贾俊平《统计学》第六章统计量及抽样分布知识点总结及课后习题答案

一、知识框架

二、练习题
调节一个装瓶机使其对每个瓶子的灌装量均值为μ盎司，通过观察这台装瓶机对每个瓶子的灌装量服从标准差σ＝1.0盎司的正态分布。随机抽取这台机器灌装的9个瓶子组成一个样本，并测定每个瓶子的灌装量。试确定样本均值偏离总体均值不超过0.3盎司的概率。解：设每个瓶子的灌装量为X，X为样本均值，样本容量为n。由于总体X服从正态分布，样本均值X也服从正态分布，且均值相同，标准差为

所以

三、简述题

1什么是统计量？为什么要引进统计量？统计量中为什么不含任何未知参数？

答：（1）统计量的定义：设X1，X2，…，Xn是从总体X中抽取的容量为n的一个样本，如果由此样本构造一个函数T（X1，X2，…，Xn），不依赖于任何未知参数，则称函数T（X1，X2，…，Xn）是一个统计量。
（2）引进统计量的原因：在实际应用中，当从某总体中抽取一个样本后，并不能直接用它去对总体的有关性质和特征进行推断，这是因为样本虽然是从总体中获取的代表，含有总体性质的信息，但仍较分散。为了使统计推断成为可能，首先必须把我们所关心的分散在样本中的信息集中起来，针对不同的研究目的，构造不同的样本函数。
（3）统计量中不含未知参数的原因：统计量是样本的一个函数。由样本构造具体的统计量，实际上是对样本所含的总体信息按某种要求进行加工处理，把分散在样本中的信息集中到统计量的取值上，不同的统计推断问题要求构造不同的统计量，所以统计量不包含未知参数。2判断下列样本函数中哪些是统计量？哪些不是统计量？

T1＝（X1＋X2＋…＋X10）/10
T2＝min（X1，X2，…，X10）
T3＝X10－μ
T4＝（X10－μ）/σ

答：统计量中不能含有未知参数，故T1、T2是统计量，T3、T4不是统计量。

3简述χ2分布、t分布、F分布及正态分布之间的关系。

答：（1）χ2分布与正态分布之间的关系：随机变量X1，X2，…Xn相互独立，且都服从标准正态分布，则它们的平方和服从自由度为n的χ2分布。
（2）χ2分布、t分布与正态分布之间的关系：随机变量X服从标准正态分布，Y服从自由度为n的χ2分布，且X与Y独立，那么服从自由度为n的t分布。
（3）χ2分布与F分布之间的关系：随机变量Y和Z分别服从自由度为m和n的χ2分布并且相互独立，那么服从第一自由度为m，第二自由度为n的F分布。

4什么是抽样分布？

答：抽样分布的概念：在总体X的分布类型已知时，若对任一自然数n，都能导出统计量T＝T（X1，X2，…，Xn）的分布的数学表达式，这种分布称为精确的抽样分布。精确的抽样分布大多是在正态总体下得到的。在正态总体条件下，主要有χ2分布、t分布、F分布，常称之为统计三大分布。

5简述中心极限定理的意义。

答：中心极限定理的意义体现在：
（1）它提出大量的独立随机变量之和具有近似于正态的分布，它不仅提供了计算独立随机变量之和的近似概率的简单方法，而且有助于解释为什么有很多自然群体的经验频率呈现出钟形（即正态）曲线这一事实
（2）中心极限定理这个结论使正态分布在数理统计中具有很重要的地位，也使正态分布有了广泛的应用。