层次分析法及matlab代码

数学建模算法（一）

层次分析法 The analytic hierarchy process(AHP)

【清风数学建模课程笔记】

主要用于解决评价类问题，确定一些评价指标，并为每个指标定权重（和为1）

**（同颜色的单元格和为1）**

解决评价类问题的一般步骤：

1. 评价的目标（题目提取）

2. 可选方案有哪些

3. 评价的准则/指标（根据背景材料、常识以及网上搜集到的一些文献、论文）

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层次分析法的过程：

• 两个两个指标进行比较，最终根据两两比较的结果来推算出权重
  

• 判断矩阵是一个正互反矩阵，根据判断矩阵去推算指标的权重

• 填写其它的判断矩阵，并计算权重

• 不一致的情况
  

• 一致矩阵：各行/各列之间成倍数关系，说明一致矩阵有一个特征值为n，其余特征值均为0

$$a_{ij}\times a_{jk}=a_{ik}$$

• 在使用判断矩阵求权重之前，必须对其进行一致性检验（检验我们构造的判断矩阵与一致矩阵是否有太大的差别）复习特征值和特征向量

  • 矩阵A为一致矩阵的充要条件为

    • $$\begin{gathered} a_{ij}>0; \\ {a}_{11}=a_{22}=...=a_{nn}=1; \\ [a_{i1},a_{i2},a_{i3},...,a_{in}]=k[a_{l1},a_{l2},a_{l3},...,a_{ln}] \end{gathered}$$

  • 引理：A为n阶方阵，且r(A) = 1，则A有一个特征值为tr(A)=n，其余特征值均为0

  • 另外，我们很容易得到，当特征值为n时，对应的特征向量刚好为（这个可以自己算出来，就是齐次线性方程组的基础解系）
    $$k[\frac{1}{a_{11}},\frac{1}{a_{12}},...,\frac{1}{a_{1n}}](k\ne 0)=k[a_{11},a_{21},...,a_{n1}](k\ne 0)$$

  • 引理：当n阶正互反矩阵非一致时，最大特征值一定满足：
    $${\lambda }_{max}>n$$
    且判断矩阵越不一致时，最大特征值与n相差就越大，如下图。

一致性检验的步骤：

1. 计算一致性指标CI
   $$CI=\frac{{\lambda }_{max}-n}{n-1}$$

2. 查找对应的平均随机一致性指标RI（这个东西用到了随机抽样、蒙特卡罗模拟等等，比较复杂，有兴趣自己查资料）

   n	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
   RI	0	0	0.52	0.89	1.12	1.26	1.36	1.41	1.46	1.49	1.52	1.54	1.56	1.58	1.59

   注：实际运用中，n很少超过10，如果指标的个数大于10，则可考虑建立二级指标体系

3. 计算一致性比例CR
   $$CI=\frac{CI}{RI}$$
   注：如果CR<0.1，则可认为判断矩阵的一致性可以接受；否则需要对判断矩阵进行修正

计算权重？

一致矩阵：归一化处理（一致矩阵权重就是特征向量）

判断矩阵

方法一：算数平均法

1. 按照列归一化：用每一列的数据计算权重，得到n组权重数据
2. 将归一化的各列相加（按行求和）
3. 将相加后得到的向量中每个元素除以n：算数平均法求权重

方法二：几何平均法

1. 将A的元素按照行相乘得到一个新的列向量
2. 将新的向量的每个分量开n次方
3. 对该向量进行归一化可以得到权重向量

方法三：特征值法求权重（一般用这个）

假如我们的判断矩阵一致性可以接受，那么我们可以仿照一致矩阵权重的求法。（一致矩阵权重就是特征向量）

1. 求出矩阵A的最大特征值以及其对应的特征向量
2. 对求出的特征向量进行归一化即可得到我们的权重

将计算所得的权重填入权重表中并计算得分

用Excel，可以按F4锁定单元格

层次分析法具体讲解

1. 分析系统中各因素的关系，建立系统的递阶层次结构（要把层次结构图放在论文里面，目标层-准则层-方案层，可以用smartart但是很丑，用visio吧，或者亿图/draw.io）
   

2. 构造判断矩阵（就直接给……不要说自己是哪里来的）

   例如：准则层—方案层的判断矩阵的数值要结合实际来填写，如果题目中有其他数据，可以考虑利用这些数据进行计算。有一个指标是交通安全程度，现在要比较开放小区、半开放小区和封闭小区，而且你收集到了这些小区车流量的数据（搜集资料），那么就可以根据这个数据进行换算作为你的判断矩阵。
   

3. 由判断矩阵计算被比较元素对于该准则的相对权重，并进行一致性检验（检验通过权重才能用）。为了保证模型的稳健性，可以用三种方法算然后打平均。

   注意：

   • 一致矩阵不需要进行一致性检验，只有非一致矩阵的判断矩阵才需要进行一致性检验；
   • 在论文写作中，应该先进行一致性检验，通过检验后再计算权重，视频中讲解的只是为了顺应计算过程。
   • CR>0.1时如何修正？ 直接往各行各列成比例的方向上调
   • 加上一段话：以往的论文利用层次分析法解决实际问题时，都是采用其中某一种方法求权重，而不同的计算方法可能会导致结果有所偏差。为了保证结果的稳健性，本文采用了三种方法分别求出了权重后计算平均值，再根据得到的权重矩阵计算各方案的得分，并进行排序和综合分析，这样避免了采用单一方法所产生的偏差，得出的结论将更全面、更有效。

