【算法复习二】传统基本算法（分治----残缺棋盘问题）

•  问题描述：

  残缺棋盘是一个有2k×2k（k≥1）个方格的棋盘，其中恰有一个方格残缺。如图给出k=1时各种可能的残缺棋盘，其中残缺的方格用阴影表示。

• 残缺棋盘问题就是要用这四种三格板覆盖更大的残缺棋盘。在此覆盖中要求：

        1）两个三格板不能重叠

        2）三格板不能覆盖残缺方格，但必须覆盖其他所有的方格。

         

         小格子数（2k×2k -1）三格板中小格子数3。所以所需要的三格板总数为(2k×2k -1 )/3。

•  例如，一个4*4的残缺棋盘2k*2k

        以k=2时的问题为例，用二分法进行分解，得到的四个k=1的棋盘。但要注意这四个棋盘，并不都是与原问题相似且独立的子问题。

        因为当如图中的残缺方格在左上部时，第1个子问题与原问题相似，而右上角、左下角和右下角三个子棋盘（也就是图中标识为2、3、4号子棋盘），并不是原问题的相似子问题，自然也就不能独立求解了。当使用一个①号三格板覆盖2、3、4号三个子棋盘的各一个方格后，我们把覆盖后的方格，也看作是残缺方格（称为“伪”残缺方格），这时的2、3、4号子问题就是独立且与原问题相似的子问题了。

•  问题分析

           从以上例子还可以发现

               当残缺方格在第1个子棋盘，用①号三格板覆盖其余三个子棋盘的交界方格，可以使另外三个子棋盘转化为独立子问题；

               当残缺方格在第2个子棋盘时，则首先用②号三格板进行棋盘覆盖

               当残缺方格在第3个子棋盘时，则首先用③号三格板进行棋盘覆盖

               当残缺方格在第4个子棋盘时，则首先用④号三格板进行棋盘覆盖，这样就使另外三个子棋盘转化为独立子问题。

程序代码思路：

         表示方法：每个三格板需要用同一个数字表示，不同三格板编号不同。

源码：

#include <iostream> #include <iomanip> using namespace std; int board[100][100]; //存放棋盘L型的标号数组； int tile=1; // L型骨牌号 void chessBoard(int tr, int tc, int dr, int dc, int size) { if (size==1) return; int t = tile++; // L型骨牌号 int s = size/2; // 分割棋盘 //________________________________________________ 覆盖左上角子棋盘 if (dr<tr+s&&dc<tc+s) // 特殊方格在此棋盘中 chessBoard(tr, tc, dr, dc, s); else // 此棋盘中无特殊方格 { board[tr+s-1][tc+s-1]=t; // 用 t 号L型骨牌覆盖右下角 chessBoard(tr,tc,tr+s-1, tc+s-1, s);// 覆盖其余方格 } //________________________________________________ 覆盖右上角子棋盘 if (dr < tr + s && dc >= tc + s) // 特殊方格在此棋盘中 chessBoard(tr, tc+s, dr, dc, s); else // 此棋盘中无特殊方格 { board[tr + s - 1][tc + s] = t; //用t号L型骨牌覆盖左下角 chessBoard(tr, tc+s, tr+s-1, tc+s, s);// 覆盖其余方格 } //_______________________________________________ 覆盖左下角子棋盘 if (dr >= tr + s && dc < tc + s) // 特殊方格在此棋盘中 chessBoard(tr+s, tc, dr, dc, s); else // 此棋盘中无特殊方格 { board[tr + s][tc + s - 1] = t; // 用 t 号L型骨牌覆盖右上角 chessBoard(tr+s, tc, tr+s, tc+s-1, s);// 覆盖其余方格 } //__________________________________________________ 覆盖右下角子棋盘 if (dr >= tr + s && dc >= tc + s) // 特殊方格在此棋盘中 chessBoard(tr+s, tc+s, dr, dc, s); else { board[tr + s][tc + s] = t; // 用 t 号L型骨牌覆盖左上角 chessBoard(tr+s, tc+s, tr+s, tc+s, s); // 覆盖其余方格 } } int main() { int size,dr,dc; cout<<"\t\t\t棋盘覆盖问题\n"; cout<<"2^k×2^k 个方格变长size(size=2,4,8,16,32,64)："; cin>>size; cout<<"分别输入特殊块的行下标dr,列下标dc(0-"<<(size-1)<<"):"; cin>>dr>>dc; board[dr][dc]=0; cout<<"棋盘覆盖图：\n"; chessBoard(0, 0, dr, dc, size); int i,j; for( i=0;i<size;i++) { for( j=0;j<size;j++) cout<<setw(6)<<board[i][j];//setw(6)//输出量不足6个字符时在左面填充空白 cout<<endl<<endl; } return 0; }

分治递归执行步骤：

         1）chessBoard(0, 0, 0, 0, 4);

               {          t=1;   s=2;

                        chessBoard(0, 0, 0, 0, 2);

                            {        t=2; s=1;

                                     chessBoard(0, 0, 0, 0, 1);

                                          {          s==1

                                                       return  

                                          }

                                                       以下三步

                                                        将左上角 三格板 用t=2覆盖

                               }

                              return

                                      以下三步 对右上递归  先 用t=1 覆盖左下

                                                          左下递归 先 用t=1 覆盖右上

                                                          右下递归 先 用t=1 覆盖左上

                                      递归处理类似。

                  }