【文献学习】强化学习1：基于值函数的方法

参考文献：
[1]《机器学习》,周志华（西瓜书）
[2]《强化学习》,邹伟,等（鳄鱼书）
（今天看书总是走神，干脆总结一下，希望帮自己理清思路。如果碰巧能被大神看到，如有不正确或不严谨之处，万望指教！）

动态规划法

动态规划法是典型的有模型强化学习算法，即模型已知，对任意状态$x$，$x^{\prime }$和动作$a$，在$x$状态下执行动作$a$转移到$x^{\prime }$状态的概率$P_{x\to x^{\prime }}^a$是已知的，该转移所带来的奖赏$R_{x\to x^{\prime }}^a$也是已知的。
在每执行一步策略后就进行值函数的更新。
1.策略评估
$V^{\pi }(x,a)$表示从状态$x$出发，使用策略$\pi$所才来的累积奖赏；$Q^{\pi }(x,a)$表示从状态$x$出发，执行动作a后再使用策略$\pi$带来的累积奖赏。
对于T步累计奖赏有
$V_T^{\pi }={\sum }_{a\in A}\pi (x,a){\sum }_{x^{\prime }\in X}{P}_{x\to x^{\prime }}^a(\frac{1}{T}{R}_{x\to x^{\prime }}^a+\frac{T-1}{T}{V}_{T-1}^{\pi }(x^{\prime }))$
对于$\gamma$折扣累计奖赏有
$V_{\gamma }^{\pi }(x)={\sum }_{a\in A}\pi (x,a){\sum }_{x^{\prime }\in X}{P}_{x\to x^{\prime }}^a(R_{x\to x^{\prime }}^a+\gamma V_{\gamma }^{\pi }(x^{\prime }))$
有了状态值函数V，就能直接计算出状态-动作值函数
$Q_T^{\pi }={\sum }_{x^{\prime }\in X}{P}_{x\to x^{\prime }}^a(\frac{1}{T}{R}_{x\to x^{\prime }}^a+\frac{T-1}{T}{V}_{T-1}^{\pi }(x^{\prime }))$
$Q_{\gamma }^{\pi }(x)={\sum }_{x^{\prime }\in X}{P}_{x\to x^{\prime }}^a(R_{x\to x^{\prime }}^a+\gamma V_{\gamma }^{\pi }(x^{\prime }))$
2.策略改进
立项的策略应能最大化累积奖赏：${\pi }^{\ast }=\underset{\pi }{\mathrm{argmax}}{\sum }_{x\in X}{V}^{\pi }(x)$
$V_T^{\ast }(x)={\max }_{a\in A}{\sum }_{x^{\prime }\in X}{P}_{x\to x^{\prime }}^a(\frac{1}{T}{R}_{x\to x^{\prime }}^a+\frac{T-1}{T}{V}_{T-1}^{\pi }(x^{\prime }))$
$V_{\gamma }^{\ast }(x)={\max }_{a\in A}{\sum }_{x^{\prime }\in X}{P}_{x\to x^{\prime }}^a(R_{x\to x^{\prime }}^a+\gamma V_{\gamma }^{\pi }(x^{\prime }))$
于是：$V^{\ast }(x)={\max }_{x\in A}{Q}^{{\pi }^{\ast }}(x,a)$
则最优状态-动作值函数有
$Q_T^{\ast }(x,a)={\sum }_{x^{\prime }\in X}{P}_{x\to x^{\prime }}^a(\frac{1}{T}{R}_{x\to x^{\prime }}^a+\frac{T-1}{T}{\max }_{a^{\prime }\in A}{Q}_{T-1}^{\ast }(x^{\prime },a^{\prime }))$
$Q_{\gamma }^{\pi }(x)={\sum }_{x^{\prime }\in X}{P}_{x\to x^{\prime }}^a(R_{x\to x^{\prime }}^a+\gamma {\max }_{a^{\prime }\in A}{Q}_{\gamma }^{\ast }(x^{\prime },a^{\prime }))$
3.策略迭代与值迭代
策略迭代：策略评估→改进策略→策略评估→改进策略……
值迭代：将策略改进视为值函数的改善，得
$V_T(x)={\max }_{a\in A}{\sum }_{x^{\prime }\in X}{P}_{x\to x^{\prime }}^a(\frac{1}{T}{R}_{x\to x^{\prime }}^a+\frac{T-1}{T}{V}_{T-1}(x^{\prime }))$
$V_{\gamma }^{\ast }(x)={\max }_{a\in A}{\sum }_{x^{\prime }\in X}{P}_{x\to x^{\prime }}^a(R_{x\to x^{\prime }}^a+\gamma V_{\gamma }(x^{\prime }))$

