高数(下) 第八章：空间解析集合与向量代数

Ch8. 向量代数与空间解析几何

8.1 向量、向量的线性运算

两向量共线，线性相关
三向量共面，线性相关

8.2 数量积、向量积、混合积

1.数量积：分量对应相乘
2.向量积
3. 混合积

8.3 平面及其方程

点到平面的距离公式

$$d=\frac{|A{x}_0+B{y}_0+C{z}_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$$

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例题：06年4.

分析：$d=\frac{|A{x}_0+B{y}_0+C{z}_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}=\frac{3\times 2+4\times 1}{\sqrt{3^2+4^2+5^2}}=\frac{10}{\sqrt{50}}=\frac{10}{5\sqrt{2}}=\sqrt{2}$

答案：$\sqrt{2}$

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8.4 空间直线、直线方程

点向式(对称式)方程

参数方程

8.5 空间曲面、曲面方程

二次曲面

椭圆锥面

椭圆锥面：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=z^2$

圆锥面：$z^2=x^2+y^2$

旋转抛物面

椭圆抛物面：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=z$

旋转抛物面：$z=x^2+y^2$

单叶双曲面：花瓶

单叶双曲面：单负号：
$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1$

$x^2+y^2-z^2=1$

单叶双曲面和双叶双曲面都是由双曲线x²-y²=1旋转得来。单叶是绕(双曲线之间的那根轴)y轴旋转，双叶是绕(贯穿两根双曲线的那根轴)x轴旋转。

双叶双曲面：两个碗

双叶双曲面，双负号：
$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1$

$x^2+y^2-z^2=-1$

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例题：16年06.  二次型与二次曲面

分析：二次型对应矩阵的特征值为5，-1，-1。对应于双叶双曲面的系数。

f>0，单叶系数2正1负，双叶系数1正2负

答案：B

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