数学建模十大算法01-蒙特卡洛算法（Monte Carlo）

蒙特卡洛方法也称为 计算机随机模拟方法，它源于世界著名的赌城——摩纳哥的Monte Carlo(蒙特卡洛)。它是基于对大量事件的统计结果来实现一些确定性问题的计算。使用蒙特卡洛方法必须使用计算机生成相关分布的随机数，Matlab给出了生成各种随机数的命令，常用的有 rand函数和 unifrnd。

一、生成随机数

1.1 rand

rand函数可用于产生由(0,1)之间均匀分布的随机数或矩阵。
Y = rand(n) 返回一个n×n的随机矩阵。
Y = rand(m,n) 或 Y = rand([m n]) 返回一个m×n的随机矩阵。

Y = rand(m,n,p,...) 或 Y = rand([m n p...]) 产生随机数组。

Y = rand(size(A)) 返回一个和A有相同尺寸的随机矩阵。

1.2 unifrnd

unifrnd 生成一组（连续）均匀分布的随机数。
R = unifrnd(A,B) 生成被A和B指定上下端点[A,B]的连续均匀分布的随机数组R。
如果A和B是数组，R(i,j)是生成的被A和B对应元素指定连续均匀分布的随机数。

R = unifrnd(A,B,m,n,...) 或 R = unifrnd(A,B,[m,n,...])
如果A和B是标量，R中所有元素是相同分布产生的随机数。
如果A或B是数组，则必须是mn…数组。

1.3 联系与区别

相同点：

• 二者都是利用rand函数进行随机值计算。
• 二者都是均匀分布。

【例】在区间[5,10]上生成400个均匀分布的随机数。

不同点：

• unifrnd是统计工具箱中的函数，是对rand的包装。不是Matlab自带函数无法使用JIT加速。
• rand函数可以指定随机数的数据类型。

二、引入

2.1 引例

为了求得圆周率 π 值，在十九世纪后期，有很多人作了这样的试验：将长为 $l$ 的一根针任意投到地面上，用针与一组相间距离为 $a（l＜a）$的平行线相交的频率代替概率P，再利用准确的关系式：$p=\frac{2l}{\pi a}$ ，求出 π 值。（布丰投针）

注意：当针和平行线相交时有，针的中点x与针与直线的夹角φ满足 $x\le \frac{1}{2}sin\phi$

l =  0.520;     % 针的长度（任意给的）
a = 1.314;    % 平行线的宽度(大于针的长度l即可)
n = 1000000;    % 做n次投针试验，n越大求出来的pi越准确
m = 0;    % 记录针与平行线相交的次数
x = rand(1, n) * a / 2 ;   % 在[0, a/2]内服从均匀分布随机产生n个数， x中每一个元素表示针的中点和最近的一条平行线的距离
phi = rand(1, n) * pi;    % 在[0, pi]内服从均匀分布随机产生n个数，phi中的每一个元素表示针和最近的一条平行线的夹角
% axis([0,pi, 0,a/2]);   box on;  % 画一个坐标轴的框架，x轴位于0-pi，y轴位于0-a/2， 并打开图形的边框
for i=1:n  % 开始循环，依次看每根针是否和直线相交
    if x(i) <= l / 2 * sin(phi (i))     % 如果针和平行线相交
        m = m + 1;    % 那么m就要加1
%         plot(phi(i), x(i), 'r.')   % 模仿书上的那个图，横坐标为phi，纵坐标为x , 用红色的小点进行标记
%         hold on  % 在原来的图形上继续绘制
    end
end
p = m / n;    % 针和平行线相交出现的频率
mypi = (2 * l) / (a * p);  % 我们根据公式计算得到的pi
disp(['蒙特卡罗方法得到pi为：', num2str(mypi)])

由于一次模拟的结果具有偶然性，因此我们可以重复100次后再来求一个平均的pi，这样子得到的结果会更接近真实的pi值。

result = zeros(100,1);  % 初始化保存100次结果的矩阵
l =  0.520;     a = 1.314;
n = 1000000;    
for num = 1:100  % 重复100次求平均pi
    m = 0;  
    x = rand(1, n) * a / 2 ;
    phi = rand(1, n) * pi;
    for i=1:n
        if x(i) <= l / 2 * sin(phi (i))
            m = m + 1;
        end
    end
    p = m / n;
    mypi = (2 * l) / (a * p);
    result(num) = mypi;  % 把求出来的myphi保存到结果矩阵中
end
mymeanpi = mean(result);  % 计算result矩阵中保存的100次结果的均值
disp(['蒙特卡罗方法得到pi为：', num2str(mymeanpi)])

