【博弈论】Nim游戏:台阶、集合、拆分(AcWing)

AcWing 891. Nim游戏

参考:
AcWing 891. Nim游戏
AcWing 891. Nim游戏题解:文字部分来自这里
异或的含义

公平组合游戏

若一个游戏满足:

  1. 由两名玩家交替行动
  2. 在游戏进行的任意时刻,可以执行的合法行动与轮到哪位玩家无关
  3. 不能行动的玩家判负

则称该游戏为一个公平组合游戏

尼姆游戏(NIM)属于公平组合游戏,但常见的棋类游戏,比如围棋就不是公平组合游戏,因为围棋交战双方分别只能落黑子和白子,胜负判定也比较负责,不满足条件2和3。

必胜状态和必败状态

在解决这个问题之前,先来了解两个名词:
必胜状态,先手进行某一个操作,留给后手是一个必败状态时,对于先手来说是一个必胜状态。即先手可以走到某一个必败状态。
必败状态,先手无论如何操作,留给后手都是一个必胜状态时,对于先手来说是一个必败状态。即先手走不到任何一个必败状态。

结论与证明

假设n堆石子,石子数目分别是a1,a2,…,an,如果a1⊕a2⊕…⊕an≠0,先手必胜;否则先手必败。

结论的证明

已知:

  1. 当没有石子可以拿,即所有石子个数都是0,有0 ^ 0 ^ 0……^ 0=0;(终点)
  2. 当还有石子可以拿,假设剩下的石子的异或值为x,有a1 ^ a2 ^ a3 …… ^ax =x!=0;

要证明上面的结论,也就是要证明:若在第二种情况,我们一定可以通过拿走若干石子让剩下的异或值变成0;

假设x的二进制表示中,最高的一个1在第k位。则a1~an中必然存在一个数ai的二进制表示的第k位是1。
那么x ^ ai < ai(因为它们的第k位都是1,异或之后第k位就变成0了)。
则我们可以 拿走ai - (ai ^ x) 个石子,使得第i堆还剩下ai ^ x个石子。此时,剩下的石子的异或值为:a1 ^ a2 ^ …… ^ ai ^ x ^… ^an=x ^ x=0;(从a1异或到an等于x,再异或一个x——异或满足交换律与结合律)。

于是我们就证明了:若在第二种情况,我们一定可以通过拿走若干石子让剩下的异或值变成0;

看起来更清晰专业的证明:
【博弈论】Nim游戏:台阶、集合、拆分(AcWing)_第1张图片
因此,先手必胜要求初始石子的异或值不为0,然后他拿了之后才变成0,后手没法操作了,先手必胜。

代码

#include
using namespace std;
#define ll long long
#define fir(i,a,n) for(int i=a;i<=n;i++)
const int N=1e5+10;
int n;
int main()
{
	cin>>n;
	int ans=0;
	while(n--)
	{
		int t;cin>>t;ans^=t;
	}
	if(ans) puts("Yes");
	else puts("No");
	return 0;
}

AcWing 892. 台阶-Nim游戏

AcWing 892. 台阶-Nim游戏

结论:当先手奇数台阶上的值异或值为0,则先手必败。反之必胜。

证明:
看的这个题解,非常清晰
有上面题目的铺垫,应该很好理解。
【博弈论】Nim游戏:台阶、集合、拆分(AcWing)_第2张图片
代码:

#include
using namespace std;
#define fir(i,a,n) for(int i=a;i<=n;i++)
const int N=1e5+10;
int n;
int main()
{
	int ans=0;
	cin>>n;
	fir(i,1,n)
	{
		int t;cin>>t;
		if(i%2)
		{
			ans^=t;
		}
	}
	if(ans) cout<<"Yes";
	else cout<<"No";
	return 0;
}

AcWing 893. 集合-Nim游戏

AcWing 893. 集合-Nim游戏
灰之魔女大佬的题解:AcWing 893. 集合-Nim游戏
Anoxia_3大佬的题解

先了解几个概念:
Mex运算

设S表示一个非负整数集合.定义mex(S)为求出不属于集合S的最小非负整数运算,即: mes(S)=min{x};

例如:

S={0,1,2,4},那么mes(S)=3;
S={1,2,4},那么mes(S)=0;

SG函数

在有向图游戏中,对于每个节点x,设从x出发共有k条有向边,分别到达节点y1,y2,····yk,定义SG(x)的后记节点y1,y2,····
yk的SG函数值构成的集合在执行mex运算的结果,即: SG(x)=mex({SG(y1),SG(y2)····SG(yk)})
特别地,整个有向图游戏G的SG函数值被定义为有向图游戏起点s的SG函数值,即 SG(G)=SG(s).

