卡尔曼滤波简介＋ 算法实现代码

最佳线性滤波理论起源于40年代美国科学家Wiener和前苏联科学家Ｋолмогоров等人的研究工作，后人统称为维纳滤波理论。从理论上说，维纳滤波的最大缺点是必须用到无限过去的数据，不适用于实时处理。为了克服这一缺点，60年代Kalman把状态空间模型引入滤波理论，并导出了一套递推估计算法，后人称之为卡尔曼滤波理论。卡尔曼滤波是以最小均方误差为估计的最佳准则，来寻求一套递推估计的算法，其基本思想是：采用信号与噪声的状态空间模型，利用前一时刻地估计值和现时刻的观测值来更新对状态变量的估计，求出现时刻的估计值。它适合于实时处理和计算机运算。

现设线性时变系统的离散状态防城和观测方程为：

X(k) = F(k,k-1)·X(k-1)+T(k,k-1)·U(k-1)

Y(k) = H(k)·X(k)+N(k)

其中

X(k)和Y(k)分别是k时刻的状态矢量和观测矢量

F(k,k-1)为状态转移矩阵

U(k)为k时刻动态噪声

T(k,k-1)为系统控制矩阵

H(k)为k时刻观测矩阵

N(k)为k时刻观测噪声

则卡尔曼滤波的算法流程为：

1. 
   
2. 预估计X(k)^= F(k,k-1)·X(k-1) 
   
3. 计算预估计协方差矩阵
   C(k)^=F(k,k-1)×C(k)×F(k,k-1)'+T(k,k-1)×Q(k)×T(k,k-1)'
   Q(k) = U(k)×U(k)' 
   
4. 计算卡尔曼增益矩阵
   K(k) = C(k)^×H(k)'×[H(k)×C(k)^×H(k)'+R(k)]^(-1)
   R(k) = N(k)×N(k)' 
   
5. 更新估计
   X(k)~=X(k)^+K(k)×[Y(k)-H(k)×X(k)^] 
   
6. 计算更新后估计协防差矩阵
   C(k)~ = [I-K(k)×H(k)]×C(k)^×[I-K(k)×H(k)]'+K(k)×R(k)×K(k)' 
   
7. X(k+1) = X(k)~
   C(k+1) = C(k)~
   重复以上步骤

其c语言实现代码如下：
C++实现代码如下：

============================ kalman.h ================================

//  kalman.h: interface for the kalman class.
//
/ /

#if  !defined(AFX_KALMAN_H__ED3D740F_01D2_4616_8B74_8BF57636F2C0__INCLUDED_)
#define  AFX_KALMAN_H__ED3D740F_01D2_4616_8B74_8BF57636F2C0__INCLUDED_

#if  _MSC_VER > 1000
#pragma once
#endif   //  _MSC_VER > 1000

#include  < math.h >
#include  " cv.h "

 

class  kalman  
{
public :
  void  init_kalman( int  x, int  xv, int  y, int  yv);
 CvKalman *  cvkalman;
 CvMat *  state; 
 CvMat *  process_noise;
 CvMat *  measurement;
  const  CvMat *  prediction;
 CvPoint2D32f get_predict( float  x,  float  y);
 kalman( int  x = 0 , int  xv = 0 , int  y = 0 , int  yv = 0 );
  // virtual ~kalman();


};

#endif   //  !defined(AFX_KALMAN_H__ED3D740F_01D2_4616_8B74_8BF57636F2C0__INCLUDED_)


============================ kalman.cpp ================================

#include  " kalman.h "
#include  < stdio.h >


/*  tester de printer toutes les valeurs des vecteurs */
/*  tester de changer les matrices du noises  */
/*  replace state by cvkalman->state_post ???  */


CvRandState rng;
const   double  T  =   0.1 ;
kalman::kalman( int  x, int  xv, int  y, int  yv)
{     
    cvkalman  =  cvCreateKalman(  4 ,  4 ,  0  );
    state  =  cvCreateMat(  4 ,  1 , CV_32FC1 );
    process_noise  =  cvCreateMat(  4 ,  1 , CV_32FC1 );
    measurement  =  cvCreateMat(  4 ,  1 , CV_32FC1 );
     int  code  =   - 1 ;
    