2.2 基本思想

• 当所求问题的解是某个事件的概率，或者是某个随机变量的数学期望，或者是与概率，数学期望有关的量时，通过某种试验的方法，得出该事件发生的概率，或者该随机变量若干个具体观察值的算术平均值，通过它得到问题的解。
• 当随机变量的取值仅为1或0时，它的数学期望就是某个事件的概率。或者说，某种事件的概率也是随机变量（仅取值为1或0）的数学期望。

2.3 优缺点

优点： （可以求解复杂图形的积分、定积分，多维数据也可以很快收敛）
1、能够比较逼真地描述具有随机性质的事物的特点及物理实验过程
2、受几何条件限制小
3、收敛速度与问题的维数无关
4、具有同时计算多个方案与多个未知量的能力
5、误差容易确定
6、程序结构简单，易于实现

缺点：
1、收敛速度慢
2、误差具有概率性
3、在粒子输运问题中，计算结果与系统大小有关

主要应用范围：

1、粒子输运问题（实验物理，反应堆物理）
2、统计物理
3、典型数学问题
4、真空技术
5、激光技术
6、医学
7、生物
8、探矿
……

注：所以在使用蒙特卡罗方法时，要“扬长避短”，只对问题中难以用解析（或数值）方法处理的部分，使用蒙特卡罗方法计算，对那些能用解析（或数值）方法处理的部分，应当尽量使用解析方法。

蒙特卡洛算法，采样越多，越接近最优解。（尽量找好的，但是不保证是最好的），它与拉斯维加斯算法的对比可参考：蒙特卡罗算法 与 拉斯维加斯算法。

三、实例

3.1 蒙特卡洛求解积分

$$\theta ={\int }_a^{b}f(x)dx$$

步骤如下：

1. 在区间[a,b]上利用计算机均匀的产生n个随机数（可用matlab的unifrnd实现）
2. 计算每一个随机数相对应的函数值f(x1)、f(x2)、f(xn)
3. 计算被积函数值的平均值

3.2 简单的实例

【例】 求π的值。

N = 1000000;    % 随机点的数目
x = rand(N,1);  % rand 生成均匀分布的伪随机数。分布在（0~1）之间
y = rand(N,1);  % 矩阵的维数为N×1
count = 0;
for i = 1:N
   if (x(i)^2+y(i)^2 <= 1)
     count = count + 1;
    end
end
PI = 4*count/N

正方形内部有一个相切的圆，它们的面积之比是π/4。现在，在这个正方形内部，随机产生1000000个点（即1000000个坐标对 (x, y)），计算它们与中心点的距离，从而判断是否落在圆的内部。如果这些点均匀分布，那么圆内的点应该占到所有点的 π/4，因此将这个比值乘以4，就是π的值。

【例】 计算定积分$${\int }_0^1{x}^{2}dx$$
计算函数 y =$x^2$在 [0, 1] 区间的积分，就是求出红色曲线下面的面积。这个函数在 (1,1) 点的取值为1，所以整个红色区域在一个面积为1的正方形里面。在该正方形内部，产生大量随机点，可以计算出有多少点落在红色区域（判断条件 y < $x^2$）。这个比重就是所要求的积分值。

N = 10000;  
x = rand(N,1); 
y = rand(N,1);
count = 0;
for i = 1:N
   if (y(i) <= x(i)^2)
     count = count + 1;
   end
end
result = count/N

蒙特卡洛算法对于涉及不可解析函数 或 概率分布的模拟及计算是个有效的方法。

【例】 套圈圈问题。（Python代码）

在这里，我们设物品中心点坐标为(0,0)，物品半径为5cm。

import matplotlib.pyplot as plt
import matplotlib.patches as mpatches
import numpy as np
import sys
circle_target = mpatches.Circle([0, 0], radius=5, edgecolor='r', fill=False)
plt.xlim(-80, 80)
plt.ylim(-80, 80)
plt.axes().add_patch(circle_target)  # 在坐标轴里面添加圆
plt.show()

