-离散数学-期末练习题解析

一、 选择题

1. 下列句子中，（ ）是命题。
   A . 2是常数
   B. 这朵花多好看啊！
   C. 请把们关上！
   D. 下午有会吗？

A
命题是能判断真假的陈述句
B是感叹句、C是祈使句，D是疑问句

2. 令p:今天下雪了，q:路滑，r：他迟到了。则命题“下雪路滑，他迟到了”可符号化为（ ）
   A. p∧q→r
   B. p∨q→r
   C. p∧q∧r
   D. p∨q↔r

A
运算优先级为¬，∧， ∨，→，↔，
A可看成 (p∧q)→r

3. 令p：今天下雪了，q：路滑，则命题“虽然今天下雪了，但是路不滑”可以符号化为（ ）
   A. p∧¬q
   B. p∧q
   C. p∨¬q
   D. p→¬q

A

4. 设P(x):x是鸟，Q(x):x会飞，命题“有的鸟不会飞”可符号化为（ )
   A. ¬(∀x) ( p(x) →Q(x) )
   B. ¬(∀x) ( p(x) ∧ Q(x) )
   C. ¬(∃x) ( p(x) →Q(x) )
   D. ¬(∃x) ( p(x) ∧ Q(x) )

A
有的鸟不会飞，即可译为不是所有鸟都会飞
在全称量词∀后面用→联接词
在存在连词∃后面用 ∧ 联接词

5. 设p(x):x是整数，f(x):x的绝对值，L(x,y):x大于等于y；命题“所有整数的绝对值大于等于0”可以符号为（ ）
   A. ∀x( p(x) ∧ L(f(x),0) )
   B. ∀x( p(x)→L(f(x),0) )
   C. ∀xp(x) ∧ L(f(x),0)
   D. ∀xp(x)→L(f(x),0)

B
所有整数的绝对值大于等于0，用到的为全称量词∀，整个命题应该是同一个x，在全称量词∀后面用→联接词，所以整个命题可符号为∀x( p(x)→L(f(x),0) )

6. 设F(x):x是人，G(x):x犯错误，命题“没有不犯错误的人”符号为（ ）
   A. ∀x( F(x) ∧ G(x) )
   B. ¬∃x( F(x) →¬G(x) )
   C. ¬∃x( F(x) ∧ G(x) )
   D. ¬∃x( F(x) ∧ ¬G(x) )

D
A和B的联接词使用错误
D，不存在人不犯错误

7. 下列命题公式不是永真式的是（ A ）
   A. (p→q)→p
   B. p→(q→p)
   C. ¬p∨(q→p)
   D. (p→q)∨p
   

8. 设R(x):x为有理数;Q(x):x为实数。命题“任何有理数都是实数”的符号化为 ( C )
   A.(彐x) ( (R(x)∧Q(x) )
   B.(∀x)( (R(x)∧Q(x) )
   C.(∀x)( (R(x)→Q(x) )
   D.彐x( R(x)→Q(x) )

9. 设个体域D={a,b},与公式∀xA(x)等价的命题公式是 ( A )
   A. A(a)∧A(b)
   B. A(a)→A(b)
   C. A(a) ∨ A(b)
   D. A(b)→A(a)

已知个体域，消去量词，∀xA(x)中有全称量词，则把所有x的取值全列出来
应该为A(a)∧A(b)

10. 下列等价式不正确的是( A )
    A. ∀x( (P(x) ∨ Q(x) ) ⇔ ∀xP(x) ∨ ∀xQ(x)
    B. ∀x(P(x) ∧ Q(x)) ⇔ ∀xP(x) ∧ ∀xQ(x)
    C. ∃x(P(x) ∨ Q(x) ) ⇔ ∃xP(x) ∨ ∃xQ(x)
    D. ∀x(P(x)∧Q) ⇔ ∀xP(x)∧Q

A

11. 设个体域D={a,b},与公式彐xA(x)等价的命题公式是( C )
    A.A(a) ∧A(b
    B.A(a)→A(b)
    C. A(a) ∨ A(b)
    A(b)→A(a)

12. 设X={Ø,{a}{a,Ø}},则下列陈述正确的是(
    A. a∈X
    B. {a,Ø}⊆X
    C. {{a,Ø}}⊆X
    D. {Ø}∈X

C
元素与集合的关系用属于
集合与集合的关系用包含
A中用的是属于，但a不是X的元素，因为需要把整个集合{a}看成X的 一个元素
B用的是属于，说明得把{a,Ø}看成一个集合，a和Ø都得是X的元素，a不是X的元素，所以不正确，也可解释作{a,Ø}只是X的一个元素，并不是指一个集合
C正确，有两重括号，第一个括号内的{a,Ø}就是X的一个元素，{{a,Ø}}就是X的一个子集
D中用的是属于，说明整个{Ø}被看成是一个元素，但X中只有Ø而没有{Ø}