性质:

1.SG(i)=k,则i最大能到达的点的SG值为k−1
2.非0可以走向0
3.0只能走向非0

定理
若先手的SG状态非0,则先手必胜。

证明:
已知终点的SG值为0.
若先手SG非0,则它肯定可以一顿操作使SG变为0,此时到了后手。后手无论怎么操作都是从0到非0,也就是说,先手SG总会是非0,后手SG总会是0。
因此先手SG非0则先手必胜。

更严谨的证明:来自Anoxia_3大佬的题解
【博弈论】Nim游戏:台阶、集合、拆分(AcWing)_第3张图片
有向图游戏的和

设G1,G2,····,Gm是m个有向图游戏.定义有向图游戏G,他的行动规则是任选某个有向图游戏Gi,并在Gi上行动一步.G被称为有向图游戏G1,G2,·····,Gm的和.
有向图游戏的和的SG函数值等于它包含的各个子游戏SG函数的异或和,即: SG(G)=SG(G1)xorSG(G2)xor···xorSG(Gm)

定理:(SG函数的终极意义)
对于n个图,如果SG(G1) ^ SG(G2) ^ … SG(Gn)!=0 ,则先手必胜,反之必败
证明:(来自上面的链接,与NIM游戏证明方式一样)
【博弈论】Nim游戏:台阶、集合、拆分(AcWing)_第4张图片

对于这道题:
假设有一堆石子,10个,每次只能拿S={2,5}个,那么这一张图的SG值为:(红色的是SG值)
【博弈论】Nim游戏:台阶、集合、拆分(AcWing)_第5张图片
如果有n堆石子,那其实就是n个有向图。

代码:

#include
using namespace std;
#define fir(i,a,n) for(int i=a;i<=n;i++)
const int N=1e5+10;
int n,m;
int f[N];//判断这个状态是否搜过 
int a[105];//集合 
int sg(int x)
{
	if(f[x]!=-1) return f[x];
	
	unordered_set<int>s;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		if(x>=a[i]) s.insert(sg(x-a[i]));		
	}
	for(int i=0;;i++)
	{
		if(s.count(i)==0) 
		{
			return f[x]=i;
		}
	}
}
int main()
{
	cin>>n;
	fir(i,1,n) cin>>a[i];
	memset(f,-1,sizeof(f));
	int ans=0;
	cin>>m;
	while(m--)
	{
		int x;cin>>x;
		ans^=sg(x);
	}
	if(ans) puts("Yes");
	else puts("No");
	return 0;
}

y总的带有注释的代码:来自Anoxia_3大佬的题解

#include 
#include 
#include 

using namespace std;

const int N = 110 , M = 10010;

int n , m;
int s[N] , f[M];

int sg(int x)
{
    if(f[x] != -1) return f[x];//记忆化搜索,如果f[x]已经被计算过,则直接返回

    // 因为这题中较大堆的拆分情况独立于较小堆,因此有别于894.拆分-Nim,这里的S必须开成局部变量
    unordered_set<int> S;//用一个哈希表来存每一个局面能到的所有情况,便于求mex

    for(int i = 0 ; i < m ; i++)
        if(x >= s[i]) S.insert(sg(x - s[i]));//如果可以减去s[i],则添加到S中

    for(int i = 0 ; ; i++)//求mex(),即找到最小并不在原集合中的数
        if(!S.count(i)) return f[x] = i;

}

int main()
{
    cin >> m;
    for(int i = 0 ; i < m ; i++)    cin >> s[i];

    memset(f , -1 , sizeof f);

    cin >> n;
    int res = 0;
    while(n--)
    {
        int x;
        cin >> x;
        res ^= sg(x);
    }


    if(res) puts("Yes");
    else puts("No");
    return 0;
}

AcWing 894. 拆分-Nim游戏

AcWing 894. 拆分-Nim游戏
Anoxia_3的题解

拆分Nim与集合Nim的联系:
【博弈论】Nim游戏:台阶、集合、拆分(AcWing)_第6张图片
代码:

#include
using namespace std;
#define ll long long
#define fir(i,a,n) for(int i=a;i<=n;i++)
const int N=1e5+10;
int n,f[N];
unordered_set<int>s;
int sg(int x)
{
	if(f[x]!=-1) return f[x];
	
	for(int i=0;i<x;i++)
		for(int j=0;j<=i;j++)
		{
			s.insert(sg(i)^sg(j));
		}
	
	for(int i=0;;i++)
		if(s.count(i)==0)		
			return f[x]=i;
		
}
int main()
{
	cin>>n;
	memset(f,-1,sizeof(f));
	int ans=0;
	for(int i=0;i<n;i++)
	{
		int x;cin>>x;
		ans^=sg(x);
	}
	if(ans) puts("Yes");
	else puts("No");
	return 0;
}

关于拆分为什么是:

for(int i=0;i<x;i++)
		for(int j=0;j<=i;j++)

而不是找i与x-i的理解:
假设x为10,那么会出现0与10,也会出现1与9…小于10的每个数字都会出现,且10拆分成1与9后,又要对9进行拆分…再对8、7、6等拆分,所以要双层循环把所有可能都遍历一遍。
也就是说,循环中会遍历到i=0和j=0,是因为10拆分成0和10后会再对0拆分,而不是0+0=10的缘故。

你可能感兴趣的:(做题与算法总结,我的ACM之路,算法)