免模型学习

学习算法不依赖于环境建模
1.蒙特卡洛强化学习
一种直接的策略评估评估替代方法是多次“采样”，然后求取平均累积奖赏来作为期望累积奖赏的近似。
由于模型未知，从V到Q转换困难，估计对象从V转变为Q。
其本质是通过多次尝试后求平均来作为期望累积奖赏的近似，但它在求平均时是“批量处理”进行的，即在一个完整的采样轨迹完成后再对所有状态-动作对进行更新。
此类算法需在完成一个采样轨迹之后再更新策略的值估计。缺点是：未充分利用强化学习任务的MDP结构。
1.1同策略蒙特卡洛学习算法
欲较好地获得值函数的估计，就需要多条不同采样轨迹。
蒙特卡洛方法进行策略评估后，进行策略改进。被评估和被改进的是同一个策略，因此称为“同策略”蒙特卡洛强化学习算法。

同策略蒙特卡洛强化学习算法最终产生的是$ϵ$-贪心策略。
1.2异策略蒙特卡洛学习算法
在策略评估时引入$ϵ$-贪心策略，在策略改进时改进原策略。

2.时序差分学习
结合了动态规划与蒙特卡洛的思路。
将蒙特卡洛强化学习的更新过程增量式进行。设对于状态-动作对$(x,a)$，假设基于$t$个采样已估计出值函数$Q_t^{\pi }(x,a)=\frac{1}{t}{\sum }_{i=1}^t{r}_i$，则在得到第$t+1$个采样$r_{t+1}$时，通过增量求和可得
$Q_{t+1}^{\pi }(x,a)=Q_t^{\pi }(x,a)+\alpha (R_{x\to x^{\prime }}^a+\gamma Q_t^{\pi }(x^{\prime },a^{\prime })+Q_t^{\pi }(x,a))$

Sarsa算法是一个同策略算法，评估与执行均为$ϵ$-贪心策略。
将Sarsa修改为异策略算法，得到Q-学习算法

3.资格迹
状态值函数更新参考的距离在1~N之间。资格迹两种视角：
1）前向视角（理论视角）：由当前状态出发向还未访问的状态观察设计，认为资格迹是连接时序差分法和蒙特卡洛方法的桥梁。
2）后向视角（工程视角）：由当前状态向已访问过的状态观察设计的一种算法。
前向视角告诉我们资格迹在理论层面如何工作，后向视角告诉我们在工程层面如何实现。（一般采用后向视角实现）

3.1Sarsa($\lambda$)方法

Sarsa($\lambda$)后向算法为单个轨迹内，每进行一个时间步，都会基于这个时间步的数据对行为值函数进行更新，产生采样的策略和评估改进的策略都是$ϵ$-贪心策略。
3.2Q($\lambda$)算法

4.总结
蒙特卡洛法：更新当前状态值函数时，蒙特卡洛法中，这个距离是整个轨迹的长度，记为N。
时序差分法：状态值更新距离是1个时间步。
资格迹：状态值更新在1~N之间的距离。

