线性代数——矩阵运算与矩阵的秩

    # 个人复习用，来源于2022张宇考研九讲

求A${}^n$

A为方阵且秩为1（元素不全为0）

$A^n=({\alpha }^T\beta )({\alpha }^T\beta )...({\alpha }^T\beta )=(\beta {\alpha }^T{)}^{n-1}A=tr(A{)}^{n-1}A={\sum }_{i=1}^n{a}_{ii}A$

试算A${}^2，A^3$，找规律

• $A^2=kA$（若k=1，则A必定可以相似对角化）
• $A^2=E$（凡是这种情况，A必定可以相似对角化）

A=B+C且BC=CB

则可得$A^{=}(B+C{)}^n=B^n+n{B}^{n-1}C+\frac{n(n-1)}{2!}{B}^{n-2}{C}^2+...+C^n$

• 若B=E，则$A^{=}(B+C{)}^n=E+nC+\frac{n(n-1)}{2!}{C}^2+...+C^n$
• 若BC=CB=0，则$A^{=}(B+C{)}^n=B^n+C^n$

利用处等矩阵求$P_1^{m}A{P}_2^n$

若$P_1,P_2$均是初等矩阵，m、n为正整数，则上式说明A做了m轮行变换与n轮列变换
初等矩阵作用在左边，将矩阵视为行向量矩阵，右边则视为列向量矩阵

使用相似理论求

• 若矩阵A~B，即$P^{-1}AP=B$,所以$A=PB{P}^{-1}$，$A^n=P{B}^n{P}^{-1}$
• 若矩阵A~$\Lambda$，即$P^{-1}AP=\Lambda$,所以$A=P\Lambda P^{-1}$，$A^n=P{\Lambda }^n{P}^{-1}$

步骤：

1. 求出特征值${\lambda }_i$（即求解$|\lambda E-A|=0$）
2. 求出对应特征向量${\xi }_i$（即求出$(\lambda E-A)x=0$的非零向量解，共n个线性无关的向量解，对于每个特征值，对应矩阵的阶-秩即可得到此方程可得到的线性无关解的数量）
3. 给出对应的可逆矩阵P=$({\xi }_1,{\xi }_2,...,{\xi }_n)$，则对应有$P^{-1}AP=\Lambda$

求$A^{-1}$

$A^{\ast }$

定义

每个元素对应的代数余子式结果放到对应位置后转置
因此存在$A{A}^{\ast }=A^{\ast }A=|A|E$

公式

设A为大于等于n阶的可逆矩阵，则

• $A{A}^{\ast }=A^{\ast }A=|A|E$,即定义
• $|A^{\ast }|=|A{|}^{n-1}$，第一个公式同时取行列式即可得到结果
• $(A^T{)}^{\ast }=(A^{\ast }{)}^T$，求逆求转置求伴随三个计算可交换
• $(kA{)}^{\ast }=k^{n-1}{A}^{\ast }$，注意kA的转置、逆、伴随、行列式的公式记忆推导
• $A^{-1}=\frac{1}{|A|}{A}^{\ast }$，由定义公式左乘$A^{-1}$得到，（第一步计算A的行列式，第二步求伴随，第三步乘起来
• $A^{\ast }=|A|A^{-1}$，伴随与逆的关系十分重要
• $(A^{\ast }{)}^{-1}=\frac{1}{|A|}A=(A^{-1}{)}^{\ast }$
• $(A^{\ast }{)}^{\ast }=|A{|}^{n-2}A$
• $|(A^{\ast }{)}^{\ast }|=|A{|}^{(n-1{)}^2}$
• $(AB{)}^{\ast }=B^{\ast }{A}^{\ast }$，三大运算均可穿脱

左右开弓$A^{-1}+B^{-1}=A^{-1}(A+B)B^{-1}$,两边各自提出A与B的逆

秩

$A^{-1}$

定义

对于方阵A,B,若AB=E,则A,B互为逆矩阵，且$A^{-1}=B,B^{-1}=A,AB=BA$

性质

• $(A^{-1}{)}^{-1}=A$
• $(AB{)}^{-1}=B^{-1}{A}^{-1}$
• $(kA{)}^{-1}=\frac{1}{k}{A}^{-1}$
• $|A^{-1}|=\frac{1}{|A|}$

求$A^{-1}$

• 具体形式

1. $A^{-1}=\frac{1}{|A|}{A}^{\ast }$(二阶举例，主对调，副变号，乘行列式的倒数)
2. $[A|E]初等行变换后[E|A^{-1}]$

• 抽象性

1. 由题目条件构造AB=E，则$A^{-1}=B$
2. 由题目条件构造A=BC，若B,C均可逆，则$A^{-1}=C^{-1}{B}^{-1}$

分块矩阵

• $A=\left(\begin{array}{cc}B& 0\\ D& C\end{array}\right),A^{-1}=\left(\begin{array}{cc}{B}^{-1}& 0\\ -C^{-1}D{B}^{-1}& C^{-1}\end{array}\right)$,左同行，右同列，再加负号，对于副三角，则副对角线要换位置
• 主对角线分块矩阵求逆，结果是分别求逆不变位置；副对角线分块矩阵求逆，结果是分别求逆逆序放置

初等矩阵

定义：单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵

• $E_2(k)$表示第二行乘以k倍
• $E_{ij}$表示第i行与第j行互换位置
• $E_{31}(k)$表示第一行的k倍加到第三行

矩阵方程

含有未知矩阵的方程称为矩阵方程

化简

• 消除公因式，若CA=CB，且C可逆，则A=B
• 提取公因式，即CA+CB=C(A+B)
• 移项，即将已知表达式与未知表达式分别移到方程两边
• 利用公式
  • A的伴随相关公式
  • 因式分解
  • 穿脱原则
  • 三大运算可交换

