【机器学习自学笔记2】决策树

决策树(Decision Tree）是在已知各种情况发生概率的基础上，通过构成决策树来求取净现值的期望值大于等于零的概率，评价项目风险，判断其可行性的决策分析方法，是直观运用概率分析的一种图解法。由于这种决策分支画成图形很像一棵树的枝干，故称决策树。在机器学习中，决策树是一个预测模型，他代表的是对象属性与对象值之间的一种映射关系。Entropy = 系统的凌乱程度，使用算法ID3, C4.5和C5.0生成树算法使用熵。这一度量是基于信息学理论中熵的概念。

如果我们有一套数据集：

颜色	响声	甜度	好瓜
青绿	浑浊	不甜	不是
青绿	浑浊	不甜	不是
青绿	清脆	甜	是
青绿	浑浊	不甜	不是
深绿	清脆	甜	是
深绿	浑浊	甜	是
深绿	浑浊	不甜	是
深绿	清脆	甜	是
深绿	清脆	甜	是

根据数据集，可以生成一套决策树：

青绿

深绿

清脆

浑浊

甜

不甜

颜色

响声

甜度

是好瓜

是好瓜.

是好瓜..

不是好瓜

然而，上面随便编的决策树是否合理？

关于如何生成决策树，需要涉及一些问题：

• 如何挑选根结点
• 如果挑选分枝结点
• 如何判断是继续向下分枝还是停止
• …

这就是我们接下来要解决的问题。

ID3

ID3 算法是一种基于信息熵理论的决策树算法。

ID3 算法的思想：

• 先计算数据集的信息熵
• 再逐个计算每一个条件确定之后的条件熵
• 通过信息熵 - 条件熵得到每个条件的信息增益系数
• 挑选增益最大的条件作为根结点
• 对每个分枝的数据集开始新一轮计算
• 对于每一个数据集，如果结果唯一或数据集个数小于某一阈值，就不再继续分枝

计算信息熵

根据数据集：

颜色	响声	甜度	好瓜
青绿	浑浊	不甜	不是
青绿	浑浊	不甜	不是
青绿	清脆	甜	是
青绿	浑浊	不甜	不是
深绿	清脆	甜	是
深绿	浑浊	甜	是
深绿	浑浊	不甜	是
深绿	清脆	甜	是
深绿	清脆	甜	是

$$P(是好瓜)=\frac{6}{9},P(不是好瓜)=\frac{3}{9}$$
计算信息熵：
$$Ent(X)=-\frac{6}{9}{\log }_2\frac{6}{9}-\frac{3}{9}{\log }_2\frac{3}{9}=0.9183$$

计算条件熵

确定颜色的情况

颜色 = 青绿：

响声	甜度	好瓜
浑浊	不甜	不是
浑浊	不甜	不是
清脆	甜	是
浑浊	不甜	不是

$$Ent(X|颜色=青绿)=-\frac{1}{4}{\log }_2\frac{1}{4}-\frac{3}{4}{\log }_2\frac{3}{4}=0.8113$$

颜色 = 深绿：

响声	甜度	好瓜
清脆	甜	是
浑浊	甜	是
浑浊	不甜	是
清脆	甜	是
清脆	甜	是

$$Ent(X|颜色=深绿)=-\frac{5}{5}{\log }_2\frac{5}{5}=0$$

故
$$Ent(X|颜色)=\frac{4}{9}Ent(X|颜色=青绿)+\frac{5}{9}Ent(X|颜色=深绿)=0.3606$$

确定响声的情况

响声 = 清脆：

颜色	甜度	好瓜
青绿	甜	是
深绿	甜	是
深绿	甜	是
深绿	甜	是

$$Ent(X|响声=清脆)=-\frac{4}{4}{\log }_2\frac{4}{4}=0$$

响声 = 浑浊：

颜色	甜度	好瓜
青绿	不甜	不是
青绿	不甜	不是
青绿	不甜	不是
深绿	甜	是
深绿	不甜	是

$$Ent(X|响声=浑浊)=-\frac{2}{5}{\log }_2\frac{2}{5}-\frac{3}{5}{\log }_2\frac{3}{5}=0.9710$$