值函数近似

之前的强化学习为表格型强化学习。
状态空进连续，有无穷多个状态。直接对连续状态空间的值函数进行学习。
1.线性逼近
线性逼近时选定基函数。
假定状态空间为n维实数空间$X={\text{R}}^n$，状态线性函数为：$V_{\mathbf{\theta }}(x)={\mathbf{\theta }}^T\mathbf{x}={\sum }_{i=1}^d{\mathbf{\theta }}_i{x}_i(s)$
这个时候$V_{\mathbf{\theta }}(x)$还是关于参数向量$\mathbf{\theta }$的线性函数，因此还是属于线性函数逼近的范畴。此时$\mathbf{x}(\mathbf{s})$称为状态s的特征函数（基函数）。
常见基函数：1.多项式基函数；2.傅里叶基函数；3.径向基函数。
1.1增量法
针对每一步（轨迹中的每一个状态转换序列），一旦有增量发生，则立即优化近似函数。
希望学到的值函数尽可能近似真实值函数$V_{\pi }(s)$，近似程度常用最小而成误差来度量：
$E_{\theta }=E_{\pi }[({\mathbf{V}}_{\pi }(s)-{\mathbf{\theta }}^T\mathbf{x}(\mathbf{s}){)}^2]$
采用梯度下降法，对误差求负倒数，整理，得到单个样本的更新规则：
$\mathbf{\theta }=\mathbf{\theta }+\alpha (V^{\pi }(\mathbf{x})-{\mathbf{\theta }}^T\mathbf{x}(s))\mathbf{x}$
由于并不知道真实函数$V^{\pi }(s)$的取值，可以考虑使用任何一个无模型方法对其进行估计。
1.1.1基于蒙特卡洛方法的参数逼近
$\mathbf{\theta }=\mathbf{\theta }+\alpha (G_t-{\mathbf{\theta }}^T\mathbf{x}(s_t))\mathbf{x}(s_t)$
1.1.2基于时序差分法的参数逼近
$\mathbf{\theta }=\mathbf{\theta }+\alpha (R_{t+1}+\gamma {\mathbf{\theta }}^T\mathbf{x}(s_{t+1})-{\mathbf{\theta }}^T\mathbf{x}(s_t))\mathbf{x}(s_t)$
1.1.3基于前向TD($\lambda$)的参数逼近
$\mathbf{\theta }=\mathbf{\theta }+\alpha (G_t^{\lambda }-{\mathbf{\theta }}^T\mathbf{x}(s_t))\mathbf{x}(s_t)$
1.1.4基于后向TD($\lambda$)的参数逼近
整体规则：$\mathbf{\theta }=\mathbf{\theta }+\alpha (Q^{\pi }(\mathbf{s},\mathbf{a})-{\mathbf{\theta }}^T\mathbf{x}(\mathbf{s},\mathbf{a}))\mathbf{x}(\mathbf{s},\mathbf{a})$
基于蒙特卡洛的参数逼近：
$\mathbf{\theta }=\mathbf{\theta }+\alpha (G_t-{\mathbf{\theta }}^T\mathbf{x}(s_t,a_t))\mathbf{x}(s_t,a_t)$
基于Sarsa的参数逼近为：
$\mathbf{\theta }=\mathbf{\theta }+\alpha (R_{t+1}+\gamma {\mathbf{\theta }}^T\mathbf{x}(s_{t+1},{\mathbf{a}}_{t+1})-{\mathbf{\theta }}^T\mathbf{x}(s_t,{\mathbf{a}}_t))\mathbf{x}(s_t,a_t)$
基于Q-学习的参数逼近为：
$\mathbf{\theta }=\mathbf{\theta }+\alpha (R_{t+1}+\gamma {\mathbf{\theta }}^T\mathbf{x}(s_{t+1},\pi ({\mathbf{s}}_{t+1}))-{\mathbf{\theta }}^T\mathbf{x}(s_t,{\mathbf{a}}_t))\mathbf{x}(s_t,a_t)$
一下给出其中一种算法的流程：

1.2批量法
针对一批历史数据（如一段轨迹）集中进行近似。
相比于增量法，数据利用率高，计算更为复杂。
批量法是把一段时间内的数据集中起来，如给定一段经验数据集$D=\{(s_1,V_1^{\pi }),(s_2,V_2^{\pi }),...,(s_T,V_T^{\pi })\}$通过学习，找到最好的拟合函数$\hat{V}(s,\theta )$使得参数能较好地符合这段时间内所有的数据，满足损失函数最小化：
$L(\mathbf{\theta })={\sum }_{t=1}^T(V_t^{\pi }-{\mathbf{\theta }}^T\mathbf{x}({\mathbf{s}}_t){)}^2$
对$\theta$求导，求解$\theta$.，具体各方法求解成果见鳄鱼书P148.以下给出值函数逼近Q学习算法（批量法）如下：

