吴恩达机器学习（四）过拟合与正则化
1. 过拟合问题
（The Problem of Overfitting）
到现在为止，我们已经学习了线性回归和逻辑回归这两种学习算法，它们能够有效地解决许多问题，但是当将它们应用到某些特定的机器学习应用时，会遇到 过拟合（over-fitting）的问题，可能会导致学习效果很差。
1.1 回归问题中的过拟合
下图是一个回归问题的例子，如果我们有非常多的特征，我们通过学习得到的假设可能能够非常好地适应训练集（代价函数可能几乎为0），但是可能会不能推广到新的数据。
-
第一个模型是一个线性模型，欠拟合（under-fitting），具有较大偏差（high bias）不能很好地适应训练集；
-
第三个模型是一个四次方的模型，过于强调拟合原始数据，而丢失了算法的本质：预测新数据。虽然能非常好地适应训练集，但在新输入变量进行预测时效果表现的很差，是 过拟合（over-fitting）；
-
中间的模型似乎最合适。
1.2 分类问题中的过拟合
分类问题中也存在这样的问题：
就以多项式理解， x x x 的次数越高，拟合的越好，但相应的预测的能力就可能变差。
1.3 过拟合的解决方法
- 丢弃一些不能帮助我们正确预测的特征。可以是手工选择保留哪些特征，或者使用一些模型选择的算法来帮忙（例如PCA）
- 正则化（Regularization）。 保留所有的特征，但是减少参数的大小。
2. 正则化
（Regularization）
以回归问题中的过拟合为例，假设过拟合的模型是：
h θ ( x ) = θ 0 + θ 1 x 1 + θ 2 x 2 2 + θ 3 x 3 3 + θ 4 x 4 4 h_\theta(x)=\theta_0+\theta_1x_1+\theta_2x_2^2+\theta_3x_3^3+\theta_4x_4^4 hθ(x)=θ0+θ1x1+θ2x22+θ3x33+θ4x44正是高次项导致了过拟合的产生，所以如果我们能降低这些高次项的权重，即让其系数越小的话，模型就能很好的拟合了。
我们要做的就是在一定程度上减小这些参数的值，这就是正则化的基本方法。
要减少 θ 3 \theta_3 θ3 和 θ 4 \theta_4 θ4 的大小，可以通过修改代价函数，在其中 θ 3 \theta_3 θ3 和 θ 4 \theta_4 θ4 设置一点惩罚，例如：
min θ 1 2 m [ ∑ i = 1 m ( h θ ( x ( i ) ) y ( i ) ) 2 + 1000 θ 3 2 + 1000 θ 4 4 ] \mathop{\text{min}}\limits_{\mathcal{\theta}}\frac{1}{2m} \left[\sum_{i=1}^{m} (h_\theta(x^{(i)})y^{(i)})^2+1000\theta_3^2+1000\theta_4^4\right] θmin2m1[i=1∑m(hθ(x(i))y(i))2+1000θ32+1000θ44]
这样做的话，我们在尝试最小化代价函数时也需要将这个惩罚纳入考虑中，并最终导致选择较小一些的 θ 3 \theta_3 θ3 和 θ 4 \theta_4 θ4，对预测结果的影响就比之前要小许多。
如我们有非常多的特征，我们并不知道其中哪些特征要惩罚，那么将对所有的特征进行惩罚，并且让代价函数最优化的软件来选择这些惩罚的程度。这样的结果是得到了一个较为简单的能防止过拟合问题的假设：
J ( θ ) = 1 2 m [ ∑ i = 1 m ( h θ ( x ( i ) ) y ( i ) ) 2 + λ ∑ j = 1 n θ j 2 ] J(\theta)=\frac{1}{2m} \left[\sum_{i=1}^{m} (h_\theta(x^{(i)})y^{(i)})^2+\lambda\sum_{j=1}^{n}\theta_j^2\right] J(θ)=2m1[i=1∑m(hθ(x(i))y(i))2+λj=1∑nθj2]其中 λ \lambda λ 又称为正则化参数（Regularization Parameter）。 注：根据惯例，我们不对 θ 0 \theta_0 θ0 进行惩罚。经过正则化处理的模型与原模型的可能对比如下图所示：
如果选择的正则化参数 λ \lambda λ 过大，则会把所有的参数都最小化了，导致模型变成 h θ ( x ) = θ 0 h_\theta(x)=\theta_0 hθ(x)=θ0，也就是上图中红色直线所示的情况，造成欠拟合。
为什么增加一项 λ ∑ j = 1 n θ j 2 \lambda\displaystyle\sum_{j=1}^{n}\theta_j^2 λj=1∑nθj2 可以使 θ \theta θ 的值减小呢？因为如果我们令 λ \lambda λ 的值很大的话，为了使代价函数尽可能的小，所有 θ \theta θ 的值（不包括 θ 0 \theta_0 θ0）都会在一定程度上减小。
所以对于正则化，我们要取一个合理的 λ \lambda λ 值，这样才能更好的应用正则化。
2.1 正则化的线性回归
（Regularized Linear Regression）
对于线性回归的求解，之前推导了两种学习算法：
- 一种基于梯度下降
- 一种基于正规方程
2.1.1 基于梯度下降的正则化
正则化线性回归的代价函数为：
J ( θ ) = 1 2 m [ ∑ i = 1 m ( h θ ( x ( i ) ) y ( i ) ) 2 + λ ∑ j = 1 n θ j 2 ] J(\theta)=\frac{1}{2m} \left[\sum_{i=1}^{m} (h_\theta(x^{(i)})y^{(i)})^2+\lambda\sum_{j=1}^{n}\theta_j^2\right] J(θ)=2m1[i=1∑m(hθ(x(i))y(i))2+λj=1∑nθj2]如果我们要使用梯度下降法令这个代价函数最小化：
因为我们未对 θ 0 \theta_0 θ0进行正则化，所以梯度下降算法将分两种情形：
对上面的算法中 j = 1 , 2 , . . . , n j=1,2,...,n j=1,2,...,n 时的式子进行调整可得：
可以看出，正则化线性回归的梯度下降算法的变化在于：每次都在原有算法更新规则的基础上令 θ \theta θ 值减小到原来的 ( 1 − α 1 m ) (1-\alpha\frac{1}{m}) (1−αm1) 倍，通常学习率 α \alpha α 很小，样本数量 m m m 很大，因此 ( 1 − α 1 m ) < 1 (1-\alpha\frac{1}{m})<1 (1−αm1)<1
2.1.2 基于正规方程的正则化
已知正规方程可以求出使代价函数取得最小值的 θ \theta θ：
θ = ( X T X ) − 1 X T y θ=(X^TX)^{-1}X^Ty θ=(XTX)−1XTy加入正则化后，正规方程变为：
并且当 λ > 0 \lambda>0 λ>0 时，括号内的矩阵一定是可逆矩阵，因此运用正则化还可以解决某些情况下矩阵 X T X X^TX XTX不可逆的问题。
2.2 正则化的逻辑回归
（Regularized Logistic Regression）
逻辑回归的代价函数为：
给代价函数增加惩罚项后，其正则化的表达式为：
要最小化该代价函数，通过求导，得出梯度下降算法为：
注：看上去同线性回归一样，但是知道 h θ ( x ) = g ( θ T X ) h_θ(x)=g(\theta^TX) hθ(x)=g(θTX) ，所以与线性回归不同。
参考：
斯坦福大学2014机器学习教程中文笔记目录