权重衰退（PyTorch）

https://courses.d2l.ai/zh-v2/

权重衰减

前面我们描述了过拟合的问题，本节我们将介绍一些正则化模型的技术。 我们总是可以通过去收集更多的训练数据来缓解过拟合。 但这可能成本很高，耗时颇多，或者完全超出我们的控制，因而在短期内不可能做到。 假设我们已经拥有尽可能多的高质量数据，我们便可以将重点放在正则化技术上。

范数与权重衰减

使用均方范数作为硬性限制

• 通过限制参数值的选择范围来控制模型容量
  $$minl(w,b)subjectto||w|{|}^2\le \theta$$
• 通常不限制偏移 b （限不限制都差不多）
• 小的 $\theta$ 意味着更强的正则项

一个多项式中的高次项的系数变小了，函数也就变平滑了。

使用均方函数作为柔性限制

• 对每个$\theta$，都可以找到$\lambda$使得之前的目标函数等价于下面
  $$minl(w,b)+\frac{\lambda }{2}||w|{|}^2$$
  • 可以通过拉格朗日乘子来证明
• 超参数$\lambda$控制了正则项的重要程度
  • $\lambda =0$：无作用
  • $\lambda ->\infty ，w^{\ast }->0$

$\frac{\lambda }{2}||w|{|}^2$ 就是 penalty，惩罚项

演示对最优解的影响

• 绿线是损失函数的取值，黄线是惩罚项的取值，两者都是圈越大取值越大
• 我们的目标是为了减小loss，同样的loss，那只能通过更小的w来实现
• 主要就看loss和penalty的变化速度，$w^{\ast }$就是二者的一个平衡点，往左下，loss变大的快，penalty的减少不足以弥补；往右上，penalty变大的快，loss的减少不足以弥补
• 可以看王木头学科学的视频，从“拉格朗日乘数”看到“L1L2正则化权重衰竭”

参数更新法则

• 计算梯度
  $$\frac{\partial }{\partial w}(l(w,b)+\frac{\lambda }{2||w|{|}^2})=\frac{\partial l(w,b)}{\partial w}+\lambda w$$
• 时间 t 更新参数

$$\begin{gathered} w_{t+1}=w_t-\eta \frac{\partial }{\partial w_t} \\ {w}_{t+1}=(1-\eta \lambda )w_t-\eta \frac{\partial l(w_t,b_t)}{\partial w_t} \end{gathered}$$

• 通常$\eta \lambda <1$，在深度学习中通常叫做权重衰退

• 对权重参数进行衰退处理，防止其过大
• 看不明白的，看吴恩达1.5，有个样例图好理解

总结

• 权重衰退通过 L2 正则项使得模型参数不会过大，从而模型复杂度
• 正则项权重是控制模型复杂度的超参数

我们可以通过刚性写法，使得w总是比一个$\theta$小
但是在真正优化的时候，我们是通过一个$\lambda$来控制它的强度。而且$\lambda$等价于每次在更新的时候对于权重做了一次放小，等价于权重衰退的过程。

从零开始实现

高维线性回归

我们通过一个简单的例子来演示权重衰减。

%matplotlib inline
import torch
from torch import nn
from d2l import torch as d2l

首先，我们像以前一样生成一些数据，生成公式如下：

我们选择标签是关于输入的线性函数。 标签同时被均值为0，标准差为0.01高斯噪声破坏。 为了使过拟合的效果更加明显，我们可以将问题的维数增加到$d=200$， 并使用一个只包含20个样本的小训练集。

n_train, n_test, num_inputs, batch_size = 20, 100, 200, 5
true_w, true_b = torch.ones((num_inputs, 1)) * 0.01, 0.05
train_data = d2l.synthetic_data(true_w, true_b, n_train)
train_iter = d2l.load_array(train_data, batch_size)
test_data = d2l.synthetic_data(true_w, true_b, n_test)
test_iter = d2l.load_array(test_data, batch_size, is_train=False)

初始化模型参数

首先，我们将定义一个函数来随机初始化模型参数。

def init_params():
    w = torch.normal(0, 1, size=(num_inputs, 1), requires_grad=True)
    b = torch.zeros(1, requires_grad=True)
    return [w, b]

