acdream 1412 2-3Trees （组合+DP）

 

题意：2-3树的每个结点（除了叶子外）有2或3个孩子（分支），假设是一个满2-3树，那么给出叶子的数量，求这样的树有多少棵。（注：有2个孩子的结点视为相同，有3个孩子的结点视为相同，比如倒数第2层有4个结点，且叶子有4+6=10个，即2个有2孩的结点在前面，2个有3孩的结点在后面，那么头两个结点的孩子互换是视为相同的，如下图）

 

 

只要结点1234各自的孩子数不变，则视为同棵树。若具有2孩的结点跟具有3孩的结点换位置，则为不同树，比如1和3换个位置。）

 

 

思路：

（1）考虑DP，依靠叶子数量小的，推出叶子数量大的。dp[k]表示叶子数为k的树有多少棵。那么只有一个结点的情况dp[1]=1我们是知道的。

（2）如何dp？

　　dp[k]可以更新后面的点有dp[2k~3k]，将k看成倒数第2层，那么其每个结点可以决定最底层的叶子个数。比如第1个结点生2孩，其他结点生3孩，可以更新dp[1*2+(k-1)*3]。

　　这一步只需要枚举2的个数即可，2的个数可以从0→k。设k=a+b，a个生2孩，b个生3孩，那么q=a*2+b*3为我们可以更新的点，则dp[q]+=dp[k]*c[k][a]，这里c[k][a]的意思是组合数学中Ck取a的组合数。任何一个dp[x]都可能被多个不同的2-3树发展多一层而变来的，例如dp[3]可以更新dp[9]，dp[4]当3个结点生2孩，1个结点生3孩也可以更新到dp[9]，。

（3）需要预先求得c[x][y]的所有可能，因为后面可能多次引用，逐个计算复杂度会过高。利用杨辉三角可以计算C_{n取k这样的组合数。}

 

 1 #include <bits/stdc++.h>

 2 #define LL long long

 3 using namespace std;

 4 const int N=5005;

 5 LL dp[N*3];

 6 LL c[N/2][N/2];

 7 

 8 unsigned int n,r;

 9 void pre()   //组合数，类似于一个黑色的袋子中摸出黑球和白球，黑白球代表2或3孩子，组成有序序列

10 {

11     memset(c,0,sizeof(c));

12     c[0][0]=1;

13     c[1][0]=c[1][1]=1;

14     for(int i=2;i<=n/2;i++)

15     {

16         c[i][0]=1;

17         for(int j=1;j<i;j++)

18             c[i][j]=(c[i-1][j-1]%r+c[i-1][j]%r)%r;

19 

20         c[i][i]=1;

21     }

22 }

23 void init()

24 {

25     memset(dp,0,sizeof(dp));

26     dp[1]=1;

27     for(int i=1; i<n/2+1; i++)   //从前面开始更新到后面，2500还能更新5000的，所以要循环到n/2

28     {

29         for(int j=0; j<=i; j++) //有j个2,  i-j个3

30         {

31             int q=j*2+(i-j)*3; //要更新的点

32             dp[q]=(dp[q]+(dp[i]*c[i][j]))%r;

33         }

34     }

35 }

36 

37 int main()

38 {

39     //freopen("e://input.txt", "r", stdin);

40     while(~scanf("%d%d",&n,&r))

41     {

42         pre();

43         init();

44         printf("%lld\n",dp[n]);

45     }

46     return 0;

47 }

AC代码