将数据从$n$维线性空间映射至$k$维（$k<n$），并且期望在投影方向上信息量最大，同时将数据进行反向重构时代价最小。

比如下面一组数据：

如果我们将其投影至X轴，则其效果如下：

X = [1  7 -4  1  5 -1  3 -2 -6 -2]
Y = [ 1.86379123  6.27582279 -3.08964086  3.39810814  6.43125938 -0.57665254
  3.06208316 -1.7341361  -6.09519518 -1.36688637]

如果我们将其投影至Y轴，则效果如下：

但如果我们将其投影至过原点的一条直线，其效果将变为：

很显然投影至$y=x$直线上，更能体现出数据之间的差异性。

如何选择投影方向

1.数据中心化

  即所有特征分别减去其各自维度的平均值，其效果就是将所有数据往原点方向整体偏移，处理后的数据平均值为0.

2.求协方差矩阵C

我们以原始特征空间为2维举例：$$C=\left[\begin{array}{cc}cov(x_1,x_1)& cov(x_1,x_2)\\ cov(x_2,x_1)& cov(x_2,x_2)\end{array}\right]$$

• C的纬度是$k\ast k$维的，$k$为特征的数量。

• 对角线上的值分别是$x_1$和$x_2$的方差，非对角线上的是协方差，协方差可以用来描述两个特征之间的相关性，协方差大于0表示$x_1$和$x_2$成正相关，即一个增大，另一个也增大；如果协方差小于0，则说明呈负相关；如果协方差等于0，则说明线性无关。协方差的绝对值越大，相关性越强；反之则越弱

• 其中对于协方差并没有统一的度量值

其中：
$$\begin{array}{rl}cov(x,y)& =E[(x-E(x))(y-E(y))]\\ & =\frac{\sum _{i=1}^n(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{n}\end{array}$$
由于中心化后的数据各个维度上的平均值都为0，因此
$$\begin{array}{rl}cov(x,y)& =\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{x}_i{y}_i\\ & =\frac{1}{n}{x}^{T}y\end{array}$$
由此可得：$$C=\frac{1}{n}{X}^{T}X$$

• 这里$n$为样本的数量，X为所有样本的特征构成的矩阵

3.求解协方差矩阵的特征值与特征向量

令$$C\mu =\lambda \mu$$
就可以解出一组特征值与特征向量$\{({\lambda }_1,{\mu }_1),({\lambda }_2,{\mu }_2)...({\lambda }_n,{\mu }_n)\}$

我们将其按照特征值从大到小排列，如果要将数据从$n$维投影至$k$维，我们取前$k$个特征值对应的特征向量，并且将其标准化，使得每个特征向量的模为1，将其从上到下按行排列构成特征矩阵$P$
$$P=\left[\begin{array}{c}{\mu }_1\\ {\mu }_2\\ .\\ .\\ .\\ {\mu }_k\end{array}\right]$$
4.将原始特征投影到新的特征空间

我们设投影后的的特征为$Y$：
$$Y=PX$$即为降维后的数据

三、原理分析

  对于上述PCA的降维步骤，我们心里一定有一个疑惑，即为什么要用协方差矩阵的特征向量作为投影方向，一开始我们提到过，PCA的目标可以从两方面理解，一个是最大投影方差，还有是最小重构距离，下面将从两方面进行推导。

最大投影方差

  对于某一原始的特征$x_i$，其中心化后的值变为$x_i-{\bar{x}}_i$。假设我们要向某一基准向量为$u_i$的方向投影，由于$u_i$为基准向量，所以其模为1，即$u_i^T{u}_i=1$，我们设两个向量间的夹角为$\theta$，那么其投影后的向量就可以表示为$|x_i-{\bar{x}}_i|\cos \theta$，其中投影前的两个向量的内积为$|x_i-{\bar{x}}_i||u_i|\cos \theta$，因此可得投影后的向量就等于两个向量的内积$(x_i-{\bar{x}}_i{)}^T{u}_i$。

