划重点——线性代数考试精准扶贫
精准扶贫线性代数大一考试范围。线性代数是工科通识学科。懂的人已经懂了。对于大学生来说，大学考试是非常套路化的。复习的基本调子是到了复习周，对于每科，收集复习资料后，能重复复习三遍就好了。有句话说：practice make perfect。重复带来完美。我第一次复习大概花费三四天，再看一次，发现自己几个小时梳理完了知识。最后再看一次，十几分钟搞定。重复又简单，高效复习完还可以发发博客。这篇笔记是我最后一次看的提炼出来的笔记。供同学们参考。也供自己回顾。加油！欧里给！
线性代数被我分为了五大部分，分别是行列式，矩阵，方程组，特征值与特征向量 和 向量。
行列式
行列式的性质：
- 某行（列）加上或减去另一行（列）的几倍，行列式不变
- 某行（列）加上或减去了另一行（列）的几倍，行列式不变
- 互换两行（列），行列式记得要变异号
- 两行（列）为两项相加减时，行列式可拆为两个行列式相加减的形式
友情提醒符号含义：
r（row） 行的简写 ，如：r₁ 为第一行
c（column）列的简写，如：c₁ 为第一列
r₁ ⇿ r₂ 为第一行和第二行互换位置
a（Algebra）代数 是指行列式中第i行第j列的元素
余子式：M
代数余子式：A
他们两（M & A）关系是 A = ( − 1 ) i + j × M A=\left(-1\right)^{i+j}\times M A=(−1)i+j×M
两个公式对应两个题型有助于快速解题
对于第一类， ∣ x a … a a x … a ⋮ ⋮ ⋱ a a a a x ∣ = ( x − a ) n − 1 [ x − ( n − 1 ) a ] \begin{vmatrix}x&a&\dots&a\\a&x&\dots&a\\\vdots&\vdots&\ddots&a\\a&a&a&x\end{vmatrix}={(x-a)}^{n-1}\lbrack x-(n-1)a\rbrack ∣∣∣∣∣∣∣∣∣xa⋮aax⋮a……⋱aaaax∣∣∣∣∣∣∣∣∣=(x−a)n−1[x−(n−1)a]
对于第二类， ∣ 1 1 … 1 x 1 x 2 … x 4 x 1 2 x 2 2 … x 4 2 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ x 1 m x 2 m ⋯ x 4 m ∣ = ( x n − x n − 1 ) ( x n − x n − 2 ) … ( x n − x 1 ) ( x n − 1 − x n − 2 ) ( x n − 1 − x n − 3 ) … ( x n − 1 − x 1 ) … ( x 2 − x 1 ) \begin{array}{rcl}&&\begin{vmatrix}1&1&\dots&1\\x_1&x_2&\dots&x_4\\x_1^2&x_2^2&\dots&x_4^2\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\x_1^m&x_2^m&\cdots&x_4^m\end{vmatrix}\\&=&(x_n-x_{n-1})(x_n-x_{n-}2)\dots(x_n-x_1)\\&&(x_{n-1}-x_{n-2})(x_{n-1}-x_{n-3})\dots(x_{n-1}-x_1)\\&&\dots(x_2-x_1)\end{array} =∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣1x1x12⋮x1m1x2x22⋮x2m………⋱⋯1x4x42⋮x4m∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣(xn−xn−1)(xn−xn−2)…(xn−x1)(xn−1−xn−2)(xn−1−xn−3)…(xn−1−x1)…(x2−x1)
行列式的求解有二：
一，化简后，直接这样对角线之和求出结果 ∣ a … … 0 b … 0 0 c ∣ = a ∗ b ∗ c \begin{vmatrix}a&\dots&\dots\\0&b&\dots\\0&0&c\end{vmatrix}=a\ast b\ast c ∣∣∣∣∣∣a00…b0……c∣∣∣∣∣∣=a∗b∗c
