Task04 详读西瓜书+南瓜书第5章

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1 神经元模型

• 神经网络概念：
    由具有适应性的简单单元组成的广泛并行互连的网络，它的组织能够模拟生物神经系统对真实世界物种所作出的交互反应
• M-P神经元模型：
    每个神经元收到$n$个其他神经元传递过来的输入信号，这些输入信号通过带权重的连接传递，神经元接收到的总输入值与该神经元阈值进行比较，然后通过激活函数处理，产生神经元的输出。
• 激活函数常采用Sigmoid函数：$\text{sigmoid}(x)=\frac{1}{1+e^{-x}}$

2 感知机与多层网络

• 感知机概念：
    由两层神经元组成，输入层接收外界信号后传递给输出层，输出层是M-P神经元（阈值逻辑单元）
• 感知机学习规则：
    对训练样例$(x,y)$，若当前感知机的输出为$\hat{y}$，则感知机权重进行如下调整：$$\begin{array}{c}{w}_i\leftarrow w_i+\Delta w_i\\ \Delta w_i=\eta (y-\hat{y})x_i\end{array}$$
    其中$\eta \in (0,1)$称为学习率。
• 多层神经网络：目的是解决非线性可分问题，输出层和输入层之间的被称为隐含层，隐含层和输出层神经元都是拥有激活函数的功能神经元。

3 误差逆传播算法(BP算法)

• BP算法思路：
    首先将误差反向传播给隐含层神经元，调节隐含层到输出层的连接权重与输出层神经元的阈值；接着根据隐含层神经元的均方误差，来调节输入层到隐含层的连接权值与隐含层神经元的阈值。
• BP算法基本流程：
  输入： 训练集$D=\{(x_k,y_k){\}}_{k=1}^m$
      学习率$\eta$
  过程：
  (1) 在$(0,1)$范围内随机初始化网络中所有连接权和阈值；
  (2) repeat
  (3)  for all $(x_k,y_k)\in D$ do
  (4)   根据当前参数和${\hat{y}}_j^k=f({\beta }_j-{\theta }_j)$计算当前样本的输出${\hat{y}}_k$；
  (5)   根据$g_j={\hat{y}}_j^k(1-{\hat{y}}_j^k)(y_j^k-{\hat{y}}_j^k)$计算输出层神经元的梯度项$g_j$；
  (6)   根据$e_h=b_h(1-b_h)\sum _{j=1}^l{w}_{hj}{g}_j$隐藏层神经元的梯度项$e_h$；
  (7)   更新连接权$w_{hj},v_{ih}$与阈值${\theta }_j,{\gamma }_h$；
  (8)  end for
  (9) until 达到停止条件
  输出： 连接权与阈值确定的多层前馈神经网络
• BP算法更新规则：
    基于每个样本的预测值与真实类标的均方误差来进行权值调节，即每次更新只针对单个样例。其最终目标是要最小化整个训练集$D$上的累积误差，即：$E=\frac{1}{m}\sum _{k=1}^m{E}_k$
• 通过“试错法”设置隐含层神经元个数，使得多层前馈网络能够逼近连续函数。
• 解决BP网络的过拟合：
  1. 早停（early stopping）：将数据分为训练集与验证集，训练集用于计算梯度、更新连接权重和阈值，验证集用于评估误差，若在训练过程中，训练集误差降低，而验证集误差升高，则停止训练。
  2. 正则化（regularization）：在误差目标函数中增加一个用于描述网络复杂度的部分，例如连接权重与阈值的平方和，其中$\lambda \in (0,1)$用于对经验误差与网络复杂度这两项进行折中，常通过交叉验证法来估计。
     $$E=\lambda \frac{1}{m}\sum _{k=1}^m{E}_k+(1-\lambda )\sum _i{w}_i^2$$