13. 有向图D是连通图,当且仅当( D ）
    A. 图D中至少有一条通路
    B. 图D中有通过每个顶点至少一次的通路
    C. 图D的连通分支数为一
    D. 图D中有通过每个顶点至少一次的回路

D
这里的连通图应该指的是强连通图
对C要特别注意一下，有第一章的命题逻辑我们知道“当且仅当”指的是充要条件，连通图的连通分支数确实为一，但连通分支数为一的并不代表是连通图，所以C是错的

14. 设A={a,b,c},则下列是集合A的划分的是 ( B)
    A. {{b,c},{c}}
    B. {{a},{b,c}}
    C. {{a,b},{a,c}}
    D. {{a,b},c}

B

我们可以知道π是一个子集族，里面都应该是子集，D错误
然后每个子集不能有重复的元素，AC错误

15. 下列谓词公式中是前束范式的是( D )
    A. ∀xF(x)∧¬(∃x)G©
    B. ∀xP(x) ∧ ∀yG( y)
    C. ∀x(P(x)→∃yQ(x,y)
    D. ∀x∃y(P(x)→Q(x,y))

D
前束范式就是所有的量词都在前面

16. 设M={x | f1(x)=0},N={x | f2(x)=0},则方程f1(x)*f2(x)=0的解为（ B　）　
    A. M∩N
    B. M∪N
    C. M⊕N
    C. M-N

f1(x)*f2(x)=0只有=要有一个为0 其结果就为0
显然是M和N的并集

在数学中，群表示一个拥有满足封闭性、满足结合律、有单位元、有逆元的二元运算的代数结构，包括阿贝尔群、同态和共轭类。
设G是一个群，则

1. G满足消去律（左消去和右消去），即∀a,b,c∈G,若ab=ac,则b = c
2. 任意一个元素的逆元的逆元是其本身,A 正确
3. (ab)^-1 = b ^-1 * a ^-1, C错误
   其余请看群的详细介绍

18. 在整数集合Z上，下列定义的运算满足结合律的是（ ）
    A. ab=b+1
    B. ab=a-1
    C. ab=ab-1
    D. ab=a+b+1

D
如果满足结合律，则(a*b)*c=a*(b*c)

19. 设简单图G所有的结点的度数之和为50，则G的边数为（ ）
    A. 50
    B. 25
    C. 10
    D. 5

B
既不含平行边也不含环的图为简单图
由握手定理：度数之和为变数的2倍，变数为25

20. 设简单无向图G是一个有5个顶点的4-正则图，则G有（ ）条边。
    A. 4
    B. 5
    C. 10
    D. 20

C
正则图是指各顶点的度均相同的无向简单图
有题意，度数之和为5*4=20，边数=20 / 2 = 10

21. 设集合A={1，2，3，4}，A上的等价关系R= {<1,1>, <.3,2>,<2,3>,<4,4>} U IA (恒等关系),则对应于R的划分是（ ）
    A. { {1}，{2，3}，{4} }
    B. { {1，3}，{2，4} }
    C. { {1，3}，{2}，{4} }
    D. { {1}，{2}，{3}，{4} }

A
IA表示恒等关系，设A={a,b,c}，则其上关系R={,,}，R便是恒等关系
本题中IA中应该是补齐<2,2><3,3>，2和3应该被分到了另外一块，应该选A

D
在数学中，若对某个集合的成员进行一种运算，生成的仍然是这个集合的元素，则该集合被称为在这个运算下闭合。
比较最大数，得到的结果还是在A中
比较最小数，结果还是在A中
最大公约数，1和10的最大公约数为1，L为任意数字，与其他的数求最大公约数，都可以在1，2，10，L中取得
若L为3，3和10 的最小公倍数为30，不在A中，D不是封闭的

C
先看看满射，单射和双射的定义

F的关系是一一对应的，满足单射，但ｆ的值域中没有ｄ，不满足满射的条件

B
割点和割边指拿掉某个点或某些边，连通分支数增加
割点集和桥指拿掉某些点或某条边，连通分支数增加

D
经过图的每一条边且仅一次并且行遍图中的每个顶点的回路（通路），称为欧拉回路（欧拉通路），存在欧拉回路的图，称为欧拉图
无向图G有欧拉回路当且仅当G是连通图且无奇度顶点
只有欧拉通路当且仅当图G恰有２个奇度顶点，这两个点为欧拉通路的端点

