acdream 1412 2-3Trees (组合+DP)

 

题意:2-3树的每个结点(除了叶子外)有2或3个孩子(分支),假设是一个满2-3树,那么给出叶子的数量,求这样的树有多少棵。(注:有2个孩子的结点视为相同,有3个孩子的结点视为相同,比如倒数第2层有4个结点,且叶子有4+6=10个,即2个有2孩的结点在前面,2个有3孩的结点在后面,那么头两个结点的孩子互换是视为相同的,如下图)

 

acdream 1412 2-3Trees (组合+DP)

 

只要结点1234各自的孩子数不变,则视为同棵树。若具有2孩的结点跟具有3孩的结点换位置,则为不同树,比如1和3换个位置。)

 

 

思路:

(1)考虑DP,依靠叶子数量小的,推出叶子数量大的。dp[k]表示叶子数为k的树有多少棵。那么只有一个结点的情况dp[1]=1我们是知道的。

(2)如何dp?

  dp[k]可以更新后面的点有dp[2k~3k],将k看成倒数第2层,那么其每个结点可以决定最底层的叶子个数。比如第1个结点生2孩,其他结点生3孩,可以更新dp[1*2+(k-1)*3]。

  这一步只需要枚举2的个数即可,2的个数可以从0→k。设k=a+b,a个生2孩,b个生3孩,那么q=a*2+b*3为我们可以更新的点,则dp[q]+=dp[k]*c[k][a],这里c[k][a]的意思是组合数学中Ck取a的组合数。任何一个dp[x]都可能被多个不同的2-3树发展多一层而变来的,例如dp[3]可以更新dp[9],dp[4]当3个结点生2孩,1个结点生3孩也可以更新到dp[9],。

(3)需要预先求得c[x][y]的所有可能,因为后面可能多次引用,逐个计算复杂度会过高。利用杨辉三角可以计算Cn取k这样的组合数。

 

 1 #include <bits/stdc++.h>

 2 #define LL long long

 3 using namespace std;

 4 const int N=5005;

 5 LL dp[N*3];

 6 LL c[N/2][N/2];

 7 

 8 unsigned int n,r;

 9 void pre()   //组合数,类似于一个黑色的袋子中摸出黑球和白球,黑白球代表2或3孩子,组成有序序列

10 {

11     memset(c,0,sizeof(c));

12     c[0][0]=1;

13     c[1][0]=c[1][1]=1;

14     for(int i=2;i<=n/2;i++)

15     {

16         c[i][0]=1;

17         for(int j=1;j<i;j++)

18             c[i][j]=(c[i-1][j-1]%r+c[i-1][j]%r)%r;

19 

20         c[i][i]=1;

21     }

22 }

23 void init()

24 {

25     memset(dp,0,sizeof(dp));

26     dp[1]=1;

27     for(int i=1; i<n/2+1; i++)   //从前面开始更新到后面,2500还能更新5000的,所以要循环到n/2

28     {

29         for(int j=0; j<=i; j++) //有j个2,  i-j个3

30         {

31             int q=j*2+(i-j)*3; //要更新的点

32             dp[q]=(dp[q]+(dp[i]*c[i][j]))%r;

33         }

34     }

35 }

36 

37 int main()

38 {

39     //freopen("e://input.txt", "r", stdin);

40     while(~scanf("%d%d",&n,&r))

41     {

42         pre();

43         init();

44         printf("%lld\n",dp[n]);

45     }

46     return 0;

47 }
AC代码

 

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