字典树(trie树)、后缀树

（1）字典树（Trie树）

　　Trie是个简单但实用的数据结构，通常用于实现字典查询。我们做即时响应用户输入的AJAX搜索框时，就是Trie开始。本质上，Trie是一颗存储多个字符串的树。相邻节点间的边代表一个字符，这样树的每条分支代表一则子串，而树的叶节点则代表完整的字符串。和普通树不同的地方是，相同的字符串前缀共享同一条分支。还是例子最清楚。给出一组单词，inn, int, at, age, adv, ant, 我们可以得到下面的Trie：

可以看出：

• 每条边对应一个字母。
• 每个节点对应一项前缀。叶节点对应最长前缀，即单词本身。
• 单词inn与单词int有共同的前缀“in”, 因此他们共享左边的一条分支，root->i->in。同理，ate, age, adv, 和ant共享前缀"a"，所以他们共享从根节点到节点"a"的边。
• 查询非常简单。比如要查找int，顺着路径i -> in -> int就找到了。
• 搭建Trie的基本算法也很简单，无非是逐一把每则单词的每个字母插入Trie。插入前先看前缀是否存在。如果存在，就共享，否则创建对应的节点和边。比如要插入单词add，就有下面几步：
  1. 考察前缀"a"，发现边a已经存在。于是顺着边a走到节点a。
  2. 考察剩下的字符串"dd"的前缀"d"，发现从节点a出发，已经有边d存在。于是顺着边d走到节点ad
  3. 考察最后一个字符"d"，这下从节点ad出发没有边d了，于是创建节点ad的子节点add，并把边ad->add标记为d。

（2）后缀树

 　　所谓后缀树，就是包含一则字符串所有后缀的压缩了的字典树。先说说后缀的定义。给定一长度为n的字符串S=S₁S₂..S_i..S_n，和整数i，1 <= i <= n，子串S_iS_i+1...S_n都是字符串S的后缀。以字符串S=XMADAMYX为例，它的长度为8，所以S[1..8], S[2..8], ... , S[8..8]都算S的后缀，我们一般还把空字串也算成后缀。这样，我们一共有如下后缀。对于后缀S[i..n]，我们说这项后缀起始于i。

1. S[1..8], XMADAMYX， 也就是字符串本身，起始位置为1
2. S[2..8], MADAMYX，起始位置为2
3. S[3..8], ADAMYX，起始位置为3
4. S[4..8], DAMYX，起始位置为4
5. S[5..8], AMYX，起始位置为5
6. S[6..8], MYX，起始位置为6
7. S[7..8], YX，起始位置为7
8. S[8..8], X，起始位置为8
9. 空字串。记为$。

所有这些后缀字符串组成一棵字典树：

仔细观察上图，我们可以看到不少值得压缩的地方。比如蓝框标注的分支都是独苗，没有必要用单独的节点同边表示。如果我们允许任意一条边里包含多个字母，就可以把这种没有分叉的路径压缩到一条边。另外每条边已经包含了足够的后缀信息，我们就不用再给节点标注字符串信息了。我们只需要在叶节点上标注上每项后缀的起始位置。于是我们得到下图：

这样的结构丢失了某些后缀。比如后缀X在上图中消失了，因为它正好是字符串XMADAMYX的前缀。为了避免这种情况，我们也规定每项后缀不能是其它后缀的前缀。要解决这个问题其实挺简单，在待处理的子串后加一个空字串就行了。例如我们处理XMADAMYX前，先把XMADAMYX变为 XMADAMYX$，于是就得到suffix tree。

这就形成一棵后缀树了。关于如何建立一棵后缀树，已有很成熟的算法，能在o(n)时间内解决。

（3）广义后缀树

　　传统的后缀树只能处理一个单词的所有后缀。广义后缀树存储任意多个单词的所有后缀。例如字符串“abab”和“baba”，首先将它们使用特殊结束符链接起来，如表示成“abab$baba#”,然后求连接后的新字符的后缀树，遍历所得后缀树，如遇到特殊字符，如“$”,"#"等则去掉以该节点为跟的子树，最后所得后缀树即为原字符串组的广义后缀树。其实质是将两个字符串的所有后缀，即：abab$,bab$,ab$,b$,baba#,aba#,ba#,a#,组成字典树，再进行压缩处理。广义后缀树的一个常应用就是判断两个字符串的相识度。