数字信号处理——FFT运算模块设计（1）

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目录​​​​​​​

引言

FFT理论

基2 DIT-FFT 算法

基于FPGA的设计方法分析

数据存储分析

顺序与倒序

R2 DIT-FFT算法特点

同址运算

蝶形运算独立性

蝶形运算的间距变化规律

旋转因子变化规律

FFT处理器分析

参考声明

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引言

FFT，DFT的快速算法，在如今数字信号处理领域有着重要的应用。XILINX 有自己的IP CORE 产品：Fast Fourier Transform (9.1)，之前有一个付费专栏中的其中一篇博文着重介绍了该IP CORE的配置使用。链接：

FFT IP核 使用教程 （源码）https://blog.csdn.net/qq_43045275/article/details/120287088但是 IP CORE 毕竟只是人家的，我还是一无所有。想自己从原理出发，自己写一个FFT运算模块。所以就有了这个博客系列。

本文主要介绍 FFT算法的理论 以及 FFT运算模块在FPGA实现时用到的结构。后续博文会给出具体详细的设计、仿真源码。

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FFT理论

众所周知，FFT是DFT的快速算法，本质还是DFT的计算。序列X【n】的DFT X【k】为：

直接计算X【k】的运算量过大，需要4*N^2 次实数乘法，N(4N-2)次实数加法。可以利用旋转因子的对称性和周期性来降低运算量：

基2 DIT-FFT 算法

按时间抽取的基2FFT算法，基本思想就是将DFT计算的过程按照时间将序列分成奇偶各一半，进行DFT计算。具体的推导过程就不再赘述，不了解的可以看下参考【1】。此处直接给出结论：

其中，G【k】是原序列偶数点的N/2点DFT，H【k】是原序列奇数点的N/2点DFT。其对应的蝶形结构：

以16点序列的FFT为例，其结果可以由2个8点的FFT组合算出，而1个8点FFT又可以由2个4点FFT组合算出，1个4点的FFT可以由2个2点的FFT组合算出。即，不论是几点的FFT，其结果都可以由最基本的2点FFT计算得出。而最基本的两点FFT的蝶形：

以 8 点FFT为例，其蝶形结构（信号流图）：

基于FPGA的设计方法分析

数据存储分析

每一个蝶形运算需要两个输入数据和一个旋转因子，这三个数据是要同时给到的。因此，需要3个RAM来存储对应的运算数据。以8点FFT运算为例，旋转因子有4个（即需要），输入数据一共为8个，分两路并行RAM存储，则需要深度为4的两个RAM。即，总的需要3个深度为4的RAM来存储操作数和运算结果（同址运算）。

顺序与倒序

其实不论是DIT-FFT还是DIF-FFT都可以选择顺序输入或是倒序输入，而输出就刚好反过来。但是一般我们的使用都会要求输出计算结果为顺序。那么就要求蝶形运算的第一级输入数据必须为倒序输入。即如上图所示。（以8点FFT为例）

那这样的话就剩下一个问题，待运算序列在存入RAM时按照顺序地址输入就要按照倒序地址读出，如果按照倒序地址存入就要按照顺序地址读出。当然了，这两种思路都可以没啥问题，本文就按照后者进行后面的介绍，即倒序地址存入，顺序地址读出。

此处可以用计数器对时间轴进行计数，0-7，然后在存入时将计数器的数值倒序后，作为RAM存入的地址进行写入，然后读出时就按照顺序地址计数进行读取。

R2 DIT-FFT算法特点

同址运算

每一级蝶形运算的运算结果仍然存储在与输入数据相同的地址空间。从信号的信号流图中就可以清晰地看到，每条信号流图的支路都是和输入数据在一条直线上。

蝶形运算独立性

1、每个蝶形运算的输入数据仅仅对本次蝶形运算有效，不受其他蝶形运算的影响。

2、同一级的蝶形运算没有先后之分。

蝶形运算的间距变化规律

每级蝶形运算的两个输入端地址距离都相同，不同级之间的变化关系：

p为蝶形运算的级数，取值范围：0~log2N

旋转因子变化规律

第k级蝶形运算，对应存在2^k个旋转因子。k为蝶形运算的级数，取值范围：0~log2N

FFT处理器分析

以8点序列FFT为例进行分析。

旋转因子按照如下的顺序存放：

各级操作数按地址的取用规律：

 按照上面讲到的，蝶形运算具有独立性，同一级的蝶形运算顺序没有先后之分，因此可以对旋转因子的取用稍做如下改动，减少RAM的读取次数：

 对于16点FFT运算：

上图同颜色（地址）的旋转因子可以在一起操作，减小RAM的读取频率。

由于蝶形运算同时需要两个输入数据，这就需要从两个不同的地址空间取数，也就需要预先将Ⅳ个数据存入两个不同的单端口RAM 中，每个RAM有N/2个数据。对于8点FFT，数据按照时间顺序送入，存储的地址规律：

 两个RAM的存储地址生成：

 两个RAM存储数据的情况：

FFT运算过程中，数据和地址变化规律：

 操作数地址变化规律：

 旋转因子的地址变化：

算法流程：

 

文献【2】给出了基于FPGA的FFT设计思路（FSM）

状态编码：

信号说明：

状态转移图：

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后续文章，也将参考这种思路进行实现，可能具体的实现细节有所不同。 

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参考声明

【1】钱玲，谷亚林，王海青.数字信号处理.北京：电子工业出版社，2018.

【2】高亚军.基于FPGA的数字信号处理.（部分图片取自或参考该文献）