求解

最后流下的形式为AX=B

• 若A可逆，则解为$X=A^{-1}B$
• 若A不可逆，则将X和B按列分块，得到

$A[{\xi }_1,{\xi }_2,...,{\xi }_n]=[{\beta }_1,{\beta }_2,...,{\beta }_n]$,即$A{\xi }_i={\beta }_i,i=1,2,...,n$
注意：求解过程中会出现通解与特解，特解求法为直接将自由变量赋零；通解所有小方程适用
求解线性方程组，得到解${\xi }_i$,从而得到$X=[{\xi }_1,{\xi }_2,...,{\xi }_n]$
此类方程有解的充要条件是：r(A)=r(A B)
重要依据：子式有解的充要条件r(A)=r(A ${\beta }_i$),所以可以推出上式
若r(A)=r(A B)，依据r(A)$\le r(A{\beta }_i)\le r(AB)$,夹逼准则，可以得到r(A)=r(A ${\beta }_i$)，每个自式有解

• 若无法化成上面的形式，则设未知矩阵，使用待定元素法求解

矩阵的秩

定义

• 设A是m*n的矩阵，A中最大的不为零的子式的阶数称为矩阵A的秩，记为r(A)
• 若存在k阶子式不为0，而任意k+1阶子式全为0，则r(A)=k，且$r(A_{n\ast n})=n|A|\ne 0A可逆$
  • 任取k行k列组成的行列式为k阶子式

若r(A)=r(B)且矩阵规格一致，则称两个矩阵等价

公式

• 设A是m*n矩阵，则$0\le r(A)\le min(m,n)$
• 设A是m*n矩阵，则r((kA)=r(A)
• 设A是m*n矩阵，P、Q分别是m阶、n阶可逆矩阵，则r(A)=r(PA)=r(AQ)=r(PAQ)
  • 初等变换不改变矩阵的秩
  • 可逆矩阵P乘以A，不改变A的秩

若r(AB)

• A是mn矩阵，B是ns矩阵，则$r(AB)\le min(r(A),r(B))$
  • 原理：对于向量组a与b，若任意$b_i$均可由向量组a线性表示，则$r(b)\le r(a)$
  • 两个矩阵相乘，结果可以认为是左矩阵列向量的线性组合或者右矩阵行向量的线性组合
  • 所以将B表示成行向量形式即可证明$r(AB)\le r(B)$
  • 将A表示成列向量形式即可证明$r(AB)\le r(A)$
• 设A、B为同型矩阵，则$r(A+B)\le r([A|B])\le r(A)+r(B)$
  • 左边的关系可以理解为A+B是A|B的线性组合
  • 右边的关系可以理解成A扩充，其秩一定小于A的秩加B的秩
• 对角线分块矩阵的秩等于r(A)+r(B)
• 三角分块矩阵的秩$\le r(A)+r(B)+r(C)$(其中C为非对角线上的分块矩阵）
• 设A是mn矩阵，B是ns矩阵，则$r(AB)\ge r(A)+r(B)-n$
  • 若AB=0，则有$r(A)+r(B)\le n$
• 设 A是m*n矩阵，则$r(A)=r(A^T)=r(A{A}^T)=r(A^{T}A)$
  • Ax=0和$A^{T}Ax=0$是同解方程组
    • 对于Ax=0,的解，将等式两边左乘$A^T$，可得一定满足第二个关系式
    • 对于$A^{T}Ax=0$的解，将等式两边同时左乘$x^T$，利用转置的合并化简，得到向量Ax的每个元素均为0，说明解一定满足第一个关系式
  • 方程组同解，说明$r(A)=r(A^{T}A)$
  • 因为$r(A)=r(A^T)$,所以四矩阵秩相同
• 如果A是n阶方阵，$A^{\ast }$是A的伴随矩阵，$r(A^{\ast })=\{\begin{array}{cc}n& r(A)=n,\\ 1& r(A)=n-1,\\ 0& r(A)<n-1,\end{array}$
  • 若r(A)=n,则会有$|A|\ne 0、A可逆、A的向量组线性无关、Ax=0只有零解等$；
    若r(A)=n-1，则应该想到|A|=0，但存在n-1阶子式不为零，故至少有一个|A|中的元素的余子式或代数余子式不为零；
    若r(A)
  • 要证明$r(A^{\ast })$=n，可以证明|$A^{\ast }|\ne 0$，证明可逆，证明$A^{\ast }x=0$有非零解
  • 已知与未知之间的联系$A{A}^{\ast }=A^{\ast }A=|A|E$
• 设A是n阶方阵，$A^2=A，则r(A)+r(A-E)=n$
  • $A^2=A，得到A(A-E)=0,所以r(A)+r(A-E)\le n$
  • $r(A)+r(A-E)=r(A)+r(E-A)\ge r(A+E-A)=n$
• 设A是n阶方阵，$A^2=E，则r(A+E)+r(A-E)=n$
• 设A是m*n矩阵，则Ax=0的基础解系所含向量的个数s=n-r(A)
  • 其中n是未知数个数，即A的列数，代表自由度；r(A)代表方程组中独立方程的个数，即真实约束个数
• 若$A\sim \Lambda$,则$n_i=n-r({\lambda }_{i}E-A)$，其中${\lambda }_i$是$n_i$重特征根
• 若$A\sim \Lambda$,则r(A)等于非零特征值的个数，重根按重数计算
• 注意：若需要证明两个矩阵的秩相同，则首先判断矩阵列是否相同，其次证明是否为同解方程组
  若需要证明两个矩阵的秩大小关系，则大多转化为向量组的表出关系，被表出的秩小