层次分析法的局限性

1. 评价的决策层不能太多，太多的话n会很大，判断矩阵和一致矩阵差异
   可能会很大。
2. 如果决策层中指标的数据是已知的，那么我们如何利用这些数据来使得
   评价的更加准确呢？（有了数据之后再自己填的话就不客观了）

模型拓展

Matlab代码详解

知识点：

1. Matlab基本的小常识
   分号的作用、注释的快捷键、clc和clear、disp和input
2. sum函数
3. Matlab中如何提取矩阵中指定位置的元素？
4. size函数
5. repmat函数
6. Matlab中矩阵的运算(加点和不加点)
7. Matlab中求特征值和特征向量
8. find函数的基本用法
9. 矩阵与常数的大小判断运算
10. 判断和循环语句

注意以下几点：

1. 在论文写作中，应该先对判断矩阵进行一致性检验，然后再计算权重，因为只有判断矩阵通过了一致性检验，其权重才是有意义的。但在下面的代码中，我们先计算了权重，然后再进行了一致性检验，这是为了顺应计算过程，事实上在逻辑上是说不过去的。
2. 论文中如果用到了层次分析法，一定要先对判断矩阵进行一致性检验。
3. 而且要说明的是，只有非一致矩阵的判断矩阵才需要进行一致性检验。如果你的判断矩阵本身就是一个一致矩阵，那么就没有必要进行一致性检验。

输入判断矩阵

注意：判断矩阵的每个元素都是1~9或者它们的倒数

clear;clc
A =[1 1 4 1/3 3;
 	1 1 4 1/3 3;
 	1/4 1/4 1 1/3 1/2;
 	3 3 3 1 3;
 	1/3 1/3 2 1/3 1]
% matlab矩阵有两种写法，可以直接写到一行:
% [1 1 4 1/3 3;1 1 4 1/3 3;1/4 1/4 1 1/3 1/2;3 3 3 1 3;1/3 1/3 2 1/3 1]
% 也可以写成多行:
% 两行之间以分号结尾（最后一行的分号可加可不加），同行元素之间以空格（或者逗号）分开。

使用算术平均法求权重

% 第一步：将判断矩阵按照列归一化（每一个元素除以其所在列的和）
Sum_A = sum(A)

n = size(A,1)
% 因为我们的判断矩阵A是一个方阵，所以这里的r和c相同，我们可以就用同一个字母n表示
SUM_A = repmat(Sum_A,n,1)   
clc;A
SUM_A
Stand_A = A ./ SUM_A

% 第二步：将归一化的各列相加(按行求和)
sum(Stand_A,2)

% 第三步：将相加后得到的向量中每个元素除以n即可得到权重向量
disp('算术平均法求权重的结果为：');
disp(sum(Stand_A,2) ./ n)

其它替代语句

% 将列和重复5行的其它方法：
    SUM_A = [];
    for i = 1:n   %这一行后面不能加冒号（和Python不同），这里表示循环n次
        SUM_A = [SUM_A; Sum_A]
    end

使用几何平均法求权重

% 第一步：将A的元素按照行相乘得到一个新的列向量
clc;A
Prduct_A = prod(A,2)
% prod函数和sum函数类似，一个用于乘，一个用于加  dim = 2 维度是行

% 第二步：将新的向量的每个分量开n次方
Prduct_n_A = Prduct_A .^ (1/n)

% 第三步：对该列向量进行归一化即可得到权重向量
disp('几何平均法求权重的结果为：');
disp(Prduct_n_A ./ sum(Prduct_n_A))

使用特征值法求权重

% 第一步：求出矩阵A的最大特征值以及其对应的特征向量
clc
[V,D] = eig(A)   
%V是特征向量, D是由特征值构成的对角矩阵（除了对角线元素外，其余位置元素全为0）
Max_eig = max(max(D))
%max(D)是求出每列的最大值，输出一个1行n列的矩阵
%可以直接写成max(D(:))

[r,c] = find(D == Max_eig , 1)
% D == Max_eig返回的是一个逻辑矩阵，此语句找到D中第一个与最大特征值相等的元素的位置，记录它的行和列。

% 第二步：对求出的特征向量V(:,c)进行归一化即可得到我们的权重
disp('特征值法求权重的结果为：');
disp( V(:,c) ./ sum(V(:,c)) )

一致性检验

clc
CI = (Max_eig - n) / (n-1);
RI=[0 0 0.52 0.89 1.12 1.26 1.36 1.41 1.46 1.49 1.52 1.54 1.56 1.58 1.59];  
%注意，这里的RI最多支持 n = 15
CR=CI/RI(n);
disp('一致性指标CI=');disp(CI);
disp('一致性比例CR=');disp(CR);
if CR<0.10
    disp('因为CR < 0.10，所以该判断矩阵A的一致性可以接受!');
else
    disp('注意：CR >= 0.10，因此该判断矩阵A需要进行修改!');
end

写在最后：

如何修改代码避免查重的方法