I won't tell you this is about graph theory----zjfc bellman-ford算法与spfa算法

题目描述

    To think of a beautiful problem description is so hard for me that let's just drop them off. :)

Now we have the path from one point to another(directly), and the weight we cost.

Tell me the min weight from A to B , if it doesn't exist puts "No" instead of.

输入描述

    First line is a interger T<=20 , then T case follow...

Each case has two interger n(n<=1000) , m(m<=10000), show the point number and m lines follow...

Each line contains three interger from,to,value(-100<=value<=100) as the meaning of the word , index from 0.

The last line have two interger A,B , as the start and the end; 

输出描述

    if it doesn't exist puts "No" ,else show me the min.

样例输入

3

2 2

0 1 1

0 1 2

0 1

2 2

0 1 -1

1 0 -2

0 1

2 2

0 1 1

0 1 -1

0 1

样例输出

1

No

-1

负权图论问题，用了边集数组来存储，此题也可以使用静态邻接表。算法上使用了bellman-ford算法，如果在收敛后仍然能够松弛，则有负环。

对于spfa算法，效率会更高，通过点入队次数超过点的总数来判负环。

 

Bellman-Ford算法思想

Bellman-Ford算法能在更普遍的情况下（存在负权边）解决单源点最短路径问题。对于给定的带权（有向或无向）图 G=（V,E），其源点为s，加权函数 w是 边集 E 的映射。对图G运行Bellman-Ford算法的结果是一个布尔值，表明图中是否存在着一个从源点s可达的负权回路。若不存在这样的回路，算法将给出从源点s到 图G的任意顶点v的最短路径d[v]。

Bellman-Ford算法流程分为三个阶段：

（1）    初始化：将除源点外的所有顶点的最短距离估计值 d[v] ←+∞, d[s] ←0;

（2）    迭代求解：反复对边集E中的每条边进行松弛操作，使得顶点集V中的每个顶点v的最短距离估计值逐步逼近其最短距离；（运行|v|-1次）

（3）    检验负权回路：判断边集E中的每一条边的两个端点是否收敛。如果存在未收敛的顶点，则算法返回false，表明问题无解；否则算法返回true，并且从源点可达的顶点v的最短距离保存在 d[v]中。

算法描述如下：

Bellman-Ford(G,w,s) ：boolean   //图G ，边集 函数 w ，s为源点

1        for each vertex v ∈ V（G） do        //初始化 1阶段

2            d[v] ←+∞

3        d[s] ←0;                             //1阶段结束

4        for i=1 to |v|-1 do               //2阶段开始，双重循环。

5           for each edge（u,v） ∈E(G) do //边集数组要用到，穷举每条边。

6              If d[v]> d[u]+ w(u,v) then      //松弛判断

7                 d[v]=d[u]+w(u,v)               //松弛操作   2阶段结束

8        for each edge（u,v） ∈E(G) do

9            If d[v]> d[u]+ w(u,v) then

10            Exit false

11    Exit true

下面给出描述性证明：

   首先指出，图的任意一条最短路径既不能包含负权回路，也不会包含正权回路，因此它最多包含|v|-1条边。

   其次，从源点s可达的所有顶点如果 存在最短路径，则这些最短路径构成一个以s为根的最短路径树。Bellman-Ford算法的迭代松弛操作，实际上就是按顶点距离s的层次，逐层生成这棵最短路径树的过程。

在对每条边进行1遍松弛的时候，生成了从s出发，层次至多为1的那些树枝。也就是说，找到了与s至多有1条边相联的那些顶点的最短路径；对每条边进行第2遍松弛的时候，生成了第2层次的树枝，就是说找到了经过2条边相连的那些顶点的最短路径……。因为最短路径最多只包含|v|-1 条边，所以，只需要循环|v|-1 次。

每实施一次松弛操作，最短路径树上就会有一层顶点达到其最短距离，此后这层顶点的最短距离值就会一直保持不变，不再受后续松弛操作的影响。（但是，每次还要判断松弛，这里浪费了大量的时间，怎么优化？单纯的优化是否可行？）

如果没有负权回路，由于最短路径树的高度最多只能是|v|-1，所以最多经过|v|-1遍松弛操作后，所有从s可达的顶点必将求出最短距离。如果 d[v]仍保持 +∞，则表明从s到v不可达。

如果有负权回路，那么第 |v|-1 遍松弛操作仍然会成功，这时，负权回路上的顶点不会收敛。

改进和优化   如果循环n-1次以前已经发现不存在紧边则可以立即终止； Yen氏改进（不降低渐进复杂度）；SPFA算法

 

二、             SPFA算法

算法简介

SPFA(Shortest Path Faster Algorithm)是Bellman-Ford算法的一种队列实现，减少了不必要的冗余计算。 它可以在O(kE)的时间复杂度内求出源点到其他所有点的最短路径，可以处理负边。

