缓和曲线——回旋曲线

缓和曲线

由于直线与圆曲线间存在曲率半径的突变，圆曲线半径越大，这种突变程度就越小。当圆曲线半径超过2000m时，这种突变对轨道交通行车影响很小。而当正线上曲线半径不大于2000m时，则要在圆曲线与直线间加设缓和曲线，实现曲率半径的逐渐过渡，减少列车在突变点处的轮轨冲击。缓和曲线指的是平面线型中，在直线与圆曲线、圆曲线与圆曲线之间设置的曲率连续变化的曲线。缓和曲线是道路平面线性要素之一，它是设置在直线与圆曲线之间或半径相差较大的两个转向相同的圆曲线之间的一种曲率连续变化的曲线。

缓和曲线的作用：

1、缓和曲率——使曲率连续变化；

2、缓和超高——使横向坡度连续变化；

3、缓和加宽——使车道加宽连续变化。

缓和曲线产生的效果：

1、曲率连续变化，便于车辆驾驶；

2、离心加速度连续变化，没有突变，乘客感觉舒适；

3、超高横坡度及加宽逐渐变化，行车更加稳定；

4、与圆曲线配合，增加线形美观。

缓和曲线的线型多种多样，如回旋线、三次抛物线、七次四项式型、半波正弦型、一波正弦型、双纽线、多心复曲线……

我国常用的线型有两种：三次抛物线、回旋线。其中三次抛物线是回旋线的近似结果。

曲线要素

如图所示，实地放样缓和曲线之前，需要计算若干曲线要素：

—— 路线偏转角，单位：弧度。这是设计数据；

—— 圆曲线半径，单位m。这是设计数据；

—— 缓和曲线偏转角，单位：弧度；

—— 内移距，单位：m；

—— 切线增长，单位：m；（有些文献用 m 表示该变量）;

—— 切线长，单位：m；

—— 外距，单位：m；

—— 切曲差，即切线长减去曲线长，单位：m；

—— 缓和曲线长度，单位m;

回旋线简介

回旋线是半径从无穷大一直变化到一定设计值的一段弧线。回旋线是曲率随着曲线长度成比例变化的曲线。公路、匝道常用的缓和曲线是回旋线，也叫放射螺旋线。回旋线不仅线形美观，而且与驾驶员匀速转动方向盘由圆曲线驶入直线或者由直线驶入圆曲线的轨迹线相符合。

回旋线的本质特征是：

即曲率随弧长线性变化。其中，是回旋线参数，它是圆曲线半径与缓和曲线全长的几何平均值，单位为米。对于一条缓和曲线而言，它是一个常数。表示回旋线曲率变化的缓急程度。

回旋线基本公式为：

A 越大，曲率越小，说明曲率变化越慢，回旋线变化慢，曲线拐弯越缓；A越小，曲率越大，说明曲率变换越快，回旋线变化快，曲线拐弯越急。

回旋线计算及推导

用常量表示曲率随弧长的变化率，即：

            a与A的关系满足公式

数学上曲率表示的是前进方位角随弧长的变化率，即曲率

曲率半径是曲率的倒数，其符号与曲率一致。下图分四种情况，对曲率的正负号取法进行了说明：

这样可以根据对曲率正负号的约定来确定曲率变化率的正负号。

求解微分方程：，可得：

曲率随桩号变化的函数为：

，当时，

前进方向随桩号变化的函数为：

，当时，

在曲率为零的地方建立坐标系。如下图所示，在直缓点建立了坐标系：

x轴是回旋线的切线，其正方向是桩号增加方向；

y轴是回旋线的法线，在x轴的左边就是数学坐标系，在x轴的右边就是测量坐标系。

从原点开始沿回旋线行走距离，到达点P，其坐标为(x，y)。

点 P 处的切线与轴夹角为，称其为切线角，也是点 P 处的前进方位角。

原点与点 P 的连线叫弦，其长度为c，也就是弦长。

原点到点 P 的方位角为，也就是偏角，也叫弦切角。

点 P 处，切线与弦线的夹角为

从原点开始沿回旋线行走距离，到达缓圆点HY，即回旋线的长度为。圆曲线的半径为R，在缓圆点处达到最大值。

接下来，计算各个参数：

曲率变化率，参数，曲率，曲率半径，切线角

在P点处相对的变化引起P点的坐标变化：

根据幂级数展开式

带入得：

对弧长求积分得：

弦长计算公式为：

弦切角的计算公式如下：

亦即弦切角近似的等于切线角的三分之一。

参考文献：
百度百科——缓和曲线

缓和曲线——回旋曲线的计算_Nine_CC的博客-CSDN博客_回旋曲线