【NOI模拟赛】给国与时光鸡（构造）
题目背景
参见校长的博客
题面
1s，512mb
给国是个神奇的国家。由于给太祖的治理有方（且发现了给国定理），给国科技光速发展，发明出了时光鸡。给太祖有幸成为第一个食用时光鸡的人。
一开始时光鸡会跳到 0 0 0 时刻。然后往后正常走每段时间，当到达 2 n + 1 2n+1 2n+1 时被捉住。但令给太祖没有想到的是，它所经过的时间线因为虫洞的影响被打乱了。具体来说， i i i 时刻和 j j j 时刻通过一个虫洞连接。如果时光鸡从 i − 1 i-1 i−1 到了 i i i 时刻，它会被立即传送到 j j j 时刻。如果时光鸡从 j − 1 j-1 j−1 到了 j j j 时刻，它会被立即传送到 i i i 时刻。
总共有 n n n 对虫洞连接两个不同的时刻。每个 1 ∼ 2 n 1\sim 2n 1∼2n 的时刻恰好被一个虫洞连接。由于 0 0 0 时刻和 2 n + 1 2n+1 2n+1 时刻没有虫洞，容易证明时光鸡总是能到达 2 n + 1 2n+1 2n+1 时刻。由于时间久远，虫洞已经消失了，只能看到哪段时间上有鸡脚印。
你需要根据给太祖给出的记录还原出一种可行的虫洞匹配方案，或者告诉给太祖记录出错了。
输入格式
第一行两个整数 n , m n,m n,m，表示总时刻为 2 n + 1 2n+1 2n+1 以及存在脚印的时间总长。
接下来一行 m m m 个数，第 i i i 个数 a i a_i ai 表示 ( a i , a i + 1 ) (a_i,a_i+1) (ai,ai+1) 这段时间有鸡爪印。
输出格式
如果无解输出 No ，否则先输出一行 Yes ，然后输出 n n n 行，每行两个数 x , y x,y x,y ，表示 ( x , y ) (x,y) (x,y) 之间有一个虫洞相连。
如果有多种构造方案，输出任意一组即可。
样例输入
3 6
0 1 2 4 5 6
样例输出
Yes
1 5
2 6
3 4
数据范围与提示
m ≤ 2 n + 1 , a i − 1 < a i , a 1 = 0 , a m = 2 n m\leq2n+1,a_{i-1}
0 ≤ n ≤ 100000 , 0 ≤ m ≤ 200000 0\leq n\leq100000,0\leq m\leq 200000 0≤n≤100000,0≤m≤200000 。
题解
我们令中间空出来的连续段个数为 A A A ，那么容易证明当 m − A − 1 m-A-1 m−A−1 为奇数的时候一定无解，因为你一定会将必走的区间匹配到不可走的区间上。
然后就有两种情况， ( m − A − 1 ) % 4 = 0 (m-A-1)\%4=0 (m−A−1)%4=0 和 ( m − A − 1 ) % 4 = 2 (m-A-1)\%4=2 (m−A−1)%4=2 。
第一种情况可以构造证明一定有解：
- 先把每个不可走的极长连续段的两端连起来，这样可走区间中还有 m − A − 1 m-A-1 m−A−1 个可以互相匹配。
- 把这些匹配点按顺序放到一个双端队列上。
- 每次拿出队列开头的两个元素 A < B AA<B ，队尾的两个元素 C < D C
C<D 。 - 匹配 ( A , C ) , ( B , D ) (A,C),(B,D) (A,C),(B,D) ，这样就会先后经过 ( C , C + 1 ) , ( B , B + 1 ) , (C,C+1),(B,B+1), (C,C+1),(B,B+1), 队列剩余部分, ( A , A + 1 ) , ( D , D + 1 ) (A,A+1),(D,D+1) (A,A+1),(D,D+1) 。
- 跳回第 3 步，直到队列为空。
第二种情况我们发现也是可能有解的，当且仅当存在这么一种结构：
中间一段长度至少为 2 的极长可走区间，两边用不可走区间分隔，左右至少一边存在可匹配的可走区间。
以左边为例，如果左边存在一个可走区间了，就是上图中左边第一个红点，那么我们可以搭这样的结构：
该点与中间区间的左边第一个点匹配，两段不可走区间的两端连一个大拱桥，剩下的可匹配点就有 m − A − 3 m-A-3 m−A−3 个了，可以当作 % 4 = 0 \%4=0 %4=0 的情况构造。将经过该结构的过程删去，剩下的部分的行走刚好是连续的，容易证明正确性。
CODE
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