预测——马尔可夫链

1、作用

马尔可夫是俄国著名的数学家。马尔可夫预测法是以马尔可夫的名字命名的一种特殊的预测方法。马尔可夫预测法主要用于市场预测和销售期望利润的预测。它是基于马尔可夫链，根据事件的目前状况预测其将来各个时刻（或时期）变动状况的一种预测方法。马尔可夫预测法是对地理、天气、市场、进行预测的基本方法，它是地理预测中常用的重要方法之一。

2、输入输出描述

输入：随时间序列变化的定类或定序变量
输出：马尔可夫链预测的预测结果​

3、案例示例

股价预测通过今天股票的涨跌，预测明天后天股票的涨跌；天气预报通过今天是否下雨，预测明天后天是否下雨。这些过程都是可以通过数学公式进行量化计算的。通过下雨、股票涨跌的概率，用公式就可以推导出来 N 天后的状况。

4、建模步骤

事物的发展状态总是随着时间的推移而不断变化的。在一般情况下，人们要了解事物未来的发展状态，不但要看到事物现在的状态，还要看到事物过去的状态。马尔可夫认为，还存在另外一种情况， 人们要了解事物未来的发展状态，只须知道事物现在的状态，而与事物以前的状态毫无关系。这种情况就称为马尔可夫过程。马尔可夫过程的重要特征是无后效性。事物第n次出现的状态，只与其第n-1次的状态有关，它与以前的状态无关。所谓“无后效性”，是指过去对未来无后效，而不是指现在对未来无后效。

状态空间

马尔可夫链节点的所有可能取值。状态空间可以视为一个以状态变数为座标轴的空间，因此系统的状态可以表示为此空间中的一个向量。

概率向量

概率向量的每个元素都是概率，并且元素之和为1。系统的可能状态数有k个。向量中各个元素分别表示表示第n次观测时第i个状态的概率。被称为初始状态。

转移概率矩阵

 表示这次观测前状态为i，现在观测是状态为j的概率。P矩阵元素非负。每一行的元素之和都为1

计算下一次观测的概率

根据无后效性，我们可以得出：

即为：

由于某一时刻状态转移的情况只依赖前一个状态，那么只要求出系统中任意两个状态之间的转移概率，这个马尔科夫链的模型就确定了。

判断是否具有唯一稳态分布(收敛)

马尔可夫链中全部状态节点需要满足以下条件：

不可约性：如果一个马尔可夫链的状态空间仅有一个连通类，即状态空间的全体成员，则该马尔可夫链是不可约的，否则马尔可夫链具有可约性。马尔可夫链的不可约性意味着在其演变过程中，随机变量可以在任意状态间转移。

常返性：若马尔可夫链在到达一个状态后，在演变中能反复回到该状态，则该状态是常返状态。

非周期性：在其演变中，马尔可夫链能够按任意>=1的周期常返回其状态。

遍历性：若马尔可夫链的一个状态是正常返的和非周期的，则该状态具有遍历性。遍历链是非周期的平稳马尔可夫链，有长时间尺度下的稳态行为，因此是被广泛研究和应用的马尔可夫链。