【量子信息与量子计算简明教程|陈汉武】阅读笔记1——第一章 量子信息与量子计算的基础概念

量子信息

量子

1. 量子最早出现在光量子理论中，是微观系统中能量的一个力学单位。

2. 现代物理对量子的定义：微观世界中所有的微观粒子（如光子、电子、原子等）统称为量子。

3. 普朗克量子假说：

   • 1900年，普朗克在有关黑体辐射问题研究中提出“物质辐射（或吸收）的能量只能是某一最小能量单位的整数倍数”的假说。
   • 假说的含义：对于一定频率的电磁辐射，物体只能以此最小单位吸收或发射它（由此可见微观世界物质的能量是不连续的）。
   • 吸收或发射电磁辐射只能以“量子”方式进行，每个量子的能量是
     $$ϵ=h\nu$$

量子信息介绍

1. 量子信息：利用微观粒子状态表示的信息。
2. 量子信息学：以量子力学基本原理为基础，通过量子系统的各种相干特性（如量子并行、量子纠缠和量子不可克隆等），研究信息存储、编码、计算和传输等行为的理论体系。
3. 量子信息的载体：任意两态的微观粒子系统。
   • 如光子具有两个不同的线偏振态或椭圆偏振态
   • 恒定磁场中原子核的自旋
   • 具有二能级的原子、分子或离子
   • 围绕单一原子旋转的电子的两个状态
4. 两个极化状态：
   • 基本态 ground $|0⟩$
   • 激活态 excited $|1⟩$
   • 如果将一束具有适当能量的光以适当长的时间照射在这个粒子上，就可以实现两态之间的转换。
   • 减少光照时间，可以使粒子从初态到激活态的改变过程中定位在两态之间的任意中间位置。
5. 利用量子的某一状态表示信息时，称信息量子化，称为量子信息。
6. 物理基础：“描述原子水平上的物质结构及其属性”的量子力学。
7. 信息载体（量子）的微观特征：
   • 量子态相干性：微观系统中量子间相互干涉的现象称为量子信息诸多不可思议特性的重要物理基础；
   • 量子态纠缠性：N（大于1）个量子在特定的（温度、磁场）环境下可以处于较稳定的量子纠缠状态，对其中某个子系统的局域操作会影响到其余子系统的状态；
   • 量子态叠加性：量子状态可以叠加，因此量子信息也可以叠加——故可以同时输入或操作N个量子比特的叠加态；
   • 量子不可克隆定理：量子力学的线性特性确保对任意量子态无法实现精确的复制，量子不可克隆定理和测不准原理构成量子密码技术的物理基础。
8. 利用量子信息实现通信的过程：使每一个微观粒子通过自身的物理特性携带经典信息0和1的叠加信号后实现的数据传输的技术。

量子比特

1. 量子比特：
   • qubit
   • 对于量子信息而言，记述量子信息的存储单元称为量子比特
   • 一个量子比特的状态是一个二维复数空间的向量
   • 两个极化状态$|0⟩$和$|1⟩$分别对应经典状态的$0$和$1$
2. 量子力学中用狄拉克符号$⟨|$和$|⟩$表示量子态，bra（左矢、左向量）-ket（右矢、右向量），bracket
3. 量子比特的重要特性在于一个量子比特可以连续地、随机地存在于状态$|0⟩$和$|1⟩$的任意叠加态上。
4. 与经典的不同：
   • 一个量子比特能够处理在既不是$|0⟩$又不是$|1⟩$的状态上，而是处于状态$|0⟩$和$|1⟩$的一个线性组合的所谓中间状态之上
   • $$|\Psi ⟩=\alpha |0⟩+\beta |1⟩$$
     其中，$\alpha$和$\beta$为任意复数，且必须满足归一化要求
     $$\alpha {\alpha }^{\ast }+\beta {\beta }^{\ast }=1$$
   • $$|\Psi ⟩=\cos \frac{\theta }{2}|0⟩+e^{i\phi }\sin \frac{\theta }{2}|1⟩$$
     其中，$-\pi \le \theta \le \pi$，$0\le \phi \le 2\pi$，$x=\sin \theta \times \cos \phi$，$y=\sin \theta \sin \phi$，$z=\cos \theta$.
5. 显然，$\theta$和$\phi$在单位三维球体上定义了一个点，这个球通常称为Blocksphere.
6. 一个量子比特可以连续地、随机地存在于状态$|0⟩$和$|1⟩$的任意叠加态上，知道它被某次测量退化为止。
7. 量子物理指出测量粒子运动会导致“波包塌缩”，使被测量的量子比特状态以某一概率区间退化到状态$|0⟩$或$|1⟩$上
8. 叠加态具有明显的量子相干特性，$\alpha$和$\beta$相对的位相在量子信息过程中起着至关重要的作用。
9. tips
   • 量子比特存储量子态表示信息是量子信息的出发点；
   • 量子力学描述量子信息的行为；
   • 薛定谔方程制约着量子态信息每一步演变；
   • 线性代数的幺正变换约束着 可逆的量子态信息计算；
   • 量子信息的传输是由量子通道端点上量子纠缠集合状态的变化；
   • 结果信息的获取是在得到输出态之后，量子计算机对输出态进行一定的测量后给出的结果。