     /*  create matrix data  */
      const   float  A[]  =  { 
    1 , T,  0 ,  0 ,
    0 ,  1 ,  0 ,  0 ,
    0 ,  0 ,  1 , T,
    0 ,  0 ,  0 ,  1
  };
     
      const   float  H[]  =  { 
     1 ,  0 ,  0 ,  0 ,
     0 ,  0 ,  0 ,  0 ,
    0 ,  0 ,  1 ,  0 ,
    0 ,  0 ,  0 ,  0
  };
       
      const   float  P[]  =  {
    pow( 320 , 2 ), pow( 320 , 2 ) / T,  0 ,  0 ,
   pow( 320 , 2 ) / T, pow( 320 , 2 ) / pow(T, 2 ),  0 ,  0 ,
    0 ,  0 , pow( 240 , 2 ), pow( 240 , 2 ) / T,
    0 ,  0 , pow( 240 , 2 ) / T, pow( 240 , 2 ) / pow(T, 2 )
    };

      const   float  Q[]  =  {
   pow(T, 3 ) / 3 , pow(T, 2 ) / 2 ,  0 ,  0 ,
   pow(T, 2 ) / 2 , T,  0 ,  0 ,
    0 ,  0 , pow(T, 3 ) / 3 , pow(T, 2 ) / 2 ,
    0 ,  0 , pow(T, 2 ) / 2 , T
   };
   
      const   float  R[]  =  {
    1 ,  0 ,  0 ,  0 ,
    0 ,  0 ,  0 ,  0 ,
    0 ,  0 ,  1 ,  0 ,
    0 ,  0 ,  0 ,  0
   };
   
    
    cvRandInit(  & rng,  0 ,  1 ,  - 1 , CV_RAND_UNI );

    cvZero( measurement );
    
    cvRandSetRange(  & rng,  0 ,  0.1 ,  0  );
    rng.disttype  =  CV_RAND_NORMAL;

    cvRand(  & rng, state );

    memcpy( cvkalman -> transition_matrix -> data.fl, A,  sizeof (A));
    memcpy( cvkalman -> measurement_matrix -> data.fl, H,  sizeof (H));
    memcpy( cvkalman -> process_noise_cov -> data.fl, Q,  sizeof (Q));
    memcpy( cvkalman -> error_cov_post -> data.fl, P,  sizeof (P));
    memcpy( cvkalman -> measurement_noise_cov -> data.fl, R,  sizeof (R));
     // cvSetIdentity( cvkalman->process_noise_cov, cvRealScalar(1e-5) );    
     // cvSetIdentity( cvkalman->error_cov_post, cvRealScalar(1));
  // cvSetIdentity( cvkalman->measurement_noise_cov, cvRealScalar(1e-1) );

     /*  choose initial state  */

    state -> data.fl[ 0 ] = x;
    state -> data.fl[ 1 ] = xv;
    state -> data.fl[ 2 ] = y;
    state -> data.fl[ 3 ] = yv;
    cvkalman -> state_post -> data.fl[ 0 ] = x;
    cvkalman -> state_post -> data.fl[ 1 ] = xv;
    cvkalman -> state_post -> data.fl[ 2 ] = y;
    cvkalman -> state_post -> data.fl[ 3 ] = yv;

 cvRandSetRange(  & rng,  0 , sqrt(cvkalman -> process_noise_cov -> data.fl[ 0 ]),  0  );
    cvRand(  & rng, process_noise );


    }

     
CvPoint2D32f kalman::get_predict( float  x,  float  y){
    

     /*  update state with current position  */
    state -> data.fl[ 0 ] = x;
    state -> data.fl[ 2 ] = y;

    
     /*  predict point position  */
     /*  x'k=A鈥k+B鈥k
       P'k=A鈥k-1*AT + Q  */
    cvRandSetRange(  & rng,  0 , sqrt(cvkalman -> measurement_noise_cov -> data.fl[ 0 ]),  0  );
    cvRand(  & rng, measurement );
    
      /*  xk=A?xk-1+B?uk+wk  */
    cvMatMulAdd( cvkalman -> transition_matrix, state, process_noise, cvkalman -> state_post );
    
     /*  zk=H?xk+vk  */
    cvMatMulAdd( cvkalman -> measurement_matrix, cvkalman -> state_post, measurement, measurement );
    
     /*  adjust Kalman filter state  */
     /*  Kk=P'k鈥T鈥?H鈥'k鈥T+R)-1
       xk=x'k+Kk鈥?zk-H鈥'k)
       Pk=(I-Kk鈥)鈥'k  */
    cvKalmanCorrect( cvkalman, measurement );
     float  measured_value_x  =  measurement -> data.fl[ 0 ];
     float  measured_value_y  =  measurement -> data.fl[ 2 ];

    
  const  CvMat *  prediction  =  cvKalmanPredict( cvkalman,  0  );
     float  predict_value_x  =  prediction -> data.fl[ 0 ];
     float  predict_value_y  =  prediction -> data.fl[ 2 ];

     return (cvPoint2D32f(predict_value_x,predict_value_y));
}

void  kalman::init_kalman( int  x, int  xv, int  y, int  yv)
{
 state -> data.fl[ 0 ] = x;
    state -> data.fl[ 1 ] = xv;
    state -> data.fl[ 2 ] = y;
    state -> data.fl[ 3 ] = yv;
    cvkalman -> state_post -> data.fl[ 0 ] = x;
    cvkalman -> state_post -> data.fl[ 1 ] = xv;
    cvkalman -> state_post -> data.fl[ 2 ] = y;
    cvkalman -> state_post -> data.fl[ 3 ] = yv;
}

