手动开平方的简易方法

　　原来还有如此简单粗暴的办法，<传送门>

    当数字比较小(比如10^9)时，我们可以用sqrt函数直接求平方根。但是当数字达到10^20时，sqrt就没用了。此时我们可以用二分来找平方根。但是如果又要精确到小数点后若干位，那么二分也不知道要跑多久。于是我们使用手动开方的算法。

    首先将数字每两位分成一段。如：745836942。就分成：

    7|45|83|69|42，即从个位开始分。共分成五段，第一段是7。

    对第一段的数字7开方取整，可得到2。此时，要在2后面接一个数字b，并在7后面加上下一段的数45，使产生的两位数2b的平方不大于745。

    我们知道，数是10a+b，其平方是100a^2+20ab+b^2。我们可以暂时忽略b^2，而产生一个“试商”b。即b = (745 - 100a^2) / 20a = (745 - 100*2*2) / (20 * 2) = 8.625 ≈ 8(向下取整)。但是，我们发现28的平方=784>745，于是这个试商需要减少为7。然而，当a=0时，上述求试商的方法不在适用，但我们可以直接取下一段的两位数开方。如√45≈6。求出试商后，用745-^2得到新的“第一段”的数。

    过程即：取出第一段的数mn，开方得到a，然后接上第二段的数pq，用mnpq0a^2得到“余数”x，x/20a得到试商b，然后调整b（当20*a*b+b*b>x时b需要减少），调整后，将x-20a*b-b*b作为新的余数x'，新的a就是。由于前面已经将100a^2减掉，所以后面每次都不用再减去100a^2。重复步骤，直到开方完毕，或达到要求的精度为止。最后得到的a就是平方根。

    如求745836942的平方根：

    7|45|83|69|42

    ①a=√7≈2，b=(745-400)/40≈8，28^2=784>745  ==>  b=7  ==> 27^2=729<745，745r9 = 16

    ②a=27，b=1683/540≈3，27*20*3+3*3=1629<1683，168329 = 54

    ③a=273，b=5469/5460≈1，273*20*1+1*1=5461<5469  ==>  b=1， 5469T61=8

    ④a=2731，b=842/54620≈0，2731*20*0+0*0<842  ==>  b=0，84296 = 842

    至此，745836942的整数部分已经求出来，就是27310。如果还要求小数部分，在后面接0即可。注意，在被开方数字很大（10^100）时，需要用高精度计算a。