AI遮天传 DL-CNN

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上次我们介绍了多层感知机(MLP)，本次将介绍深度学习领域中第二个基本的模型：卷积神经网络(CNN)。CNN在MLP之上又引入了两种新的层：卷积层和池化层。

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一、简介

1.1 大脑皮层中的局部检测器和平移不变性

神经科学家 Hubel 和 Wiesel 于1962在猫的视觉皮层上面发现：

有一种简单细胞用于检测图像物体的局部特征；

另外一种复杂细胞将视网膜上向邻近的简单视网膜的输出“池化”。

按照他们的发现，构造出如下概念模型：

由此提出人工视觉系统的构建方式：

• 组合多个简单细胞/复杂细胞层
• 高层用来计算更全局、不变性更强的特征
• 在顶层添加分类器

从而人们建立了多个模型：

• Neocognitron模型 [Fukushima 1971-1982]
• 卷积网络 [LeCun 1988]
• HMAX模型 [Poggio 2002-2006]
• fragment hierarchy模型 [Ullman 2002-2006]
• HMAX模型 [Lowe 2006]

我们先简单介绍下Neocognitron模型从而了解一下卷积网络模型，后面的模型由于使用较少，本次不进行介绍。

 

1.2 Neocognitron模型

其中U0为输入层

• 之后Us1为简单细胞层，用来检测物体的一些局部信息，
• 之后Uc1复杂细胞层对局部信息进行一些融合(池化pool)，
• 再之后Us2-->Uc2-->Us3-->Uc3...

我们所学的CNN结构上与这个模型基本上是一样的，主要的区别是：该模型提出时，还没有后向传播算法(BP)或BP还没有被重视。

1.3 卷积神经网络(Convolutional neural network, CNN)

如图：

• 其中32*32的矩阵(如图片A)是输入层，
• 之后C1卷积层对应简单细胞层
  • 输出  其中 是窗口大小，f 是 sigmoid 函数，w和b是卷积层参数。
• 之后S2层下采样(池化)对应复杂细胞层
  • ​​​​​​​输出   (如今我们在池化层很少用激活函数了)
• 再之后C3-->S4->C5-->S6...->MLP

注：C1对Input进行卷积，输入就是一个二维矩阵；C3对S2进行卷积，此时输入一个张量(tensor).

卷积层有两个主要的特点：

• 局部连接：它不像MLP全连接，如上图C1层某一处神经元只与前一层的一部分(5x5)连接。
• 权值共享：C1层28x28的图上每一点都是一个神经元，每个神经元都与前面的25个值相连，其25个值对应的权值/参数都是相同的。

 

1.4 CNN与MLP的区别

经过上面我们就可以看到，CNN相比于MLP多出了两种层：卷积层和池化层。

卷积池化处理完毕之后衔接全连接层。

卷积：对于一个输入，我们给它一个卷积核(如上上图5x5个元素还有那25个参数w)在输入图片上进行滑动，求一个响应结果，得到一个相应图片或叫特征图片。图片上的亮度表示每个相应值得大小。

池化：把前一层得输入变小，如把4x4中四个角对应的2x2进行一下取最大(或平均或随机)，这样4x4就变成了2x2。

 

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接下来我们详细介绍一下卷积层和池化层及其前向计算，目的是让大家了解其工作原理。

至于后向计算感兴趣朋友的可以自行了解。当然也有很多优秀的工具库我们可以直接拿来用以求解梯度。

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二、卷积层

2.1 动机：

对于一维 

假设有A和B两个一维序列，其中B的长度小于A，计算B与A的每个部分之间的相似度(similarity)

自然地，将B在A上滑动并逐个计算相似度，简便起见，称为关联计算(correlation calculation)

和 两个向量间的余弦相似度(Cosine Similarity):

对于二维 

同理假设A和B是两个二维序列，其中B的长宽小于A：

和 两个矩阵间的余弦相似度(Cosine Similarity):