二，对元素乘以其代数余子式的结果求和 ∣ a 11 a 1 j ⋱ a i 1 a i j ∣ = ∑ i = 1 , j = 1 n a i j A i j \begin{vmatrix}a_{11}&&a_{1j}\\&\ddots&\\a_{i1}&&a_{ij}\end{vmatrix}=\sum_{i=1,j=1}^na_{ij}A_{ij} ∣∣∣∣∣∣a11ai1⋱a1jaij∣∣∣∣∣∣=i=1,j=1∑naijAij
**熟练一种题型：**判断下列方程组是否有唯一解，or一直方程组？有非零解，确定未知数
情况如下：
| 方程组 | D=0 [D是行列式的运算结果] | D ≠ 0 |
|---|---|---|
| 齐次 | 只有一组零解 | 有零解和非零解 |
| 非齐次 | 只有一组非零解 | 有多个解或无解 |
矩阵
【一般假设矩阵简写为A或者B，比较常见，下同】
矩阵运算：加减：行数和列数相同才能作加减运算
乘：方法— 前行乘后列
除：无
零矩阵0 [所有元素均为0],A · 0 = 0，0 · A = 0 ( 0 ) \begin{pmatrix}&&\\&0&\\&&\end{pmatrix} ⎝⎛0⎠⎞
单位矩阵E[对角线均为1，其余元素均为0] A · E = A, E · A = A E² = E · E ( 1 1 1 ) \begin{pmatrix}1&&\\&1&\\&&1\end{pmatrix} ⎝⎛111⎠⎞
你不得不知道的矩阵的性质：
- AB与BA未必相等
- AX=AY不能退出X=Y
- ( A B ) k = A k B k 不 一 定 相 等 {(AB)}^k\;=\;A^kB^k不一定相等 (AB)k=AkBk不一定相等
- A 2 + ( k + j ) A B + k j B 2 与 ( A + k B ) ( A + j B ) 不 一 定 相 等 ， 但 A 2 + ( k + j ) A + k j E = A 2 + ( k + j ) A E + k j E 2 = ( A + k E ) ( A + j E ) A^2+(k+j)AB+kjB^2\;与\;(A+kB)(A\;+\;jB)\mathrm{不一定相等}，\\但A^2+(k+j)A+kjE\;=A^2+(k+j)AE+kjE^2\;=\;(A+kE)(A+jE) A2+(k+j)AB+kjB2与(A+kB)(A+jB)不一定相等，但A2+(k+j)A+kjE=A2+(k+j)AE+kjE2=(A+kE)(A+jE)
- ∣ λ A ∣ = λ n ∣ A ∣ [ 提 醒 ： ∣ A ∣ 是 行 列 式 的 标 识 ， 不 是 平 时 我 们 见 的 绝 对 值 ！ ！ ] \vert\lambda A\vert=\lambda^n\vert A\vert[提醒：|A|是行列式的标识，不是平时我们见的绝对值！！] ∣λA∣=λn∣A∣[提醒：∣A∣是行列式的标识，不是平时我们见的绝对值！！]
- ∣ A t ∣ = A [ A t 是 A 的 转 置 矩 阵 ] \vert A^t\vert=A [A^t是A的转置矩阵] ∣At∣=A[At是A的转置矩阵]
逆矩阵A-¹ 【满足A · A-¹ = E ，即A存在逆矩阵A-¹ 】
-
证明矩阵A可逆?
条件：①A必须为方阵（即n×n，n=n）
②|A| ≠ 0 或存在一个方阵B，满足AB=E或BA=E -
求A-¹？
公式 (A | E) ——> (E | A-¹) -
由A · A-¹ = E 或 A-¹ · A = E可以计算逆矩阵
伴随矩阵A*
定义： A = ( a i j ) n × n 的 各 元 素 的 代 数 余 子 式 A i j 所 构 成 的 如 下 的 矩 阵 A ∗ A=(a_{ij})\;_{n\times n}的各元素的代数余子式A_{ij}所构成的 如下的矩阵A* A=(aij)n×n的各元素的代数余子式Aij所构成的如下的矩阵A∗ ( A 11 A 12 … A 1 n A 21 A 22 … A 2 n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ A n 1 A n 2 … A n n ) 为 A 的 伴 随 矩 阵 \begin{pmatrix}A_{11}&A_{12}&\dots&A_{1n}\\A_{21}&A_{22}&\dots&A_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\A_{n1}&A_{n2}&\dots&A_{nn}\end{pmatrix}为A的伴随矩阵 ⎝⎜⎜⎜⎛A11A21⋮An1A12A22⋮An2……⋱…A1nA2n⋮Ann⎠⎟⎟⎟⎞为A的伴随矩阵
