清风数学建模学习笔记——系统(层次)聚类原理详解及案例分析

系统聚类

  系统聚类的合并算法通过计算两类数据点间的距离，对最为接近的两类数据点进行组合，并反复迭代这一过程，直到将所有数据点合成一类，并生成聚类谱系图。此外，系统聚类可以解决簇数 K 的取值问题，后文会给出 SPSS 操作的流程。

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一、样本与样本间的距离

例：下表是30个学生的六门课的成绩。根据这30个人的成绩，对这30个学生进行分类。
  

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样本与样本之间的常用距离（样本 $i$ 与样本 $j$）：
$$\begin{gathered} 1、绝对值距离：d(x_i,x_j)=\sum _{k=1}^p|x_{ik}-x_{jk}| \\ 2、欧式距离：d(x_i,x_j)=\sqrt{\sum _{k=1}^p(x_{ik}-x_{jk}{)}^2} \\ 3、Minkowski距离：d(x_i,x_j)={\left[\sum _{k=1}^p(x_{ik}-x_{jk}{)}^q\right]}^{\frac{1}{q}} \\ 4、Chebyshev距离：d(x_i,x_j)=\underset{1\le k\le p}{\max }|x_{ik}-x_{jk}| \\ 5、马氏距离：d(x_i,x_j)=(x_i,x_j{)}^{{}^{\prime }}\sum {}^{-1}(x_i,x_j) \\ 其中：x_i=(x_{i1},x_{i2},...,x_{ip}{)}^{{}^{\prime }},x_j=(x_{j1},x_{j2},...,x_{jp}{)}^{{}^{\prime }} \end{gathered}$$

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例：

    

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二、指标与指标之间的距离

例：根据这30个人的成绩，将六门课程分为两类。

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指标与指标之间的常用距离（指标 i 与指标 j ）

$$\begin{gathered} 相关系数：\rho (X_i,X_j)=\frac{\sum _{k=1}^p({\bar{x}}_{ki}-{\bar{x}}_i)({\bar{x}}_{kj}-{\bar{x}}_j)}{\sqrt{\sum _{k=1}^p({\bar{x}}_{ki}-{\bar{x}}_i{)}^2({\bar{x}}_{kj}-{\bar{x}}_j{)}^2}} \\ 夹角余弦：r(X_i,X_j)=\frac{\sum _{k=1}^p{x}_{ki}{x}_{kj}}{\sqrt{\sum _{k=1}^p{x}_{ki}^2\sum _{k=1}^p{x}_{kj}^2}} \end{gathered}$$

用的比较少，了解即可。

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三、类与类之间的距离

  类与类之间的距离就是集合与集合之间的距离。

类与类之间的距离有如下两个属性：

1. 由一个样品组成的类是最基本的类；如果每一类都由一个样品组成，那么样品间的距离就是类间距离。
2. 如果某一类包含不止一个样品，那么就要确定类间距离，类间距离是基于样品间距离定义的。

定义：$G_p$和 $G_q$是两个类，$D(G_p,G_q)$是这两个类的距离。$x_i\in G_p，x_j\in G_q$，$d(x_i,x_j)$是两个样本之间的距离。

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类与类之间的距离有如下几种定义：

1. 最短距离法：
   $$D(G_p,G_q)=\min d(x_i,x_j)$$

2. 最长距离法：
   $$D(G_p,G_q)=\max d(x_i,x_j)$$
   
3. 组间平均连线法
   $$D(G_p,G_q)=\frac{d_1+d_2+d_3+d_4}{4}$$
   
4. 组内平均连接法
   $$D(G_p,G_q)=\frac{d_1+d_2+d_3+d_4+d_5+d_6}{6}$$
   
5. 重心法
   $$D(G_p,G_q)=d(\overline{x_p},\overline{x_q}),两个类的中心如下：{\bar{x}}_p=\frac{x_{p1}+x_{p2}}{2},{\bar{x}}_q=\frac{x_{q1}+x_{q2}}{2}$$
   

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四、系统聚类法流程

流程图如下：

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五、案例分析

根据五个学生的六门课的成绩，对这五个学生进行分类。

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1. 写出样品间的距离矩阵(以欧氏距离为例）

2. 将每一个样品看做是一个类，即 G1,G2,G3,G4,G5。观察 D(G1,G5)=15.8最小，故将 G1 与 G5 聚为一类，记为G6。计算新类与其余各类之间的距离，得到新的距离矩阵D1。

3. 观察 D(G2,G4)=15.9 最小，故将G2与G4聚为一类，记为G7。计算新类与其余各类之间的距离，得到新的距离矩阵D2。

4. 观察 D(G6,G7) =18.2最小，故将G6与G7聚为一类，记为G8。 计算新类与其余各类之间的距离，得到新的距离矩阵 D3。

5. 最后将G8与G3聚为一类，记为G9。

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SPSS操作：
  分析 → 分类 → 系统聚类，将变量与标注依据分别加入到对应的组中。 保存图示如下，方法中的标准化，如果量纲不同，则选择 Z 得分。

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结果分析：

  SPSS运行出的谱系图，可根据自己的需求划分出要聚类的个数，方法是画竖线，如下图，将样本化分为 3 类。第一类是广东、上海，第二类是北京、浙江、天津、西藏、福建，第三类是其余的省份。（这道例题选取：1999年全国31个省份城镇居民家庭平均每人全年消费性支出数据 ）
  
  虽说系统聚类对于 K 的选取提供了一些方案，但是我们对 K 的选取还存在一定的主观性，因此需要应用肘部法则来修正系统聚类。

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六、肘部法则对模型的修正

  肘部法则是通过图形大致的估计出最优的聚类数量。应用了SPSS输出文档中的集中计划中的系数，需要将系数进行排序之后，应用 excel 生成图像，如下图：
    
  从上图可以看出 K 取1到5时，畸变程度变化最大。超过5以后，畸变程度变化显著降低。因此 K可以取 5，当然 3 也可以，只要给出理由。

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  确定 K 之后，即可重新聚类，注意保存中选取单个解为 K 的值。如 K=3：

  

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七、模型扩展（★）

1. 对于一个实际问题要根据分类的目的来选取指标，指标选取的不同分类结果一般也不同。
2. 样品间距离定义方式的不同，聚类结果一般也不同。
3. 聚类方法的不同，聚类结果一般也不同（尤其是样品特别多的时候）。最好能通过各种方法找出其中的共性。
4. 要注意指标的量纲，量纲差别太大会导致聚类结果不合理。
5. 聚类分析的结果可能不令人满意，因为我们所做的是一个数学的处理，对于结果我们要找到一个合理的解释。

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  本文借鉴了数学建模清风老师的课件与思路，如果大家发现文章中有不正确的地方，欢迎大家在评论区留言，也可以点击查看下方链接查看清风老师的视频讲解~

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