  我们要使投影方差最大，即使得全局投影后的方差最大，投影后全量均值为：
$$\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n(x_i-{\bar{x}}_i{)}^T{u}_i=u_i\sum _{i=1}^n\frac{1}{n}(x_i-{\bar{x}}_i{)}^T=0$$
因此投影后的方差为：
$$\begin{array}{rl}J& =\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n[(x_i-{\bar{x}}_i{)}^T{u}_i{]}^2\\ & =\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{u}_i^T(x_i-{\bar{x}}_i)(x_i-{\bar{x}}_i{)}^T{u}_i\\ & =u_i^T\sum _{i=1}^n\frac{1}{n}(x_i-{\bar{x}}_i)(x_i-{\bar{x}}_i{)}^T{u}_i\end{array}$$
其中$\sum _{i=1}^n\frac{1}{n}(x_i-{\bar{x}}_i)(x_i-{\bar{x}}_i{)}^T$就是中心化后矩阵的协方差矩阵，我们设其为$S$，因此可以得到：
$$\begin{array}{rl}& L=\mathrm{argmax}{\mu }_i^{T}S{u}_i\\ & s.t.u_i^T{u}_i=1\end{array}$$
这就变成了一个简单的带约束优化问题，我们将其转化为拉格朗日形式可以得到：
$$L({\mu }_i,\lambda )={\mu }_i^{T}S{\mu }_i+\lambda (1-{\mu }_i^T{\mu }_i)$$
我们对$u_i$求偏导令其等于0得：
$$\frac{\partial L({\mu }_i,\lambda )}{\partial {\mu }_i}=2S{\mu }_i-2\lambda {\mu }_i=0$$
因此可得：
$$S{\mu }_i=\lambda {\mu }_i$$
所以这里的$\lambda$就可以等同为协方差矩阵的特征值，${\mu }_i$为对应的特征向量

我们将其带入$L$可得$$L=\mathrm{argmax}{\mu }_i^T\lambda {\mu }_i$$
由于这里$\lambda$是一个实数，因此可以得到：$$L=\mathrm{argmax}\lambda {\mu }_i^T{\mu }_i=\mathrm{argmax}\lambda$$
所以在进行降维时，优先选取特征值大的特征向量

最小重构代价

  重构代价的含义就是将首先将原始空间的向量进行重构，转化成由一组线性无关的向量所构成的向量$x_i$，其与投影后的数据${\hat{x}}_i$的距离就是重构代价。我们的目的是使得$x_i-{\hat{x}}_i$的距离最小，至于向量间的距离，我们可以用内积来度量。可得：
$$J=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n||x_i-{\hat{x}}_i|{|}^2$$
我们假设重构后的特征空间为$p$维，降维后的特征空间为$q$维（ q < p q

q<p），具体某个方向的基准向量为${\mu }_1,{\mu }_2...{\mu }_p$，那么重构后的向量$x_i$可以表示为：$$x_i=\sum _{k=1}^p(x_i^T{\mu }_k){\mu }_k$$
降维后的${\hat{x}}_i$可以表示为：
$${\hat{x}}_i=\sum _{k=1}^q(x_i^T{\mu }_k){\mu }_k$$
因此我们可以得到：
$$\begin{array}{rl}J& =\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n||\sum _{k=q+1}^p(x_i^T{\mu }_k){\mu }_k|{|}^2\\ & =\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n\sum _{k=q+1}^p(x_i^T{\mu }_k{)}^2\end{array}$$
这里我们将$x_i$替换成中心化后的点$x_i-{\bar{x}}_i$可得：
$$\begin{array}{rl}J& =\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n\sum _{k=q+1}^p[(x_i-{\bar{x}}_i{)}^T{\mu }_k{]}^2\\ & =\sum _{k=q+1}^p\sum _{i=1}^n\frac{1}{n}[(x_i-{\bar{x}}_i{)}^T{\mu }_k{]}^2\end{array}$$
跟最大投影方差中的推导过程类似，我们可以得到：
$$J=\sum _{k=q+1}^p{\mu }_k^{T}S{\mu }_k$$
其中$S$为均值化后的协方差矩阵，于是我们可以构造优化问题：
$$\begin{array}{rl}& L=\mathrm{argmin}\sum _{k=q+1}^p{\mu }_k^{T}S{\mu }_k\\ & s.t.{\mu }_k^T{\mu }_k=1\end{array}$$
同样构造拉格朗日函数后我们可以得到：
$$L=\mathrm{argmin}\sum _{k=q+1}^p{\lambda }_k$$
因此在舍弃维度时，优先舍弃特征值较小的

四、SVD与PCA的关系

  我们假设经过中心化后的样本为$X$，前面我们已经推导过，此时的协方差矩阵可以表达为$$S=\frac{1}{n}{X}^{T}X$$
假设我们对$X$进行奇异值分解为：
$$X=U\Sigma V^T$$
其中$U$和$V$都是酉矩阵，满足$U^{T}U=I$以及$V^{T}V=I$，$\Sigma$为对角阵，其对角线上的值为所有奇异值

那么$S$就可以表示为：
$$\begin{array}{rl}S& =\frac{1}{n}V\Sigma U^{T}U\Sigma V^T\\ & =\frac{1}{n}V{\Sigma }^2{V}^T\end{array}$$
因此，在数据量较大，不方便直接求解协方差矩阵的情况，我们可以对中心化后的矩阵进行奇异值分解来代替计算