矩阵的秩R(A),求R(A)
方程组
判断方程组解的情况
| 条件 | 解的情况 | |
|---|---|---|
| 齐次 | R(A)=未知数个数 | 唯一解（零解) |
| R(A)<未知数个数 | 多个解 | |
| 非齐次 | R(A)≠R(A,b)[[增广矩阵] | 无解 |
| R(A) = R(A,b)且R(A)<未知数个数 | 有解（一个非零解） | |
| R(A) = R(A,b)且R(A)=未知数个数 | 有解（多个非零解） |
如何解方程组
步骤：①求R(A|b)[增广矩阵的秩]
②化为最简行矩阵
③再化为方程组
④设n个未知数个数k_1，…k_n,(n = 未知数个数 - R(A|b) )
⑤将方程组整理为标准形式，即最后求的通解为 ( ⋮ ) + k 1 ( ⋮ ) + ⋯ + k n ( ⋮ ) \begin{pmatrix}\\\vdots\\\end{pmatrix}\;+\;k_1\begin{pmatrix}\\\vdots\\\end{pmatrix}+\dots+k_n\begin{pmatrix}\\\vdots\\\end{pmatrix} (⋮)+k1(⋮)+⋯+kn(⋮)
其中，基础解系为 η 1 = ( ⋮ ) , η 2 = ( ⋮ ) , . . . η n = ( ⋮ ) , {\eta_1}_{=\begin{pmatrix}\\\vdots\\\end{pmatrix},}{\eta_2}_{=\begin{pmatrix}\\\vdots\\\end{pmatrix},}...{\eta_n}_{=\begin{pmatrix}\\\vdots\\\end{pmatrix},} η1=(⋮),η2=(⋮),...ηn=(⋮),
当k取常量时（简单起见，k=0或1）就可把通解化为特解
特征值与特征向量
*如何把向量规范正交化
所谓规范化就是单位化，正交化就是使所求结果b₁，b₂，…,两两正交
b ₁ = a ₁ b₁ = a₁ b₁=a₁
b 2 = a 2 − [ b 1 , a 2 ] [ b 1 , b 1 ] b 1 b_2\;=\;a_2-{\textstyle\frac{\lbrack b_1,a_2\rbrack}{\lbrack b_1,b_1\rbrack}}b_1 b2=a2−[b1,b1][b1,a2]b1
b 3 = a 3 − [ b 1 , a 3 ] [ b 1 , b 1 ] b 1 − [ b 2 , a 3 ] [ b 2 , b 2 ] b 2 b_3\;=\;a_3-{\textstyle\frac{\lbrack b_1,a_3\rbrack}{\lbrack b_1,b_1\rbrack}}b_1-{\textstyle\frac{\lbrack b_2,a_3\rbrack}{\lbrack b_2,b_2\rbrack}}b_2 b3=a3−[b1,b1][b1,a3]b1−[b2,b2][b2,a3]b2
. . . ... ...
b n = a n − [ b 1 , a n ] [ b 1 , b 1 ] b 1 − [ b 2 , a n ] [ b 2 , b 2 ] b 2 − . . . − [ b n − 1 , a n ] [ b n − 1 , b n − 1 ] b n − 1 b_n\;=\;a_n-{\textstyle\frac{\lbrack b_1,a_n\rbrack}{\lbrack b_1,b_1\rbrack}}b_1-{\textstyle\frac{\lbrack b_2,a_n\rbrack}{\lbrack b_2,b_2\rbrack}}b_2-...-{\textstyle\frac{\lbrack b_{n-1},a_n\rbrack}{\lbrack b_{n-1},b_{n-1}\rbrack}}b_{n-1} bn=an−[b1,b1][b1,an]b1−[b2,b2][b2,an]b2−...−[bn−1,bn−1][bn−1,an]bn−1
||b||是行列式|b|的长度
规范正交化的解为
e 1 = b 1 ∣ ∣ b 1 ∣ ∣ e_1\;={\textstyle\frac{b_1}{\vert\vert b1\vert\vert}} e1=∣∣b1∣∣b1
e 2 = b 2 ∣ ∣ b 2 ∣ ∣ e_2\;={\textstyle\frac{b_2}{\vert\vert b_2\vert\vert}} e2=∣∣b2∣∣b2
. . . ... ...
