线性代数复习笔记——第二章 矩阵及其运算（1）

目录：

1	线性方程组和矩阵
2	矩阵的运算
3	逆矩阵
4	克拉默法则
5	矩阵分块法

1.线性方程和矩阵

从左上角到右下角的直线(叫做对角线)以外的元素都是 0的方阵称为对角矩阵,简称对角阵.对角阵也记作A = diag( λ1 , λ 2 , ..., λ n );

对角线元素都为1，其他元素都为0的方阵，叫做 n 阶单位矩阵,简称单位阵。

矩阵与线性变换之间存在着一一对应的关系，所以可以用线性变换来解释矩阵的含义，比如一个矩阵可能代表了投影变换，或者旋转变换等。

元素以对角线为对称轴对应相等的方阵，叫对称矩阵。

2. 矩阵的运算

加法：同型矩阵时才可加（都是m×n矩阵），满足交换律和结合律，每个对应元素相加

数与矩阵相乘：给每个元素乘以数，满足交换律和结合律分配律

矩阵与矩阵相乘：m×s与s×n的矩阵相乘得到m×n的矩阵，一般不满足交换律，即AB和BA不相等。满足结合律和分配律。

            若方阵AB=BA，则方阵A与B是可交换的。

            EmAm×n=Am×nEn=A或简写为（AE=EA=A）

           纯量阵λE与任何方阵都是可交换的。

方阵的幂运算：

矩阵的转置运算：

对称矩阵：

方阵的行列式：

矩阵的伴随矩阵：

3.逆矩阵

     若AB=BA=E，则称n阶矩阵A是可逆的，B是A的可逆矩阵，且可逆矩阵是唯一的。

     矩阵A可逆   充分必要条件   |A|不等于0

     用伴随阵计算逆矩阵：

可逆矩阵是非奇异矩阵：

逆矩阵满足的运算规律：

矩阵 A 的 m 次多项式：

克拉默法则（根据系数矩阵求方程组的解）

矩阵分块法：

另外：