2.非线性逼近
2.1DQN(Deep Q-Network)方法
2.1.1算法要点
DQN在Q-learning基础上进行如下改进：1.DQN使用深度神经网络从原始数据中提取特征，近似行为值函数(Q值)；2.DQN利用经历回放对强化学习过程进行训练；3.DQN设置了单独的目标网络来处理TD偏差（一个网络固定参数专门用来产生TD目标，另一个网络专门用来评估策略更新参数，逼近值函数）
2.1.2操作步骤
1.原始图片预处理；2.神经网络参数更新；3.训练；4.评估
2.1.3算法流程


2.2Double DQN(DDQN)方法
将行为选择和行为评估采用不同的值函数实现。
传统DQN中，选择行为和评估行为用的是同一个网络参数，以及同一个值函数。DDQN分别采用不同的值函数实现动作选择和评估。传统DQN自身提供了两个网络：主网络和目标网络。因此可以直接使用主网络选择动作，在用目标网络进行动作评估，不必引入河外网络。


2.3Dueling DQN方法
Dueling DQN在不对算法进行改变的基础上，关注与改造神经网络架构本身，使其训练更为容易，结果更为稳定，更适合于无模型强化学习。
2.3.1价值和优势
将Q值分解为价值(Value)和优势(Advantage)
$Q(s,a)=V(s)+A(s,a)$
$V(s)$可表示在该状态s下所有可能动作对应的动作值函数乘以采取该动作的概率之和。动作值函数Q(s,a)是单个动作所对应的值函数，Q(s,a)-V(s)表示当前动作值函数相对于平均值的大小。故，优势表示的是动作值函数相比于当前状态值函数的优势，是在这个状态下各个动作的相对好坏程度。
2.3.2Dueling DQN算法
其与传统DQN唯一的区别就是网络结构。

模仿学习

（这个部分我暂时不确定是不是基于值函数的方法，是读西瓜书的时候整理的，等我把鳄鱼书整理完再来看它！）
机器能获得人类专家的决策过程返利，从范例中学习，称为“模仿学习”。
1.直接模仿学习
假定获得一批人类专家决策轨迹数据$\{{\tau }_1,{\tau }_2,...,{\tau }_m\}$，每条轨迹包含状态和动作序列${\tau }_i=<s_1^i,a_1^i,s_2^i,a_2^i,...,s_{n_i+1}^i>$，其中$n_i$为第i条轨迹中的转移次数。
可利用监督学习来符合人类专家决策轨迹数据的决策。
将轨迹上所有“状态-动作对”抽取出来，构造一个新的数据集合$D$，即吧状态作为特征，动作作为标记，然后对这个新构造出的数据集合D适用分类或回归算法即可学得策略模型。学得的策略可作为机器新型强化学习的处事策略，在通过强化学习方法基于环境反馈进行改进，获得更好策略。
2.逆强化学习
设计奖赏函数困难，从人类专家提供的范例数据中反推出奖赏函数。
基本思想：欲使机器做出与范例一致的行为，等价于在狗哥奖赏函数的环境中求解最优策略，该最优策略所产生的轨迹与范例数据一致。也就是说，我们要寻找某种奖赏函数使范例数据最优，即可使用这个江上寒暑来训练强化学习策略。
假设将行函数能表达为状态特征的线性函数，即$R(\mathbf{x})={\mathbf{w}}^T\mathbf{x}$，策略$\pi$的积累奖赏可写为
${\rho }^{\pi }=\mathbf{w}TE[{\sum }_{t=0}^{+\infty }{\gamma }^t{\mathbf{x}}_t|\pi ]$
即状态向量加权和的期望与系数$\mathbf{w}$的内积。
将向量期望$E[{\sum }_{t=0}^{+\infty }{\gamma }^t{\mathbf{x}}_t|\pi ]$简写为${\bar{\mathbf{x}}}^{\pi }$，可用蒙特卡洛方法通过采样近似期望。可将每条范例轨迹上的状态加权求和再平均，记为${\bar{\mathbf{x}}}^{\ast }$，于是有：
${\mathbf{w}}^{\ast }=\underset{w}{\mathrm{argmax}}{\min }_{\pi }{\mathbf{w}}^T({\bar{\mathbf{x}}}^{\ast }-{\bar{\mathbf{x}}}^{\pi })$
$s.t.||\mathbf{w}||\le 1$