线性代数复习笔记——第二章 矩阵及其运算(1)

目录:

1 线性方程组和矩阵
2 矩阵的运算
3 逆矩阵
4 克拉默法则
5 矩阵分块法

1.线性方程和矩阵

从左上角到右下角的直线(叫做对角线)以外的元素都是 0的方阵称为对角矩阵,简称对角阵.对角阵也记作A = diag( λ1 , λ 2 , ..., λ n );

对角线元素都为1,其他元素都为0的方阵,叫做 n 阶单位矩阵,简称单位阵。

矩阵与线性变换之间存在着一一对应的关系,所以可以用线性变换来解释矩阵的含义,比如一个矩阵可能代表了投影变换,或者旋转变换等。

元素以对角线为对称轴对应相等的方阵,叫对称矩阵。

2. 矩阵的运算

加法:同型矩阵时才可加(都是m×n矩阵),满足交换律和结合律,每个对应元素相加

数与矩阵相乘:给每个元素乘以数,满足交换律和结合律分配律

矩阵与矩阵相乘:m×s与s×n的矩阵相乘得到m×n的矩阵,一般不满足交换律,即ABBA不相等。满足结合律和分配律。

            若方阵AB=BA,则方阵A与B是可交换的。

            EmAm×n=Am×nEn=A或简写为(AE=EA=A

           纯量阵λE与任何方阵都是可交换的

方阵幂运算

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矩阵的转置运算

对称矩阵

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方阵的行列式

矩阵的伴随矩阵

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3.逆矩阵

     若AB=BA=E,则称n阶矩阵A是可逆的,B是A的可逆矩阵,且可逆矩阵是唯一的。

     矩阵A可逆   充分必要条件   |A|不等于0

     用伴随阵计算逆矩阵:

可逆矩阵是非奇异矩阵:

逆矩阵满足的运算规律:

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矩阵 A 的 m 次多项式:

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克拉默法则(根据系数矩阵求方程组的解)

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矩阵分块法:

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