设投圈半径8cm，投圈中心点围绕物品中心点呈二维正态分布，均值μ=0cm，标准差σ=20cm，模拟1000次投圈过程。

N = 1000  # 1000次投圈
u, sigma = 0, 20  # 投圈中心点围绕物品中心呈二维正态分布，均值为0，标准差为20cm
points = sigma * np.random.randn(N, 2) + u
plt.scatter([x[0] for x in points], [x[1] for x in points], c=np.random.rand(N), alpha=0.2)

注：上图中红圈为物品，散点图为模拟1000次投圈过程中，投圈中心点的位置散布。

然后，我们来计算1000次投圈过程中，投圈套住物品的占比情况。

print(len([xy for xy in points if xy[0] ** 2 + xy[1] ** 2 < (8-5) ** 2]) / N)  # 物品半径为5cm，投圈半径为8cm，xy是一个坐标

输出结果为：0.015
代表投1000次，只有15次能够套住物品，这是小概率事件，知道我们为什么套不住了吧~

3.3 书店买书（0-1规划问题）

解：设 $i=1,\mathrm{2...},6$ 表示ABCDEF六家商城， $j=1,\mathrm{2...},5$ 表示B1、B2…B5五本书。记 $m_{ij}$ 为第 $j$ 本书在第 $i$ 家店的售价， $q_i$ 表示第 $i$ 的运费。引入0-1变量 $x_{ij}$ 如下：

那么，我们的目标函数就是总花费，包括两个方面：1）五本书总价格；2）运费。

$$书价=\sum _{j=1}^5\left[\sum _{i=1}^6\left(x_{ij}\cdot m_{ij}\right)\right]$$

书店买书问题的蒙特卡罗的模拟代码实现：

%% 代码求解
min_money = +Inf;  % 初始化最小的花费为无穷大，后续只要找到比它小的就更新
min_result = randi([1, 6],1,5);  % 初始化五本书都在哪一家书店购买，后续我们不断对其更新
%若min_result = [5 3 6 2 3]，则解释为：第1本书在第5家店买，第2本书在第3家店买，第3本书在第6家店买，第4本书在第2家店买，第5本书在第3家店买  
n = 100000;  % 蒙特卡罗模拟的次数
M = [18	 39	29	48	59
        24	45	23	54	44
        22	45	23	53	53
        28	47	17	57	47
        24	42	24	47	59
        27	48	20	55	53];  % m_ij  第j本书在第i家店的售价
freight = [10 15 15 10 10 15];  % 第i家店的运费
for k = 1:n  % 开始循环
    result = randi([1, 6],1,5); % 在1-6这些整数中随机抽取一个1*5的向量，表示这五本书分别在哪家书店购买
    index = unique(result);  % 在哪些商店购买了商品，因为我们等下要计算运费
    money = sum(freight(index)); % 计算买书花费的运费
    % 计算总花费：刚刚计算出来的运费 + 五本书的售价
    for i = 1:5   
        money = money + M(result(i),i);  
    end
    if money < min_money  % 判断刚刚随机生成的这组数据的花费是否小于最小花费，如果小于的话
        min_money = money  % 我们更新最小的花费
        min_result = result % 用这组数据更新最小花费的结果
    end
end

循环执行的过程如下所示：

最终得到的最小花费为189元，方案为第一本书在第1家店买，第二本书在第1家店买，第三本书在第4家店买，第四本书在第1家店买，第五本书在第4家店买。

3.4 旅行商问题（TSP）

一个售货员必须访问n个城市，这n个城市是一个完全图，售货员需要恰好访问所有城市一次，并且回到最终的城市。城市与城市之间有一个旅行费用，售货员希望旅行费用之和最少。

