数学建模（二）：优化

目录

✨前言

一、什么是启发式算法？

二、简单的优化问题

三、启发式算法

四、粒子群算法

️五、代码实现

六、代码讲解与分析

写在最后

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✨前言

      在数学建模比赛中，优化的问题是再常见不过了，关于一些常见的有约束条件的函数寻优，我们可以用lingo就可以解决，但是对于一些复杂的并且无约束条件的寻优，我们常常无法入手，这个时候启发式算法就是我们求解该类优化问题的一大法宝。

     关于智能优化算法有很多，遗传算法、例子群算法、模拟退火....，这里我们就先学习掌握“粒子群算法”即可！

一、什么是启发式算法？

启发式算法百度百科上的定义：一个基于直观或经验 构造的算法， 在 可接受的花费 下给出待解决 优化问题 的一个 可行解 。

1 ）什么是可接受的花费？

计算时间和空间能接受 （求解一个问题要几万年 or  一万台电脑）

2 ）什么是优化问题？

指在一定约束条件下 , 求解一 个目标函数的最大值 ( 或最小值 ) 问题。

(注：实际上和我们之前学过的规划问题的定义一样，称呼不同而已 )

3 ）什么是可行解？

得到的结果能用于工程实践（不一定非要是最优解）

二、简单的优化问题

如上图所示，我们在f(x)这个函数中要寻找一个最大值点，因为f(x)是一个组合函数，也就是不规则的函数，我们如果要在图中找出这个最大值点，我们最好的方法就是对[a,b]进行分割，比如说分割步长为0.01的然后跑一个循环求出x分别为（a）,(a+0.01).....（b）中对应的最大的y，这种方法是最容易想到的办法，但是存在一定的局限性，得出来的解很有可能是局部最优解，为什么这么说呢?

举一个例子：

1）a=1；b=10；

2）按照步长为0.01将[a,b]划分成1000份

3）然后求出当x=2.01是对应的y最大，这个时候我们就会认为f(2.01)是全局最优解

4）事实上，如果x=2.015对应的才是实际的最大值，但是我们再枚举的过程中并不能计算精度为0.001时的值，就很难得到最优解，这个时候我们就可以使用启发式搜索方法！

三、启发式算法

按照预定的策略实行搜索，在搜索过程中获取的中间信息 不用来 改进策略，称为盲目搜索；

反之 如果利用了中间信息来改进搜索策略则称为启发式搜索。

例如：蒙特卡罗模拟用来求解优化问题就是盲目搜索，

还有大家熟悉的枚举法也是盲目搜索。

• 关于“启发式”，可以简单总结为下面两点：

（1） 任何有助于找到问题的最优解，但不能保证找到最优解的方法均是启发式方法；

（2） 有助于加速求解过程和找到较优解的方法是启发式方法。

四、粒子群算法

1995 年，美国学者 Kennedy和 Eberhart 共同提出了粒子 群算法，其基本思想源于 对鸟类群体行为进行建模 与仿真的研究结果的启发。

核心思想： 是利用群体中的 个体对信息的共享 使整个群体的运动在问题求解空间中产生从无序到有序 的演化过程，从而获得问题的可行解。

️五、代码实现

我们就拿这个题目来举例子 ，求函数f(t,s)的极小值，这道题目的原解法是利用单纯形搜索法实现，那么我们这里用粒子群算法来实现一下，代码如下所示：

1）SOA.m文件

% Seeker Optimition Algorithm for f(x1,x2) optimum
clc % 清屏
clear all; % 删除workplace变量
close all; % 关掉显示图形窗口

format long
% Parameters
%这个地方的迭代次数，可以自己设定
sizepop=50;%种群规模
maxgen=50;%最大迭代次数
%式子中有几个变量x，m就等于多少
%这个地方m=2，则表示f函数中一共有两个变量
m=2;%空间维数
Umax=0.9500;%最大隶属度值
Umin=0.0111;%最小隶属度值
Wmax=0.9;%权重最大值
Wmin=0.1;%权重最小值
popmax=15;
popmin=-15;
% 初始化种群个体
for i=1:sizepop
    pop(i,:)=15*rands(1,m);
    fitness(i)=Sphere(pop(i,:));% 计算适应度
end
%寻找具有最好适应度的个体
[bestfitness bestindex]=min(fitness);
zbest=pop(bestindex,:);   %全局最佳
gbest=pop;    %个体最佳
fitnessgbest=fitness;   %个体最佳适应度值
fitnesszbest=bestfitness;   %全局最佳适应度值
%%迭代寻优
Di=0*rand(sizepop,m);
Di(1,:)=1;
Buchang=0*rand(sizepop,m);
C=0*rand(sizepop,m);
Diego=0*rand(sizepop,m);
Dialt=0*rand(sizepop,m);
Dipro=0*rand(sizepop,m);
yy(1)=fitnesszbest;
for t=2:maxgen
    for i=1:sizepop
        W=Wmax-t*(Wmax-Wmin)/maxgen;
        Diego(i,:)=sign(gbest(i,:) - pop(i,:));%确定利己方向
        Dialt(i,:)=sign(zbest - pop(i,:));%确定利他方向
        if Sphere(gbest(i,:))>=Sphere(pop(i,:))%确定预动方向
            Dipro(i,:)=-Di(i,:);
        else
            Dipro(i,:)=Di(i,:);
        end
        Di(i,:)=sign(W* Dipro(i,:)+rand*Diego(i,:)+rand*Dialt(i,:));%确定经验梯度方向
        [Orderfitnessgbest,Indexfitnessgbest]=sort(fitnessgbest,'descend');
        u=Umax-(sizepop-Indexfitnessgbest(i))*(Umax-Umin)/(sizepop-1);
        U=u+(1-u)*rand;
        H(t)=(maxgen-t)/maxgen;%迭代过程中权重的变化
        C(i,:)=H(t)*abs(zbest-5*rands(1,m));%确定高斯函数的参数
        T=sqrt(-log(U));
        Buchang(i,:)=C(i,:)*T;%确定搜索不长的大小
        Buchang(i,find(Buchang(i,:)>3*max(C(i,:))))=3*max(C(i,:));
        Buchang(i,find(Buchang(i,:)<0))=0;
        %更新位置
        pop(i,:)=pop(i,:)+Di(i,:).*Buchang(i,:);
        pop(i,find(pop(i,:)>popmax))=popmax;
        pop(i,find(pop(i,:)

2）Sphere.m文件

function y=Sphere(x)
%如果要求最大值的话，前面加一个负号就可以了
%y=-(3*x(1)^2+x(2)^2-2*x(1)*x(2)+4*x(1)+3*x(2));
 y=3*x(1)^2+x(2)^2-x(1)*x(2)+3*x(2)-5;

3）运行结果

4）答案验证

 答案正确√

六、代码讲解与分析

关于粒子群算法的各个步骤原理，我这边不做过多赘述，下面我来教大家如何应用并解决问题。

（1）这个Sphere.m文件存储的是我们需要求最小值的函数表达式，里面一共有两个变量，存在x矩阵里了，分别是x(1)，x(2)，分别对应着我们题目中的t和s，如果一个函数表达式中有n个变量，那么我们分别用x(1).....x(n)去替代即可

 （2）这个SOA.m文件存储的是粒子群算法的核心实现代码，我们主要需要注意的就是m这个变量的值，是由Sphere.m文件中函数表示中的变量的个数决定的，例如这道题目的变量是t,s，那么这个时候m的值就是2

写在最后

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