故
$$Ent(X|响声)=\frac{4}{9}Ent(X|响声=清脆)+\frac{5}{9}Ent(X|响声=浑浊)=0.4316$$

确定甜度的情况

甜度 = 甜：

颜色	响声	好瓜
青绿	清脆	是
深绿	清脆	是
深绿	浑浊	是
深绿	清脆	是
深绿	清脆	是

$$Ent(X|甜度=甜)=-\frac{5}{5}{\log }_2\frac{5}{5}=0$$

甜度=不甜：

颜色	响声	甜度	好瓜
青绿	浑浊	不甜	不是
青绿	浑浊	不甜	不是
青绿	浑浊	不甜	不是
深绿	浑浊	不甜	是

$$Ent(X|甜度=不甜)=-\frac{4}{4}{\log }_2\frac{4}{4}=0.8113$$

故
$$Ent(X|甜度)=\frac{5}{9}Ent(X|甜度=甜)+\frac{4}{9}Ent(X|甜度=不甜)=0.3606$$

计算增益系数

$$Gain(颜色)=Ent(X)-Ent(X|颜色)=0.5577$$

$$Gain(响声)=Ent(X)-Ent(X|响声)=0.4867$$

$$Gain(甜度)=Ent(X)-Ent(X|甜度)=0.5577$$

挑选根结点

注意到颜色、甜度的增益系数最大，我们可以任选其一，比如将颜色作为根节点。

第二次分类：颜色=青绿

数据集为：

响声	甜度	好瓜
浑浊	不甜	不是
浑浊	不甜	不是
清脆	甜	是
浑浊	不甜	不是

按照同样的方法计算出此时的信息熵：
$$Ent(X)=-\frac{1}{4}{\log }_2\frac{1}{4}-\frac{3}{4}{\log }_2\frac{3}{4}=0.8113$$
计算条件熵：
$$Ent(X|响声=浑浊)=0,Ent(X|响声=清脆)=0$$
故
$$Ent(X|响声)=0$$

$$Ent(X|甜度=甜)=0,Ent(X|甜度=不甜)=0$$

故
$$Ent(X|甜度)=0$$
计算增益系数：
$$Gain(响声)=0.8113$$

$$Gain(甜度)=0.8113$$

一样大，任选其一，若选择响声，注意到分类后的结果集中：

• 响声=清脆 一定是好瓜
• 响声=浑浊 一定不是好瓜

故不用继续分枝。

第二次分类：颜色=深绿

响声	甜度	好瓜
清脆	甜	是
浑浊	甜	是
浑浊	不甜	是
清脆	甜	是
清脆	甜	是

注意到结果集只有好瓜，故不用继续分枝。

生成决策树

深绿

青绿

清脆

浑浊

颜色

响声

是好瓜

是好瓜.

不是好瓜

CART

CART 算法基于基尼系数，它的运算比 ID3 更简单，其特点是只能生成二叉树。

CART 算法的思想：

• 计算数据集的基尼系数
• 计算数据集每个条件下的基尼系数
• 选择最小的基尼系数作为最优切分点
• 对切分出的新数据集开始新一轮计算
• 对于每一个数据集，如果其基尼系数小于某一阈值或数据个数小于某一阈值，就不再继续分枝

为了体现基尼系数的一些特性，下面模拟一套新的数据集：

颜色	响声	甜度	好瓜
青绿	浑浊	80	不是
青绿	浑浊	75	不是
深绿	清脆	80	是
深绿	浑浊	90	是
乌黑	清脆	85	不是
乌黑	清脆	95	是

计算颜色的基尼系数

当样本超过 2 类时，我们需要将样本切分成两类，逐个计算基尼系数后，再找到最佳的切分方法。

青绿为一类，深绿或乌黑为一类

$$Gini(颜色=青绿)=1-(\frac{2}{2}{)}^2=0$$

$$Gini(颜色=深绿或乌黑)=1-(\frac{3}{4}{)}^2-(\frac{1}{4}{)}^2=0.3750$$

故
$$Gini(颜色)=\frac{2}{6}Gini(颜色=青绿)+\frac{4}{6}Gini(颜色=深绿或乌黑)=0.2500$$

深绿为一类，青绿或乌黑为一类

$$Gini(颜色=深绿)=1-(\frac{2}{2}{)}^2=0$$

$$Gini(颜色=青绿或乌黑)=1-(\frac{3}{4}{)}^2-(\frac{1}{4}{)}^2=0.3750$$

故
$$Gini(颜色)=\frac{2}{6}Gini(颜色=深绿)+\frac{4}{6}Gini(颜色=青绿或乌黑)=0.2500$$

乌黑为一类，青绿或深绿为一类

$$Gini(颜色=乌黑)=1-(\frac{1}{2}{)}^2-(\frac{1}{2}{)}^2=0.5000$$

$$Gini(颜色=青绿或深绿)=1-(\frac{2}{4}{)}^2-(\frac{2}{4}{)}^2=0.5000$$

故
$$Gini(颜色)=\frac{2}{6}Gini(颜色=乌黑)+\frac{4}{6}Gini(颜色=青绿或深绿)=0.5000$$
综上，最小的基尼系数为：青绿为一类，深绿或乌黑为一类；或深绿为一类，青绿或乌黑为一类，最小值为：
$$Gini(颜色{)}_{min}=0.2500$$