注：得到的响应二维矩阵会比输入小一点，因此其3x3每次向右移动一小格取一次输出，且B始终在A里面，不出头。

但这个滑动的过程非常缓慢，为解决此问题，我们：

• 引入卷积和FFT(卷积和傅里叶变换)
• 使用并行计算(显卡)

当然引入卷积并不一定要非用FFT，当前使用并行计算更加流行也更快一些。

2.2 一维卷积

连续卷积：

离散卷积 (对于有限长的序列):

 这与我们上面介绍的滑动相似度基本是一样的，不过本次是“交叉计算”。

 

三种卷积形式

的长度: , 的长度: , 其中 ≥  

• Valid卷积

• Full卷积

• Same卷积

将full卷积的结果截断至 维

Same卷积也可以从 与用零填充(zero-padded)的 之间的Valid卷积得到

例如：

假设有两个序列：

f=[0,1,2,-1,3]   g=[1,1,0]

则：

python代码：

import numpy as np
from scipy import signal

f = np.array([0, 1, 2, -1, 3])
g = np.array([1, 1, 0])

h1 = signal.convolve(f, g, mode='valid')
h2 = signal.convolve(f, g, mode='full')
h3 = signal.convolve(f, g, mode='same')

相似度和卷积之间的关系

计算 与 的每个部分 之间的相似度等价于计算 ∗  , 其中

也就是我们所谓的交叉计算

上述翻转操作可以通过两次 numpy.rot90() 命令来实现 (之后用rot180()表示)

 

2.3 二维卷积

假设有矩阵 和 , 大小分别 × 和 1 × 2, 其中 ≥ 1, ≥ 2

两个矩阵间的离散卷积

• valid：h的大小是 (M-K1+1)*(N-K2+1)
• full：h的大小是 (M+K1-1)*(N+K2-1)
• same：h的大小是 M*N

python例子：

import numpy
from scipy import signal

A = numpy.array([[0, 0, 1, 2], [2, 2, 0, 0], [2, 1, 2, 2], [3, 0, 1, 1]])
B = numpy.array([[0, 0, -1], [1, -1, 1], [-1, 1, 1]])
C = signal.convolve2d(A, B, mode='full')
print(C)
C = signal.convolve2d(A, B, mode='valid')
print(C)
C = signal.convolve2d(A, B, mode='same')
print(C)

 

相似度和卷积之间的关系

同样是交叉计算，f 左上角对应 g 的右下角，g 的右上角对应 f 的左下角...

 

卷积核

左侧输入图像就是A矩阵，卷积核B矩阵； 

上图是对矩阵A和矩阵B进行相关联计算/似度计算，把卷积核B在A上滑动每个地方求一个响应。

ps:真正用卷积实现关联计算的话，应该先把卷积核翻转180°，再做卷积(因为卷积是交叉计算的)，结果是一样的。相当于转了个弯，卷积：直接交叉计算，卷积表示关联计算：旋转再交叉计算。

特征图上的值越大(亮)，表示图像上的该区域与卷积核的相似度越高。

此外：

我们可以看到第一种卷积核上面亮下面暗，第二种卷积核左边亮右边暗，则对应特征图上分体现出原图像上亮下暗，左亮右暗明显一些。

卷积可以节省参数量

卷积： 

• 每个特征图对应个25个参数
• 总参数量: 25 x 特征图数目(权值共享，6个卷积核)

全连：

• 每个神经元对应1024个参数
• 总参数量: 1024 x 神经元个数

扩展

• 使用same卷积保持特征图的空间尺寸不变
• 步长(stride)≠1的卷积操作

1. 保留空间尺寸

• 输入大小 M=7x7
• 卷积核大小 K=3x3
• 步长(stride)=1
• 输出大小 (valid模式): 5 * 5       (7-3+1)

