概率统计Python计算：标准正态分布分位点计算

标准正态分布对给定显著水平的分位点。设$X$~$N(0,1)$，显著水平为$\alpha$。为计算右侧分位点$z_{\alpha }$（见下图），使得
$$P(X\le z_{\alpha })=1-\alpha$$

由标准正态分布密度函数$\phi (x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{x^2}{2}}$关于纵轴的对称性，对给定的显著水平$\alpha$，左侧分位点为右分位点关于原点的对称点$-z_{\alpha }$（见下图）。

对显著水平$\alpha$，为计算标准正态分布的双侧分位点（关于原点对称，如下图所示）$-z_{\alpha /2}$和$z_{\alpha /2}$，使得
$$P(-z_{\alpha /2}\le X\le z_{\alpha /2})=1-\alpha$$

我们知道scipy.stats包中连续型分布类 rv_continuous的norm对象，当参数loc和scale取默认值0和1时，即表示标准正态分布。下列表格列出了标准正态分布的用于计算分位点的函数的参数意义。

函数名	参数	意义
ppf	q：表示显著水平$\alpha$	左分位点$-z_{\alpha }$
isf	q：与上同	右分位点$z_{\alpha }$
interval	alpha：表示置信水平$1-\alpha$	分位点$-z_{\alpha /2}$和$z_{\alpha /2}$

对指定的实数$0<\alpha <1$，尽管根据上述讨论知，左、右分位点可分别调用ppf（分布函数的反函数）及isf（残存函数的反函数）算得，但由于标准正态分布的密度函数$\phi (x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{x^2}{2}}$是关于纵轴对称的，所以对同一个$\alpha$，左、右分位点是关于原点对称的（由以上各图可见）。因此，我们可仅调用isf计算右分位点$z_{\alpha }$，其相反数$-z_{\alpha }$即为左分位点。由于表示标准正态分布的参数loc和scale取默认值，所以计算分位点时，所调用的isf函数只需传递一个表示$\alpha$的参数q。norm对象的interval函数的参数alpha表示随机变量落在左右分位点界定的区间内的概率值，也就是上述正文中表示的$1-\alpha$。
例1 设显著水平$\alpha =0.05$，计算标准正态分布的单侧左、右分位点$-z_{0.05}$，$z_{0.05}$和双侧左、右分位点$-z_{0.025}$，$z_{0.025}$。
解：下列代码完成本例的计算。

from scipy.stats import norm                    #导入norm
alpha=0.05                                      #设置alpha
b=norm.isf(q=alpha)                             #计算单侧右分位点
a=-b                                            #单侧左分位点
print('单侧左、右分位点：a=%.4f,b=%.4f'%(a, b)) 	#输出精确到万分位
a, b=norm.interval(1-alpha)                     #计算双侧分位点
print('双侧左、右分位点：a=%.4f,b=%.4f'%(a, b)) 	#输出精确到万分位

运行程序，输出

单侧左、右分位点：a=-1.6449, b=1.6449
双侧左、右分位点：a=-1.9600, b=1.9600

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