e n = b n ∣ ∣ b n ∣ ∣ e_n\;={\textstyle\frac{b_n}{\vert\vert b_n\vert\vert}} en=∣∣bn∣∣bn
如何求矩阵的特征值
满足|A-λE|=0的λ即为特征值【重复的λ的值要分开算λ的个数]
如何求矩阵的特征向量
|A-λE|x=0的通解即为特征向量
判断方阵是否为对角阵相似，or是否满足 p − 1 A p = ∧ 【 A 为 n 阶 方 阵 】 【 ∧ 是 对 角 阵 符 号 】 【 p 为 可 逆 变 换 矩 阵 】 p^{-1}Ap=\wedge 【A为n阶方阵】【∧是对角阵符号】【p为可逆变换矩阵】 p−1Ap=∧【A为n阶方阵】【∧是对角阵符号】【p为可逆变换矩阵】
| 条件 | 结论 |
|---|---|
| 方阵A的特征向量的个数 = 方阵的阶数 | 相似/满足 |
| 方阵A的特征向量的个数 ≠ 方阵的阶数 | 不相似/不满足 |
求方阵对应的对角阵∧及可逆交换矩阵p
步骤：
①求出方阵的特征值，为λ₁，λ₂，…，并求出特征向量
②求得对角阵为 ∧ = ( λ 1 λ 2 λ n ) ∧=\begin{pmatrix}\lambda_1&&\\&\lambda_2&\\&&\lambda_n\end{pmatrix} ∧=⎝⎛λ1λ2λn⎠⎞
③去掉所有的特征向量的k，新向量依次为ξ₁，ξ₂，…
④将不重复的特征值对应的ξ规范正交化【即求e】，将重复的特征值对应的多个ξ规范正交化。
⑤将上一步的所有向量从左到右依次排列构成一个矩阵，该矩阵即为可逆变换矩阵P（P=（e₁，e₂，…，e_n）
关 于 P 的 升 级 版 题 型 ： 已 知 p − 1 A p = ∧ , 求 关 于 A 的 复 杂 式 子 φ ( A ) = p ⋅ ( φ ( λ 1 ) φ ( λ 2 ) φ ( λ n ) ) ⋅ p T \mathrm{关于P的升级版题型：已知}p^{-1}Ap=\wedge,\mathrm{求关于}A\mathrm{的复杂式子}\\\varphi(A)=p\cdot\begin{pmatrix}{\varphi(\lambda_1)}&&\\&\varphi(\lambda_2)&\\&&\varphi(\lambda_n)\end{pmatrix}\cdot p^T\\ 关于P的升级版题型：已知p−1Ap=∧,求关于A的复杂式子φ(A)=p⋅⎝⎛φ(λ1)φ(λ2)φ(λn)⎠⎞⋅pT
向量
如何用向量线性表示向量：判断某向量b是否可由其向量组a₁，a₂，…，a_n线性表示
若(a₁，a₂，…，a_n)的秩与(a₁，a₂，…，a_n，b)的秩相等，则b可由a₁，a₂，…，a_n线性表示
判断某个向量组是否线性相关
法一：
| 若R<向量个数 | 则线性相关 |
|---|---|
| 若R=向量个数 | 则线性无关 |
法二：
| 方法 | 条件 | 结论 |
|---|---|---|
| 设n个未知系数k，使得k₁a₁+k₂a₂+…+k_n · a_n = 0 | 若k全为0 | 线性无关 |
| 设n个未知系数k，使得k₁a₁+k₂a₂+…+k_n · a_n = | 至少一个k不为0 | 线性相关 |
已知三维向量空间的一组基底，求某一向量在此基底的坐标
①设未知常数k，使得β = k₁a₁+k₂a₂+…+k_n · a_n
②化为方程组形式，求得k₁，k₂，k₃
③求得坐标为（k₁，k₂，k₃）
求n个行向量的极大无关组
求[α,β] ||α||和夹角θ
[ α , β ] 向 量 α , β 的 内 积 ， [ α , β ] = ∑ i = 1 n a i b i \lbrack\alpha,\beta\rbrack\mathrm{向量}\alpha,\beta\mathrm{的内积}，\lbrack\alpha,\beta\rbrack\;=\sum_{i=1}^na_ib_i [α,β]向量α,β的内积，[α,β]=i=1∑naibi
∣ ∣ a ∣ ∣ = [ a , a ] = a 1 2 + a 2 2 + . . . + a n 2 \vert\vert a\vert\vert=\sqrt{\lbrack a,a\rbrack}=\sqrt{a_1^2+a_2^2+...+a_n^2} ∣∣a∣∣=[a,a]=a12+a22+...+an2
||a||为n维向量a的长度（或叫范数）
θ = a r c cos [ α , β ] ∣ ∣ α ∣ ∣ ∣ ∣ β ∣ ∣ \theta=arc\cos{\textstyle\frac{\lbrack\alpha,\beta\rbrack}{\vert\vert\alpha\vert\vert\vert\vert\beta\vert\vert}} θ=arccos∣∣α∣∣∣∣β∣∣[α,β]
θ是n维向量α,β的夹角
求证：A是否为正交矩阵
满 足 A T A = E ， z 则 A 是 正 交 矩 阵 \mathrm{满足}A^TA=E，z则A\mathrm{是正交矩阵} 满足ATA=E，z则A是正交矩阵
判断方法：若A每一行（列）向量的长度都为1，且每两个不同的行（列）向量的内积为0，则A是正交矩阵
性质：A为正交矩阵的充要条件是 A − 1 = A T A^{-1}=A^T A−1=AT