下一次输入尺寸减小了 如 LeNet 5网络中的例子

如果不想减小输入尺寸，该怎么做？

一种方法是使用 same 卷积，但是有一些库不支持same卷积操作(前面介绍的只是python的操作，不是像tensorflow这样的操作)，我们可以对valid进行填充0的操作：

• 输入大小 M=7x7
• 卷积核大小 K=3x3
• 步长(stride)=1
• 在每处边缘填充一（ (k-1)/2 ）个像素
• 输出大小: 7x7 (same卷积)

通常我们选择K为奇数

为了保持输出尺寸与输入一致，当步长为1时，边缘应该填充多少？( (k-1)/2 )

 

2. 步长不为1的卷积

• 输入大小 M=7x7
• 卷积核大小 K=3x3
• 步长 stride=2
• 输出大小 (valid模式): 3x3

输出大小: (M-K)/stride+1

如果(M-K)/stride不是整数?

• 一般去掉多出来的部分，对结果影响不大。
• 说明网络的超参数设计不太对，设计M和K的时候不应该让它出现这种情况。

2.4 三维卷积

假设输入通道数与卷积核通道数一致

将三维输入中的一组二维特征图与卷积核对应的部分关联， 并对所有部分求和得到一组输出的特征图

        -- 可以通过翻转三维卷积核和三维卷积实现

 

三、池化层

3.1 池化介绍 

下图8*10池化为2*2 

平均池化： 

将卷积后的特征图划分为 × 个不相交区域，对每个区域分别进行取平均(或取最大值)操作，得到池化后的特征。在一维输入上的操作类似。

 

如果步长不等于池化大小怎么办?

说明是一种有重叠的池化

如何处理三维输入?

逐通道池化

3.2 为什么需要池化

减少分类中的特征数目

• 对于大小为96 × 96的输入图片. 如果有400组对应到8 × 8输入的特征, 则输出特征的大小为

增大下一层的感受区域

• 从池化结果中得到特征图会在像素空间中有更大的感受区域

不变性(invariance)

• 池化后的特征在局部区域内 拥有一定的平移不变性

类似于视觉神经元的感受野，其大小随视觉皮层层次的提高而增大。

3.3 卷积神经网络的组成与实现

组成

卷积层和池化层可以跟之前讨论的层组合使用

• 全连接层(Fully connected layer)
• Sigmoid层, ReLU层, 其它激活层
• 欧式损失层(Euclidean loss layer)
• 交叉熵损失层(Cross-entropy loss layer)

以及一些未讨论过的层，例如：

• 局部响应正则化 Local response normalization layer (Krizhevsky et al. 2012)
• 随机失活层 Dropout layer (Srivastava et al., 2014)
• 批正则化层 Batch normalization layer (Ioffe and Szegedy, 2015)

实现

• 将每个类型的层实现为一个类，并提供其前向和后向计算函数。
• 在主文件内通过指定层的类型来搭建卷积神经网络。
• 前向计算
  • 计算输出  对所有的 = 1,2, … , 。
• 后向计算
  • 计算  和  , 以及  对 = , − 1, … ,1。
• 更新  和  对所有的 = 1,2, … , L。

示例： 

MNIST手写体数字识别 ： ConvNetJS MNIST demo (stanford.edu)

CIFAR-10数据集分类： ConvNetJS CIFAR-10 demo (stanford.edu)

 

四、典型的卷积神经网络

LeNet-5 

ImageNet挑战赛 (ILSVRC)

AlexNet

VGG net

3*3 卷积核被广 泛使用，GPU实现。

GoogLeNet (Inception-v1)

Inception-v2

Inception-v3

在Inception-v2上添加额外的技术:

• RMSProp优化器.
• 分解 7x7 卷积.
• 在辅助分类器中添加批归一化(BatchNorm)
• 标签平滑(Label Smoothing) (一种防止过拟合的正则化技术).

ImageNet数据集上的结果

Deep residual network (ResNet)

DenseNet

ImageNet数据集上的结果