算法流程

SPFA对Bellman-Ford算法优化的关键之处在于意识到：只有那些在前一遍松弛中改变了距离估计值的点，才可能引起他们的邻接点的距离估计值的改变。因此，算法大致流程是用一个队列来进行维护，即用一个先进先出的队列来存放被成功松弛的顶点。初始时，源点s入队。当队列不为空时，取出队首顶点，对它的邻接点进行松弛。如果某个邻接点松弛成功，且该邻接点不在队列中，则将其入队。经过有限次的松弛操作后，队列将为空，算法结束。SPFA算法的实现，需要用到一个先进先出的队列 queue 和一个指示顶点是否在队列中的标记数组mark。为了方便查找某个顶点的邻接点，图采用临界表存储。

算法代码

Procedure SPFA;

Begin

             initialize-single-source(G,s);

             initialize-queue(Q);

             enqueue(Q,s);

             while not empty(Q) do begin

                u:=dequeue(Q);

                for each v∈adj[u] do begin

                   tmp:=d[v]; relax(u,v);

                   if (tmp<>d[v]) and (not v in Q) then enqueue(v);

                   end;

                end;

End;

负环处理

   需要特别注意的是：仅当图不存在负权回路时，SPFA能正常工作。如果图存在负权回路，由于负权回路上的顶点无法收敛，总有顶点在入队和出队往返，队列无法为空，这种情况下SPFA无法正常结束。

判断负权回路的方案很多，世间流传最广、比较容易实现并且高效的方法的是记录每个结点进队次数，超过|V|次表示有负权

 

 本题代码如下：Bellman-Ford算法实现：

 

Code
#include<stdio.h>
#define MAX_INT 1000000
int t,n,m,s,e,nume;
int min[1002];
struct edge{
    int s,e,c;
};
struct edge l[10002];
int process()
{
    int i,j,k,flag,start,end;
    for(i=0;i<n;i++)
        min[i]=MAX_INT;
    min[s]=0;
    for(k=0;k<n-1;k++){
        flag=0;
        for(j=0;j<nume;j++){
            start=l[j].s;
            end=l[j].e;
            if(min[end]>min[start]+l[j].c){
                min[end]=min[start]+l[j].c;
                flag=1;
            }
        }
        if(!flag){
            return 1;
        }
        
    }
    for(j=0;j<nume;j++){
        if(min[l[j].e]>min[l[j].s]+l[j].c)
            return 0;
    }
    return 1;
        
    
}
void input()
{
    int i,j,k,ii,flag;
    scanf("%d %d",&n,&m);
    nume=0;
    while(m--){
        scanf("%d %d %d",&i,&j,&k);
        flag=0;
        for(ii=0;ii<nume;ii++){
            if(l[ii].s==i&&l[ii].e==e&&k<l[ii].c){
                flag=1;
                l[ii].c=k;
                break;
            }
        }
        if(!flag){
            l[nume].s=i;l[nume].e=j;l[nume].c=k;nume++;}
    }
    scanf("%d %d",&s,&e);
}
int main()
{
    scanf("%d",&t);
    while(t--){
        input();
        if(min[e]==MAX_INT||!process())
            printf("No\n");
        else
            printf("%d\n",min[e]);

    }
}

 

题目练习：（转）

POJ 1201 Intervals 差分约束系统

设S(i)为 0..i-1 中在最终序列中的的整数个数。则约束条件如下:

S(b)-S(a) >= c

0 <= S(i+1) - S(i) <= 1 <==> S(i+1)-S(i) >= 0;

                             S(i)-S(i+1) >= -1

注意本题要求的是最小值, 而按照>=号建图后发现图中有负环, 怎么办呢?

其实很简单, 本题求的不是最短路, 而是最长路! Bellman_ford即可!

POJ 1275 Cashier Employment 出纳员的雇佣

黑书上有详细讲解

POJ 1364 King 差分约束系统

这个题目构图之后, 只需要用bellman_ford判断是否有负圈.

构图方法:

首先进行转换:a[j]+...+a[j+m] = a[1]+...a[j+m] - (a[1]+...+a[j-1]) = sum[j+m] -

sum[j-1] >(<) ki. 差分约束只能全部是<=或者(>=).

第二步转换: sum[j+m]-sum[j-1] <= ki-1 或者 sum[j-1]-sum[j+m] <= -ki-1.

约束图构造好后就是简单的Bellman-Ford了!

POJ 1716 Integer Intervals 是1201的简单版本, 贪心算法能够得到更好的效果.

POJ 2983 Is the Information Reliable?

差分约束题, 处理一下等号的情况, 然后普通的Bellman_ford

POJ 3159 Candies 最短路径

Bellman-Ford超时, Dijkstra算法可以高效解决, SPFA(队列)居然超时...SPFA修改为堆栈实现就过了.

POJ 3169 Layout 差分约束

Bellman-Ford 和 SPFA 实现均可

POJ 3259 Wormholes 判断负权回路

TOJ 2976 Path 单纯的最短路径 可练习SPFA

ZOJ 3033 Board Games 我做的第一道Bellman-Ford题目

首先，DFS判断可达性，不可达直接输出infinity结束，可达，bellman-ford判断是否存在负环，存在输出infinity，否则，输出最短距离。