猿创征文 |【算法面试入门必刷】动态规划-线性dp(一)

【算法面试入门必刷】动态规划-线性dp(一)

  • 前言
  • 算法入门刷题训练
    • 题目AB34:跳台阶
      • 题目分析
      • 理论准备
      • 题解
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前言

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算法入门刷题训练

题目AB34:跳台阶

题目分析

描述
一只青蛙一次可以跳上1级台阶,也可以跳上2级。求该青蛙跳上一个 n 级的台阶总共有多少种跳法(先后次序不同算不同的结果)。
数据范围:1≤n≤40
要求:时间复杂度:O(n)O(n) ,空间复杂度: O(1)O(1)

这道跳台阶的题目属于动态规划的入门题目,起初可以通过类似的入门题目的训练达到熟练掌握DP解题步骤的目的。分析题目可知,青蛙跳上一个n级台阶一共有两种方式:一个是从n-1阶台阶跳上来,一个是从n-2阶台阶上跳上来。因此我们只要求出跳上n-1阶台阶的方式以及跳上n-2阶台阶的方式,就得出了最后的答案,因此类推公式即:f(n) = f(n-1) + f(n-2)

理论准备

任何算法都有相对应的算法模板或者有规律的解题步骤。对于动态规划来讲,做DP相关的算法题要熟练掌握下面DP解题步骤,这样有助于在面对到各种各样的题目时能够提高解题效率:

DP解题步骤:

  1. 首先要确定dp数组:是一维,二维还是三维;以及下标的含义是什么?
  2. 根据确定好的dp数组,给出递推公式,也叫状态转移方程。
  3. 确定dp数组是否需要初始化,初始化为多少。
  4. 确定遍历的顺序;这一步在背包相关的DP题目中非常重要。
  5. 根据测试用例进行验证

题解

具体的解决方案如下:

  1. 首先确定dp数组:是一维,二维还是三维;以及下标的含义是什么?
// 这里使用一维dp即可
// dp[i] 表示青蛙跳上一个i级台阶总共有dp[i]种跳法
vector<int> dp(number+1);
  1. 根据确定好的dp数组,给出递推公式。
// 根据题目分析我们得出了以下递推公式
dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2];
  1. 确定dp数组是否需要初始化,初始化为多少。
// 根据本题的边界条件,需要特殊处理下标小于3的dp值
dp[0] = 0;
dp[1] = 1;
dp[2] = 2;
  1. 确定遍历的顺序;这一步在背包相关的DP题目中非常重要。
// 本题从小到大遍历即可
for(int i{3};i <= number;++i){
    dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2];
}
  1. 根据测试用例进行验证:选择所有的测试用例带入验证即可。

  2. 完整代码如下:

class Solution {
public:
    int jumpFloor(int number) {
        if(number <= 2){
            return number;
        }
        vector<int> dp(number+1);
        
        dp[0] = 0;
        dp[1] = 1;
        dp[2] = 2;
        
        for(int i{3};i <= number;++i){
            dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2];
        }
        
        return dp[number];
    }
};

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小结

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