七、排序算法时间复杂度和空间复杂度介绍

一、排序算法的介绍

排序也称排序算法(Sort Algorithm)，排序是将一组数据，依指定的顺序进行排列的过程。

二、排序的分类

1）内部排序:
指将需要处理的所有数据都加载到内部存储器(内存)中进行排序。
2) 外部排序法：
数据量过大，无法全部加载到内存中，需要借助外部存储(文件等)等进行排序。
3) 常见的排序算法分类(见右图):

三、算法的时间复杂度

3.1 度量一个程序(算法)执行时间的两种方法

1. 事后统计的方法
   这种方法可行, 但是有两个问题：一是要想对设计的算法的运行性能进行评测，需要实际运行该程序；二是所得时间的统计量依赖于计算机的硬件、软件等环境因素, 这种方式，要在同一台计算机的相同状态下运行，才能比较那个算法速度更快。
2. 事前估算的方法
   通过分析某个算法的时间复杂度来判断哪个算法更优.

3.2 时间频度

1）基本介绍
时间频度：一个算法花费的时间与算法中语句的执行次数成正比例，哪个算法中语句执行次数多，它花费时间就多。一个算法中的语句执行次数称为语句频度或时间频度。记为 T(n)。[举例说明]
2）举例说明-基本案例
比如计算 1-100 所有数字之和, 我们设计两种算法：

3）举例说明-忽略常数项

结论:

1. 2n+20 和 2n 随着 n 变大，执行曲线无限接近, 20 可以忽略
2. 3n+10 和 3n 随着 n 变大，执行曲线无限接近, 10 可以忽略

4）举例说明-忽略低次项

结论:

1. 2n^2+3n+10 和 2n^2 随着 n 变大, 执行曲线无限接近, 可以忽略 3n+10
2. n^2+5n+20 和 n^2 随着 n 变大,执行曲线无限接近, 可以忽略 5n+2

5）举例说明-忽略系数

结论:

1. 随着 n 值变大，5n^2+7n 和 3n^2 + 2n ，执行曲线重合, 说明 这种情况下, 5 和 3 可以忽略。
2. 而 n^3+5n 和 6n^3+4n ，执行曲线分离，说明多少次方式关键

3.3 时间复杂度

1. 一般情况下，算法中的基本操作语句的重复执行次数是问题规模 n 的某个函数，用 T(n)表示，若有某个辅助函数 f(n)，使得当 n 趋近于无穷大时，T(n) / f(n) 的极限值为不等于零的常数，则称 f(n)是 T(n)的同数量级函数。记作 T(n)=Ｏ( f(n) )，称Ｏ( f(n) ) 为算法的渐进时间复杂度，简称时间复杂度。
2. T(n) 不同，但时间复杂度可能相同。 如：T(n)=n²+7n+6 与 T(n)=3n²+2n+2 它们的 T(n) 不同，但时间复杂度相同，都为 O(n²)。
3. 计算时间复杂度的方法：
   • 用常数 1 代替运行时间中的所有加法常数 T(n)=n²+7n+6 => T(n)=n²+7n+1
   • 修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项 T(n)=n²+7n+1 => T(n) = n²
   • 去除最高阶项的系数 T(n) = n² => T(n) = n² => O(n²)

3.4 常见时间复杂度

1. 常数阶 O(1)
   

2. 对数阶 O(log2n)
   

3. 线性阶 O(n)
   

4. 线性对数阶 O(nlog2n)
   

5. 平方阶 O(n^2)
   

6. 立方阶 O(n^3)
   说明：参考上面的 O(n²) 去理解就好了，O(n³)相当于三层 n

7. k 次方阶 O(n^k)

8. 指数阶 O(2^n)
   
   说明：

   1. 常见的算法时间复杂度由小到大依次为：Ο(1)＜Ο(log2n)＜Ο(n)＜Ο(nlog2n)＜Ο(n2)＜Ο(n3)＜ Ο(nk) ＜Ο(2n) ，随着问题规模 n 的不断增大，上述时间复杂度不断增大，算法的执行效率越低
   2. 从图中可见，我们应该尽可能避免使用指数阶的算法

3.5 平均时间复杂度和最坏时间复杂度

1. 平均时间复杂度是指所有可能的输入实例均以等概率出现的情况下，该算法的运行时间。
2. 最坏情况下的时间复杂度称最坏时间复杂度。一般讨论的时间复杂度均是最坏情况下的时间复杂度。这样做的
   原因是：最坏情况下的时间复杂度是算法在任何输入实例上运行时间的界限，这就保证了算法的运行时间不会
   比最坏情况更长。
3. 平均时间复杂度和最坏时间复杂度是否一致，和算法有关(如图:)
   

四、算法的空间复杂度

1. 类似于时间复杂度的讨论，一个算法的空间复杂度(Space Complexity)定义为该算法所耗费的存储空间，它也是问题规模 n 的函数。
2. 空间复杂度(Space Complexity)是对一个算法在运行过程中临时占用存储空间大小的量度。有的算法需要占用的临时工作单元数与解决问题的规模 n 有关，它随着 n 的增大而增大，当 n 较大时，将占用较多的存储单元，例如快速排序和归并排序算法, 基数排序就属于这种情况
3. 在做算法分析时，主要讨论的是时间复杂度。从用户使用体验上看，更看重的程序执行的速度。一些缓存产品(redis, memcache)和算法(基数排序)本质就是用空间换时间.