定义$L_2$范数惩罚

实现这一惩罚最方便的方法是对所有项求平方后并将它们求和。

def l2_penalty(w):
    return torch.sum(w.pow(2)) / 2

定义训练代码实现

下面的代码将模型拟合训练数据集，并在测试数据集上进行评估。 从 3节以来，线性网络和平方损失没有变化， 所以我们通过d2l.linreg和d2l.squared_loss导入它们。 唯一的变化是损失现在包括了惩罚项。

def train(lambd):
    w, b = init_params()
    net, loss = lambda X: d2l.linreg(X, w, b), d2l.squared_loss
    num_epochs, lr = 100, 0.003
    animator = d2l.Animator(xlabel='epochs', ylabel='loss', yscale='log',
                            xlim=[5, num_epochs], legend=['train', 'test'])
    for epoch in range(num_epochs):
        for X, y in train_iter:
            # 增加了L2范数惩罚项，
            # 广播机制使l2_penalty(w)成为一个长度为batch_size的向量
            l = loss(net(X), y) + lambd * l2_penalty(w)
            l.sum().backward()
            d2l.sgd([w, b], lr, batch_size)
        if (epoch + 1) % 5 == 0:
            animator.add(epoch + 1, (d2l.evaluate_loss(net, train_iter, loss),
                                     d2l.evaluate_loss(net, test_iter, loss)))
    print('w的L2范数是：', torch.norm(w).item())

忽略正则化直接训练

我们现在用lambd = 0禁用权重衰减后运行这个代码。 注意，这里训练误差有了减少，但测试误差没有减少， 这意味着出现了严重的过拟合。

使用权重衰减

下面，我们使用权重衰减来运行代码。 注意，在这里训练误差增大，但测试误差减小。 这正是我们期望从正则化中得到的效果。

train(lambd=3)

欧几里得距离就是$L_2$范数，就是一个向量的模长
$L_2$范数是指向量各元素的平方求和，然后开根号

简洁实现

由于权重衰减在神经网络优化中很常用， 深度学习框架为了便于我们使用权重衰减， 将权重衰减集成到优化算法中，以便与任何损失函数结合使用。 此外，这种集成还有计算上的好处， 允许在不增加任何额外的计算开销的情况下向算法中添加权重衰减。 由于更新的权重衰减部分仅依赖于每个参数的当前值， 因此优化器必须至少接触每个参数一次。


在下面的代码中，我们在实例化优化器时直接通过weight_decay指定weight decay超参数。 默认情况下，PyTorch同时衰减权重和偏移。 这里我们只为权重设置了weight_decay，所以偏置参数$b$不会衰减。

def train_concise(wd):
    net = nn.Sequential(nn.Linear(num_inputs, 1))
    for param in net.parameters():
        param.data.normal_()
    loss = nn.MSELoss(reduction='none')
    num_epochs, lr = 100, 0.003
    # 偏置参数没有衰减
    trainer = torch.optim.SGD([
        {"params":net[0].weight,'weight_decay': wd},
        {"params":net[0].bias}], lr=lr)
    animator = d2l.Animator(xlabel='epochs', ylabel='loss', yscale='log',
                            xlim=[5, num_epochs], legend=['train', 'test'])
    for epoch in range(num_epochs):
        for X, y in train_iter:
            trainer.zero_grad()
            l = loss(net(X), y)
            l.mean().backward()
            trainer.step()
        if (epoch + 1) % 5 == 0:
            animator.add(epoch + 1,
                         (d2l.evaluate_loss(net, train_iter, loss),
                          d2l.evaluate_loss(net, test_iter, loss)))
    print('w的L2范数：', net[0].weight.norm().item())

net[0] 指的就是nn.Sequential()里的第一个全连接层

QA

1. 实际中权重衰减的值一般设置为多少好？
   $1e^{-2},1e^{-3},1e^{-4}$
   权重衰退的效果不是很好，不要期望太大

2. 为什么要把w往小拉？如果最优解的w就是比较大的数，那么权重衰减是不是会有反作用？
   实际会有噪音，加入惩罚，使得w变小，可以减小底部震荡，更快收敛到一个靠近真实底部的位置。

通常来说噪音越大，w也会越大。