七、排序算法时间复杂度和空间复杂度介绍

文章目录

  • 一、排序算法的介绍
  • 二、排序的分类
  • 三、算法的时间复杂度
    • 3.1 度量一个程序(算法)执行时间的两种方法
    • 3.2 时间频度
    • 3.3 时间复杂度
    • 3.4 常见时间复杂度
    • 3.5 平均时间复杂度和最坏时间复杂度
  • 四、算法的空间复杂度

一、排序算法的介绍

排序也称排序算法(Sort Algorithm),排序是将一组数据,依指定的顺序进行排列的过程。

二、排序的分类

1)内部排序:
指将需要处理的所有数据都加载到内部存储器(内存)中进行排序。
2) 外部排序法:
数据量过大,无法全部加载到内存中,需要借助外部存储(文件等)等进行排序。
3) 常见的排序算法分类(见右图):
七、排序算法时间复杂度和空间复杂度介绍_第1张图片

三、算法的时间复杂度

3.1 度量一个程序(算法)执行时间的两种方法

  1. 事后统计的方法
    这种方法可行, 但是有两个问题:一是要想对设计的算法的运行性能进行评测,需要实际运行该程序;二是所得时间的统计量依赖于计算机的硬件、软件等环境因素, 这种方式,要在同一台计算机的相同状态下运行,才能比较那个算法速度更快。
  2. 事前估算的方法
    通过分析某个算法的时间复杂度来判断哪个算法更优.

3.2 时间频度

1)基本介绍
时间频度:一个算法花费的时间与算法中语句的执行次数成正比例,哪个算法中语句执行次数多,它花费时间就多。一个算法中的语句执行次数称为语句频度或时间频度。记为 T(n)。[举例说明]
2)举例说明-基本案例
比如计算 1-100 所有数字之和, 我们设计两种算法:
七、排序算法时间复杂度和空间复杂度介绍_第2张图片
3)举例说明-忽略常数项
七、排序算法时间复杂度和空间复杂度介绍_第3张图片
结论:

  1. 2n+20 和 2n 随着 n 变大,执行曲线无限接近, 20 可以忽略
  2. 3n+10 和 3n 随着 n 变大,执行曲线无限接近, 10 可以忽略

4)举例说明-忽略低次项
七、排序算法时间复杂度和空间复杂度介绍_第4张图片
结论:

  1. 2n^2+3n+10 和 2n^2 随着 n 变大, 执行曲线无限接近, 可以忽略 3n+10
  2. n^2+5n+20 和 n^2 随着 n 变大,执行曲线无限接近, 可以忽略 5n+2

5)举例说明-忽略系数
七、排序算法时间复杂度和空间复杂度介绍_第5张图片
结论:

  1. 随着 n 值变大,5n^2+7n 和 3n^2 + 2n ,执行曲线重合, 说明 这种情况下, 5 和 3 可以忽略。
  2. 而 n^3+5n 和 6n^3+4n ,执行曲线分离,说明多少次方式关键

3.3 时间复杂度

  1. 一般情况下,算法中的基本操作语句的重复执行次数是问题规模 n 的某个函数,用 T(n)表示,若有某个辅助函数 f(n),使得当 n 趋近于无穷大时,T(n) / f(n) 的极限值为不等于零的常数,则称 f(n)是 T(n)的同数量级函数。记作 T(n)=O( f(n) ),称O( f(n) ) 为算法的渐进时间复杂度,简称时间复杂度。
  2. T(n) 不同,但时间复杂度可能相同。 如:T(n)=n²+7n+6 与 T(n)=3n²+2n+2 它们的 T(n) 不同,但时间复杂度相同,都为 O(n²)。
  3. 计算时间复杂度的方法:
    • 用常数 1 代替运行时间中的所有加法常数 T(n)=n²+7n+6 => T(n)=n²+7n+1
    • 修改后的运行次数函数中,只保留最高阶项 T(n)=n²+7n+1 => T(n) = n²
    • 去除最高阶项的系数 T(n) = n² => T(n) = n² => O(n²)

3.4 常见时间复杂度

  1. 常数阶 O(1)
    七、排序算法时间复杂度和空间复杂度介绍_第6张图片

  2. 对数阶 O(log2n)
    七、排序算法时间复杂度和空间复杂度介绍_第7张图片

  3. 线性阶 O(n)
    七、排序算法时间复杂度和空间复杂度介绍_第8张图片

  4. 线性对数阶 O(nlog2n)
    七、排序算法时间复杂度和空间复杂度介绍_第9张图片

  5. 平方阶 O(n^2)
    七、排序算法时间复杂度和空间复杂度介绍_第10张图片

  6. 立方阶 O(n^3)
    说明:参考上面的 O(n²) 去理解就好了,O(n³)相当于三层 n

  7. k 次方阶 O(n^k)

  8. 指数阶 O(2^n)
    七、排序算法时间复杂度和空间复杂度介绍_第11张图片
    说明:

    1. 常见的算法时间复杂度由小到大依次为:Ο(1)<Ο(log2n)<Ο(n)<Ο(nlog2n)<Ο(n2)<Ο(n3)< Ο(nk) <Ο(2n) ,随着问题规模 n 的不断增大,上述时间复杂度不断增大,算法的执行效率越低
    2. 从图中可见,我们应该尽可能避免使用指数阶的算法

3.5 平均时间复杂度和最坏时间复杂度

  1. 平均时间复杂度是指所有可能的输入实例均以等概率出现的情况下,该算法的运行时间。
  2. 最坏情况下的时间复杂度称最坏时间复杂度。一般讨论的时间复杂度均是最坏情况下的时间复杂度。这样做的
    原因是:最坏情况下的时间复杂度是算法在任何输入实例上运行时间的界限,这就保证了算法的运行时间不会
    比最坏情况更长。
  3. 平均时间复杂度和最坏时间复杂度是否一致,和算法有关(如图:)
    七、排序算法时间复杂度和空间复杂度介绍_第12张图片

四、算法的空间复杂度

  1. 类似于时间复杂度的讨论,一个算法的空间复杂度(Space Complexity)定义为该算法所耗费的存储空间,它也是问题规模 n 的函数。
  2. 空间复杂度(Space Complexity)是对一个算法在运行过程中临时占用存储空间大小的量度。有的算法需要占用的临时工作单元数与解决问题的规模 n 有关,它随着 n 的增大而增大,当 n 较大时,将占用较多的存储单元,例如快速排序和归并排序算法, 基数排序就属于这种情况
  3. 在做算法分析时,主要讨论的是时间复杂度。从用户使用体验上看,更看重的程序执行的速度。一些缓存产品(redis, memcache)和算法(基数排序)本质就是用空间换时间.

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