A
叶子结点度数只有１，显然不对
其余都是树的等价条件

A
幂集的个数为2^n

C
握手定理的推论：任何图中的度数为奇数的顶点的个数为偶数
可以排除A和D
对B选项，总共有6个点，有两个度数为5的点，而度数为5说明它与其他顶点都相连，反过来其它每个点都会与这两个点相连，度数不可能小于2，B错误

欧拉图中没有奇度顶点，排除A,C
哈密顿图中任意两个不相邻的顶点度数之和>=n-1
D中选择右边的两个度数为2的顶点，度数之和为4<6,D不存在哈密顿回路

C
共有6*3=18度
边数=度数之和 / 2 = 9

B
自反是全部顶点都有自环
反自反是全部顶点都没有自环
对称是顶点之间有边的话，全是双向边
反对称是顶点之间有边的话，全单向边

B

R2是将R1的单向边补成了双向边，应该是对称闭包

D
f(x)中x与y并不是一一对应，所以不是单射，f(x)的最大值6，并不是实数集R，不是满射

C
A,B,D中都有奇度顶点，无法构成欧拉图

二. 填空题

1. 命题公式¬(p→q)的成真赋值_____,成假赋值____.

真：1 0 , 假： 0 0, 0 1, 1 1.

2. 命题公式(p ∨ q)→p的成真赋值____,成假赋值____.

真：0 0, 0 1 , 1 1. 假：1 0.

3. 命题公式p→(p∧q)的成真赋值____,成假赋值_____.

真：00，01，11，假：10

4. 公式( ∀x)( ∀x)( P(y)→Q(x,z) ) ∧ (∃y)R(x,y)约束变元为____,自由变元为____.

x,y x,z
对左边部分 ∀x ∀y说明x,y是约束出现的，z是自由的
对右边∃y说明y是约束的，x是自由的

5. 公式 ∀x(P(x) ∨ ∃yR(x) )→Q(x,z)约束变元为____,自由变元为_____.

约束: x,y
自由: x,z

6. 设A = {a,b,{a,b} }, B={a,b},则B-A=____,A⊕B=_____.

B-A=Ø
A⊕B={ {a,b} }

7. 设A={1，2，3}，A上的关系R={<1,2>,<2,1>},则对称闭包s( R ) = ______,传递闭包t( R )= _____。

s( R ) = {<1,2>,<2,1>} //本身就是双向边，无需改动
t( R )={<1,2>,<2,1>,<1,1>,<2,2>} //<1,2><2,1>添加<1,1>,同时也可以看成<2,1>,<1,2>要添加<2,2>

8. 设A={a,b,{a,b} },B= {a,b,c}，则A⊕A= ______,A⊕B=______.

则A⊕A=Ø
A⊕B={{a,b},c}

9. 一颗无向树的顶点数n与边数m的关系是____,6阶无向连通图至多有____颗不同的生成树。

m = n-1
6颗

10. 设f(x)=x-1,g(x)=x^2,则复合函数(f g)(x)=_____,(g f)(x) =____.

统一规定为右复合
(f g)(x) = g(f(x))=(x-1)^2
(g f)(x) =f(g(x))=x^2-1

合成
R°S={|∃y∈R∧∃z∈S}

18. 一颗无向树的顶点数n与边数m的关系是_____,设G是具有8个顶点的数，则G增加____条边才能把G变成完全图。

m =n-1
21条
无向完全图 边数m = (n*(n-1))/2
有向完全图 边数m = (n*(n-1))
总边数m = 8*7/2=28，树G有7条边
增加28-7=21条

三、 计算题

2.

4. 一棵(无向)树有2结点的度为2,1个结点的度为3,3个结点的度为4,其余都是叶结点,问该树有几个叶结点?

在一个有限图中，各节点的度数总和是边数的2倍，而树中边数为节点数-1
设有x个叶子节点，先求出度数之和，d=2* 2 +1* 3 + 3*4+x；
d=19+x
顶点数：n = 2+1+3+x=6+x
边数: m=n-1 = 5+x
d=2m
19+x=10+2x
x=9
有9个叶节点

5. 一颗无向树T有5片树叶，3个2度分支点，其余的分支点都是3度顶点，问T有几个顶点

设其余3度顶点有x个
总度数d=5* 1 + 3* 2 + 3*x =11+3x
顶点数: n=5+3+x =8+x
对与无向树，边数: m=n-1 =7+x
d=2m
11+3x = 14+2x
x=3
顶点数为11

四、 简答题

一个无向图是二部图当且仅当G中没有长度为奇数的回路
所有这个应该是一个二部图
或者看能不能化成一个二部图的样子

经过图中每个顶点一次且仅一次的回路称为哈密顿回路，有哈密顿回路的图称为哈密顿图。
如果G中任何一对不相邻的顶点的度数之和都大于等于n，则G是哈密顿图

五、 证明题

六、应用题

2.

3.