【数据结构与算法】算法的空间复杂度和时间复杂度的计算

一、什么是算法？
1、算法就是求解问题的一系列步骤的集合。
2、通常把具体存储结构上的操作实现步骤或过程称为算法。

二、算法的五个重要特性
有穷性： 对于任意一组合法的输入值，在执行有穷步骤之后一定能结束。
确定性：每条指令必须有确切的含义，不能有二义性。
可行性：算法中描述的操作都是用已经实现的基本运算组成。
输入：可以有零个或多个输入。
输出：一组与"输入"有确定关系的量值。有一个或多个输出，要有输出算法才有意义。

三、算法的设计准则
正确性：除了应该满足算法说明中写明的“功能”之外，应对各组典型的带有苛刻条件的输入数据得出正确的结果 。
健壮性：算法应对非法输入的数据作出恰当反映或进行相应处理，一般情况下，应向调用它的函数返回一个表示错误或错误性质的值。
可读性 ：易于理解、实现和调试。
高效性（时空效率）：执行时间短（时间效率）、占用存储空间少（空间效率）

算法占用的资源分别是CPU时间和内存空间，CPU时间就是时间性能，内存空间就是空间性能。

四、算法时间复杂度分析和计算

一个算法是由控制结构（顺序、分支和循环三种）和原操作（指固有数据类型的操作，如+、-、*、/、++和–等）构成的。算法执行时间取决于两者的综合效果。
一般用算法中语句被执行的次数（频度）来表示算法的时间效率。

算法时间性能分析方式：
事后分析统计：编写算法相关或对应的程序，然后统计算法的执行时间。
但是这个有缺点，由于编写程序的语言不同、执行程序的环境不同等其他因素的影响，同样的算法执行的时间也有可能不同，所以不能用绝对的执行时间进行比较。

事前估算分析：
撇开上述编写程序的语言不同、执行程序的环境不同等因素，在编写程序前，依据统计方法对算法进行估算，认为算法的执行时间是问题规模n的函数。 

求出算法所有原操作的执行次数（也称为频度） ，它是问题规模n的函数，用T(n)表示。

为什么for控制结构那里是n+1次？
因为第n次时条件成立，for 继续执行，for执行第n+1次时，条件不成立，跳出循环，所以for语句多执行了一次。

由上可知：T(n) = 2n+3
T(n)是n数量级的，是时间频度(就是算法中语句执行的数次)，不是时间复杂度O(n).

时间复杂度(全称是渐进时间复杂度，用大O表示)：
忽略次要语句的执行次数，只对重要的语句（原操作）和执行最频繁的语句进行计数，同时对计算结果只取其最高次幂，且略去系数不写。也就是只求出T(n)的最高阶，忽略其低阶项和常系数，这样既可简化T(n)的计算，又能比较客观地反映出当n很大时算法的时间性能。
例如：T(n) = 2n+1 = O(n)、T(n) = 2n2+2n+2000 = O(n2).

int sum = 0;	//频度（执行次数）1次
void matrixadd(int n)
  {	
  	int i，j;	//频度（执行次数）1次
   	for (i=0; i<n; i++) 	//频度（执行次数）n+1次
   	{
   		for (j=0; j<n; j++)	//频度（执行次数）n(n+1)次
   		{
   			sum = i + j;	//频度（执行次数）n*n次
   		}
   	}   
  }

所有语句频度 T(n) = 2n2+2n+3
时间复杂度 O(n2)

各种时间复杂度：
1、一个没有循环的算法的基本运算次数与问题规模n无关，记作O(1)，也称作常数阶。
2、一个只有一重循环的算法的基本运算次数与问题规模n的增长呈线性增大关系，记作O(n)，也称线性阶。
3、其余常用的还有平方阶O(n2)、立方阶O(n3)、对数阶O(log2n)、指数阶O(2n)等。
4、各种不同数量级对应的值存在着如下大小关系：
O(1)

O(1)、O(n)、O(n2)这三个上面讲过啦，看看其他的：
O(log2n)

int i = 1;
while(i<n)
{
    i = i * 2;
}

每次乘以2都离n值近一点。
解：设循环x次之后，i 的值就大于 n 了，此时这个循环就退出了，
也就是说 2 的 x 次方大于或等于 n，由于n是上限，可以写成2的x次方等于n，
即 x = log2^n
也就是说当循环 log2^n 次以后，这个代码就结束了。
因此这个代码的时间复杂度为：O(log2n)

O(n*log2n)

for(j=1; j<n; j++)
{
    i = 1;
    while(i<n)
    {
        i = i * 2;
    }
}

n*log2n是log2n循环n次所得，因此，在log2n的代码上，加入一个n次循环即可。代码如上

O(n3)
n3是n2在外面加了一个n次所得。代码参考n2的。

除了上述常见的外，还有一些根据算法求得的。代码具体如下：

void func(int n)
{     int i=0，s=0;
      while (s<n)
     {     i++;
           s=s+i;
     }
}

解：对于while语句，假设执行x次时循环结束，即s>=n.
所以：s=x(x+1)/2 >= n，加一个值使其相等
所以：x(x+1)/2+k = n
求得x的值为根号n：
时间复杂度为：

五、算法空间复杂度分析和计算
一个算法的存储量包括输入数据所占的空间、程序本身所占的空间和临时变量所占的空间。这里在对算法进行存储空间分析时只考察临时变量所占的空间。
空间复杂度比较常用的有：O(1)、O(n)、O(n²)。

注*临时占用的存储空间：函数体内分配的空间

空间复杂度：用于量度一个算法在运行过程中临时占用的存储空间大小。
一般也作为问题规模n的函数，采用数量级形式描述，记作：
S(n) = O(g(n))

算法执行所需要的临时空间不随着某个变量n的大小而变化，即此算法空间复杂度为一个常量，可表示为 O(1)

int fun(int n)
{     int i， j， k， s; 
       s=0;
       for (i=0;i<=n;i++)           
            for (j=0;j<=i;j++)  	
                  for (k=0;k<=j;k++)     
                        s++; 
    return(s);
}

算法中临时分配的变量个数与问题规模n无关，所以空间复杂度均为O(1)。

若一个算法的空间复杂度为O(1)，则称此算法为原地工作或就地工作算法。

int[] m = new int[n]
for(i=1; i<=n; ++i)
{
   j = i;
   j++;
}

这段代码中，第一行new了一个数组出来，这个数据占用的大小为n，其它行没有在分配新的空间，因此，这段代码的空间复杂度主要看第一行即可，即 S(n) = O(n)

注* ： n2是n的2次方。