 

#include "stdlib.h"
  #include  "rinv.c"
   int  lman(n,m,k,f,q,r,h,y,x,p,g)
  int  n,m,k;
  double  f[],q[],r[],h[],y[],x[],p[],g[];
   { int i,j,kk,ii,l,jj,js;
    double *e,*a,*b;
    e=malloc(m*m*sizeof(double));
    l=m;
    if (l<n) l=n;
    a=malloc(l*l*sizeof(double));
    b=malloc(l*l*sizeof(double));
    for (i=0; i<=n-1; i++)
      for (j=0; j<=n-1; j++)
        { ii=i*l+j; a[ii]=0.0;
          for (kk=0; kk<=n-1; kk++)
            a[ii]=a[ii]+p[i*n+kk]*f[j*n+kk];
        }
    for (i=0; i<=n-1; i++)
      for (j=0; j<=n-1; j++)
        { ii=i*n+j; p[ii]=q[ii];
          for (kk=0; kk<=n-1; kk++)
            p[ii]=p[ii]+f[i*n+kk]*a[kk*l+j];
        }
    for (ii=2; ii<=k; ii++)
      { for (i=0; i<=n-1; i++)
        for (j=0; j<=m-1; j++)
          { jj=i*l+j; a[jj]=0.0;
            for (kk=0; kk<=n-1; kk++)
              a[jj]=a[jj]+p[i*n+kk]*h[j*n+kk];
          }
        for (i=0; i<=m-1; i++)
        for (j=0; j<=m-1; j++)
          { jj=i*m+j; e[jj]=r[jj];
            for (kk=0; kk<=n-1; kk++)
              e[jj]=e[jj]+h[i*n+kk]*a[kk*l+j];
          }
        js=rinv(e,m);
        if (js==0) 
          { free(e); free(a); free(b); return(js);}
        for (i=0; i<=n-1; i++)
        for (j=0; j<=m-1; j++)
          { jj=i*m+j; g[jj]=0.0;
            for (kk=0; kk<=m-1; kk++)
              g[jj]=g[jj]+a[i*l+kk]*e[j*m+kk];
          }
        for (i=0; i<=n-1; i++)
          { jj=(ii-1)*n+i; x[jj]=0.0;
            for (j=0; j<=n-1; j++)
              x[jj]=x[jj]+f[i*n+j]*x[(ii-2)*n+j];
          }
        for (i=0; i<=m-1; i++)
          { jj=i*l; b[jj]=y[(ii-1)*m+i];
            for (j=0; j<=n-1; j++)
              b[jj]=b[jj]-h[i*n+j]*x[(ii-1)*n+j];
          }
        for (i=0; i<=n-1; i++)
          { jj=(ii-1)*n+i;
            for (j=0; j<=m-1; j++)
              x[jj]=x[jj]+g[i*m+j]*b[j*l];
          }
        if (ii<k)
          { for (i=0; i<=n-1; i++)
            for (j=0; j<=n-1; j++)
              { jj=i*l+j; a[jj]=0.0;
                for (kk=0; kk<=m-1; kk++)
                  a[jj]=a[jj]-g[i*m+kk]*h[kk*n+j];
                if (i==j) a[jj]=1.0+a[jj];
              }
            for (i=0; i<=n-1; i++)
            for (j=0; j<=n-1; j++)
              { jj=i*l+j; b[jj]=0.0;
                for (kk=0; kk<=n-1; kk++)
                  b[jj]=b[jj]+a[i*l+kk]*p[kk*n+j];
              }
            for (i=0; i<=n-1; i++)
            for (j=0; j<=n-1; j++)
              { jj=i*l+j; a[jj]=0.0;
                for (kk=0; kk<=n-1; kk++)
                  a[jj]=a[jj]+b[i*l+kk]*f[j*n+kk];
              }
            for (i=0; i<=n-1; i++)
            for (j=0; j<=n-1; j++)
              { jj=i*n+j; p[jj]=q[jj];
                for (kk=0; kk<=n-1; kk++)
                  p[jj]=p[jj]+f[i*n+kk]*a[j*l+kk];
              }
          }
      }
    free(e); free(a); free(b);
    return(js);
  }