如图所示的完全图旅行费用最小时的路径为：城市1→城市3→城市2→城市4→城市1

案例代码实现：

% 只有10个城市的简单情况
 coord =[0.6683 0.6195 0.4 0.2439 0.1707 0.2293 0.5171 0.8732 0.6878 0.8488 ;
               0.2536 0.2634 0.4439 0.1463 0.2293 0.761  0.9414 0.6536 0.5219 0.3609]' ;  % 城市坐标矩阵，n行2列
% 38个城市，TSP数据集网站(http://www.tsp.gatech.edu/world/djtour.html) 上公测的最优结果6656。
 % coord = [11003.611100,42102.500000;11108.611100,42373.888900;11133.333300,42885.833300;11155.833300,42712.500000;11183.333300,42933.333300;11297.500000,42853.333300;11310.277800,42929.444400;11416.666700,42983.333300;11423.888900,43000.277800;11438.333300,42057.222200;11461.111100,43252.777800;11485.555600,43187.222200;11503.055600,42855.277800;11511.388900,42106.388900;11522.222200,42841.944400;11569.444400,43136.666700;11583.333300,43150.000000;11595.000000,43148.055600;11600.000000,43150.000000;11690.555600,42686.666700;11715.833300,41836.111100;11751.111100,42814.444400;11770.277800,42651.944400;11785.277800,42884.444400;11822.777800,42673.611100;11846.944400,42660.555600;11963.055600,43290.555600;11973.055600,43026.111100;12058.333300,42195.555600;12149.444400,42477.500000;12286.944400,43355.555600;12300.000000,42433.333300;12355.833300,43156.388900;12363.333300,43189.166700;12372.777800,42711.388900;12386.666700,43334.722200;12421.666700,42895.555600;12645.000000,42973.333300];

n = size(coord,1);  % 城市的数目

figure(1)  % 新建一个编号为1的图形窗口
plot(coord(:,1),coord(:,2),'o');   % 画出城市的分布散点图
for i = 1:n
    text(coord(i,1)+0.01,coord(i,2)+0.01,num2str(i))   % 在图上标上城市的编号（加上0.01表示把文字的标记往右上方偏移一点）
end
hold on % 等一下要接着在这个图形上画图的


d = zeros(n);   % 初始化两个城市的距离矩阵全为0
for i = 2:n  
    for j = 1:i  
        coord_i = coord(i,:);   x_i = coord_i(1);     y_i = coord_i(2);  % 城市i的横坐标为x_i，纵坐标为y_i
        coord_j = coord(j,:);   x_j = coord_j(1);     y_j = coord_j(2);  % 城市j的横坐标为x_j，纵坐标为y_j
        d(i,j) = sqrt((x_i-x_j)^2 + (y_i-y_j)^2);   % 计算城市i和j的距离
    end
end
d = d+d';   % 生成距离矩阵的对称的一面

min_result = +inf;  % 假设最短的距离为min_result，初始化为无穷大，后面只要找到比它小的就对其更新
min_path = [1:n];   % 初始化最短的路径就是1-2-3-...-n
N = 10000;  % 蒙特卡罗模拟的次数，清风老师设的次数为10000000，这里我为了快速得到结果，改为10000
for i = 1:N  % 开始循环
    result = 0;  % 初始化走过的路程为0
    path = randperm(n);  % 生成一个1-n的随机打乱的序列
    for i = 1:n-1  
        result = d(path(i),path(i+1)) + result;  % 按照这个序列不断的更新走过的路程这个值
    end
    result = d(path(1),path(n)) + result;  % 别忘了加上从最后一个城市返回到最开始那个城市的距离
    if result < min_result  % 判断这次模拟走过的距离是否小于最短的距离，如果小于就更新最短距离和最短的路径
        min_path = path;
        min_result = result
    end
end

在运行过程中，我们选择查看min_result的变化：

最终得到的路径（不一定是最优的路径）为：

图中显示最短路径：

min_path = [min_path,min_path(1)];   % 在最短路径的最后面加上一个元素，即第一个点（我们要生成一个封闭的图形）
n = n+1;  % 城市的个数加一个（紧随着上一步）
for i = 1:n-1 
     j = i+1;
    coord_i = coord(min_path(i),:);   x_i = coord_i(1);     y_i = coord_i(2); 
    coord_j = coord(min_path(j),:);   x_j = coord_j(1);     y_j = coord_j(2);
    plot([x_i,x_j],[y_i,y_j],'-')    % 每两个点就作出一条线段，直到所有的城市都走完
    pause(0.5)  % 暂停0.5s再画下一条线段
    hold on
end

参考文献

[1] 数学建模——蒙特卡罗算法（Monte Carlo Method）
[2] 数学建模之蒙特卡洛算法
[3] 蒙特卡洛方法到底有什么用？
[4] 数学建模 | 蒙特卡洛模拟方法 | 详细案例和代码解析（清风课程） ★★推荐