排列组合的基础（入门必备！！）

一、排列

1、不可重复排列

$$A_n^r=n(n-1)(n-2)...(n-r+1)$$

$$A_n^r=\frac{n!}{(n-r)!}$$

2、可重复排列

$$n^r$$

3、圆排列

**定义：**有一组元素，将其排成一个圆，这种排列叫做圆排列或项链排列。

• ​ n个数的圆排列为（n-1）！
• ​ n个不同数中取r个的圆排列：

$$\frac{P_n^r}{r}=\frac{A_n^r}{r}=\frac{n!}{(n-r)!\times r}$$

4、不尽相异元素全排列

定义：如果n个元素里，有p个元素相同，又有q个元素相同，…，又有r个元素相同（p+q+…+r≤n），则它们的所有排列种数为：
$$\frac{n!}{p!q!...r!}$$
uva 11076

二、组合

1、不可重组合数

$$C_n^r=\frac{n!}{r!(n-r)!}$$

2、可重组合数（隔板法）

转换思路，既然要抽r次，就要放回r-1次，最后一次的放回对抽样结果无影响。

那么就变成我把r-1个物品放入n里，然后一次抽取k个。
$$H_n^r{=C}_{n+r-1}^r=\frac{(n+r-1)!}{r!(n-1)!}$$

3、不相邻组合数

3.1从n个球中选出r个球，要求r个球互不相邻

分析：

• 当n<2r-1时，取法为0种
• 当n≥2r-1时，取法为

$$C_{n-r+1}^r$$

理解思路：先从n中拿取r-1个球，然后我们在剩下的n-r+1个球中任取r个球，一开始的r-1个球填入r个球的空位中，这样就可以使r个球互不相邻。

3.2从n个围成一圈的球中选出r个球

分析：

当n<2r时，取法为0种

当n≥2r时，取法为
$$\frac{{nC}_{n-r}^r}{n-r}$$
理解思路： 无论怎么取，都是两种情况， 一种包括一号，另一种不包括一号。

包括一号：
$$C_{n-r-1}^{r-1}$$
不包括一号：
$$C_{n-r}^r$$

4、常用组合函数公式

$$
{C}^{r}{n}, =, {C}^{r}{n-1}, +, {C}^{r-1}_{n-1}

$$

$$C_n^r=C_n^{n-r}$$

$$C_n^{r+1}=\frac{n-r}{r+1}{C}_n^r$$

板子

一、排列组合数

1、费马小定理（要求模数为质数）

复杂度O(nlogn)，当n到1e7时就炸，这时候要用线性递推。

typedef long long ll;
const ll maxn = 1e6+10, mod = 1e9+7;
ll Jc[maxn];
void calJc()    //求maxn以内的数的阶乘
{
    Jc[0] = Jc[1] = 1;
    for(ll i = 2; i < maxn; i++)
        Jc[i] = Jc[i - 1] * i % mod;
}
ll pow(ll a, ll n, ll mod)    //快速幂 a^n % p
{
    ll ans = 1;
    while(n)
    {
        if(n & 1) ans = ans * a % mod;
        a = a * a % mod;
        n >>= 1;
    }
    return ans;
}
ll niYuan(ll a)   //费马小定理求逆元
{
    return pow(a, mod - 2, mod);
}
ll C(ll n, ll r)    //计算C(n, r)
{
    return Jc[n] * niYuan(Jc[r]) % mod
        * niYuan(Jc[n - r]) % mod;
}
ll A(ll n, ll r)
{
    return Jc[n] * niYuan(Jc[n-r])%mod;
}

2、拓展欧几里得（不要求模数为质数）

复杂度同上，关键点在他的模数不需要是质数。

typedef long long ll;
const ll maxn = 1e6+10, mod = 1e9+7;
ll Jc[maxn];
void calJc()    //求maxn以内的数的阶乘
{
    Jc[0] = Jc[1] = 1;
    for(ll i = 2; i < maxn; i++)
        Jc[i] = Jc[i - 1] * i % mod;
}
void exgcd(ll a, ll b, ll &x, ll &y)    //拓展欧几里得算法
{
    if(!b) x = 1, y = 0;
    else
    {
        exgcd(b, a % b, y, x);
        y -= x * (a / b);
    }
}
ll niYuan(ll a)   //求a对b取模的逆元
{
    ll x, y;
    exgcd(a, mod, x, y);
    return (x + mod) % mod;
}
ll C(ll n, ll r)    //计算C(n, r)
{
    return Jc[n] * niYuan(Jc[r]) % mod
        * niYuan(Jc[n - r]) % mod;
}
ll A(ll n, ll r)
{
    return Jc[n] * niYuan(Jc[n-r])%mod;
}

3、逆元-线性递推(p是质数)

typedef long long ll;
const ll maxn = 1e7+10, mod = 1e9+7;
ll Jc[maxn];
ll inv[maxn+5];
void getInv(ll mod)
{
    inv[1]=1;
    for(int i=2;i

资料参考：

(24条消息) ACM-组合数学完全总结（知识点+模板）_Ogmx的博客-CSDN博客_组合数学