计算响声的基尼系数

由于响声只有两种类型，故不需要多次切分：
$$Gini(响声=浑浊)=1-(\frac{2}{3}{)}^2-(\frac{1}{3}{)}^2=0.4444$$

$$Gini(响声=清脆)=1-(\frac{2}{3}{)}^2-(\frac{1}{3}{)}^2=0.4444$$

故
$$Gini(响声)=\frac{3}{6}Gini(响声=浑浊)+\frac{3}{6}Gini(响声=清脆)=0.4444$$

计算甜度的基尼系数

注意到甜度是一组连续的变量，要求解连续变量的最优切分点，我们需要对分界位置进行逐个切分。

X = {75, 80, 85, 90, 95}

{75} 为一类，{80,85,90,95} 为一类

$$Gini(甜度\in \{75\})=1-(\frac{1}{1}{)}^2=0$$

$$Gini(甜度\in \{80,85,90,95\})=1-(\frac{3}{5}{)}^2-(\frac{2}{5}{)}^2=0.4800$$
故
$$Gini(甜度)=\frac{1}{6}Gini(甜度\in \{75\})+\frac{5}{6}Gini(甜度\in \{80,85,90,95\})=0.4000$$

{75,80}为一类，{85,90,95}为一类

$$Gini(甜度\in \{75,80\})=1-(\frac{2}{3}{)}^2-(\frac{1}{3}{)}^2=0.4444$$

$$Gini(甜度\in \{85,90,95\})=1-(\frac{2}{3}{)}^2-(\frac{1}{3}{)}^2=0.4444$$

故
$$Gini(甜度)=\frac{3}{6}Gini(甜度\in \{75,80\})+\frac{3}{6}Gini(甜度\in \{85,90,95\})=0.4444$$

{75,80,85}为一类，{90,95}为一类

$$Gini(甜度\in \{75,80,85\})=1-(\frac{3}{4}{)}^2-(\frac{1}{4}{)}^2=0.3750$$

$$Gini(甜度\in \{90,95\})=1-(\frac{2}{2}{)}^2=0$$

故
$$Gini(甜度)=\frac{4}{6}Gini(甜度\in \{75,80,85\})+\frac{2}{6}Gini(甜度\in \{90,95\})=0.2500$$

{75,80,85,90}为一类，{95}为一类

$$Gini(甜度\in \{75,80,85,90\})=1-(\frac{3}{5}{)}^2-(\frac{2}{5}{)}^2=0.4800$$

$$Gini(甜度\in \{95\})=1-(\frac{1}{1}{)}^2=0$$

故
$$Gini(甜度)=\frac{5}{6}Gini(甜度\in \{75,80,85,90\})+\frac{1}{6}Gini(甜度\in \{95\})=0.4000$$
综上，当{75,80,85}为一类，{90,95}为一类时：
$$Gini(甜度{)}_{min}=0.2500$$

确定最优切分点

$$Gini(颜色{)}_{min}=Gini(甜度{)}_{min}$$

故任选其一，如选择甜度，则确定切分点为{75,80,85,90} 和 {95}.

第二次切分：甜度属于 {75,80,85,90}

颜色	响声	好瓜
青绿	浑浊	不是
青绿	浑浊	不是
深绿	清脆	是
深绿	浑浊	是
乌黑	清脆	不是

根据颜色切分

$$Gini(颜色=青绿)=1-(\frac{2}{2}{)}^2=0$$

$$Gini(颜色=深绿)=1-(\frac{2}{2}{)}^2=0$$

$$Gini(颜色=乌黑)=1-(\frac{1}{1})=0$$

$$Gini(颜色=青绿或深绿)=1-(\frac{2}{4}{)}^2-(\frac{2}{4}{)}^2=0.5000$$

$$Gini(颜色=青绿或乌黑)=1-(\frac{3}{3}{)}^2=0$$

$$Gini(颜色=深绿或乌黑)=1-(\frac{2}{3}{)}^2-(\frac{1}{3}{)}^2=0.4444$$

故深绿为一类，青绿或乌黑为一类时：
$$Gini(颜色{)}_{min}=\frac{2}{5}Gini(颜色=深绿)+\frac{3}{5}Gini(颜色=青绿或乌黑)=0$$

根据响声切分

$$Gini(响声=浑浊)=1-(\frac{2}{3}{)}^2-(\frac{1}{3}{)}^2=0.4444$$

$$Gini(响声=清脆)=1-(\frac{1}{2}{)}^2-(\frac{1}{2})=0.5000$$

故
$$Gini(响声)=\frac{3}{5}Gini(响声=浑浊)+\frac{2}{5}Gini(响声=清脆)=0.4666$$
综上，选择颜色进行切分，最优切分点为 颜色=深绿 和 颜色=青绿或乌黑。由于切分后结果唯一，故不需要再次切分。

第二次切分：甜度属于 {95}

颜色	响声	好瓜
乌黑	清脆	是

只有一种结果，故无需继续切分。

生成决策树

小于等于90

大于90

深绿

青绿或乌黑

甜度

颜色

是好瓜

是好瓜.

不是好瓜