线性代数相关基础

线代

1. 量子力学理论是线性的。
2. 用标准符号$|\Psi ⟩$描述向量，用$0$表示该向量空间中的零向量。
3. 对于任意的$|v⟩$，下列等式成立：
   • $|v⟩+0=|v⟩$
   • $\exists |w⟩,s.t.|v⟩+|w⟩=0$
4. 一个向量空间的一个基（生成集合）是一个向量集合$\{|v_1⟩,\cdots ,|v_n⟩\}$，该向量空间中的任意向量$|v⟩$都能写成这个基的线性组合$|v⟩={\sum }_i{a}_i|v_i⟩$
5. 张量积

$$\left[\begin{array}{c}{a}_1\\ a_2\\ ⋮\\ a_m\end{array}\right]\otimes \left[\begin{array}{c}{b}_1\\ b_2\\ ⋮\\ b_n\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{a}_1{b}_1\\ ⋮\\ a_1{b}_n\\ a_2{b}_1\\ ⋮\\ a_2{b}_n\\ ⋮\\ a_m{b}_n\end{array}\right]$$

叠加与纠缠

1. 源于微观粒子“波粒二象性”的波动“相干叠加性”（一个以上的信息状态累加在同一个微观粒子上的现象）。

2. 量子纠缠状态（entangled state）是指两个或多个量子系统之间的非定域、非经典的关联，是量子系统内各子系统或个自由度之间关联的力学属性——一个以上的微观粒子因微观系统的特性相互交缠在一起的现象。

3. 叠加特性是实现量子并行计算的基础。

4. 纠缠是实现信息高速的不可破译通信的基础理论。

5. 经典系统中各子系统或各自由度之间的关联反映在概率不相乘上，而量子态的纠缠放映在概率幅不相乘上。

6. 概率幅的叠加表现出量子力学特有的干涉现象，概率幅的纠缠对量子干涉产生重要的影响。

7. 当量子比特列的叠加状态无法用各量子比特的张量乘积表示时，这种叠加状态称为量子纠缠状态。——不能因式分解。

8. 量子状态叠加与并行处理的关系：
   例如十进制数10和5，若用量子比特来表示，则可分别写成：
   $$\begin{array}{rl}|10⟩{⟩}_{10}& \equiv |1010⟩=|1⟩\otimes |0⟩\otimes |1⟩\otimes |0⟩\\ |5⟩{⟩}_{10}& \equiv |0101⟩=|0⟩\otimes |1⟩\otimes |0⟩\otimes |1⟩\end{array}$$
   取其叠加态即可得到：
   $$\begin{array}{rl}|10⟩{⟩}_{10}+|5⟩{⟩}_{10}& =|1010⟩+|0101⟩\\ & =|1⟩\otimes |0⟩\otimes |1⟩\otimes |0⟩+|0⟩\otimes |1⟩\otimes |0⟩\otimes |1⟩\end{array}$$
   针对其叠加态可以利用量子算法同时处理十进制整数的10和5.

   于是计算一个函数在$x=x_1,x_2,\cdots ,x_n$一系列位置上的取值，也可以取更复杂的纠缠态。例如，设置$x$和$y=f(x)$为两个存储器，其量子态分别为$|x⟩⟩$和$|f(x)⟩⟩$，则下列纠缠态就包含了该函数整体上的信息：
   $$\sum _{i=1}^n|x_i⟩⟩\otimes |f(x_i)⟩⟩=|x_1⟩⟩\otimes |f(x_1)⟩⟩+|x_2⟩⟩\otimes |f(x_2)⟩⟩+\cdots +|x_n⟩⟩\otimes |f(x_n)⟩⟩$$
   对它实施各种运算，就如同并行计算一个函数$f(x)$在$x=x_1,x_2,\cdots ,x_n$一系列位置上的函数值。

   ——量子叠加状态是实现真正物理意义上并行运算的物质基础。

有趣的思想实验

薛定谔的猫

物理数学基础

1. 微观客体既是粒子也是波，它是粒子和波两象性矛盾的统一。
2. 由于微观粒子的波粒二象性，引入波函数$\Psi (r)$（量子态）来描述他们的状态。
3. 由于微观粒子的波动呈现出运动的一种统计规律，因此称次波动为概率波（probability wave）。
   $$p(r)={\Psi }^{\ast }(r)\Psi ={\left|\Psi (r)\right|}^2$$
   也就是说，${\left|\Psi (r)\right|}^2\Delta x\Delta y\Delta z$代表在点$r$附近的小体积元$\Delta x\Delta y\Delta z$中找到粒子的概率。故称$\Psi (r)$为概率波幅（probability amplitude）。

薛定谔的实验

设想在一个封闭容器里有个放射源和一只猫，放射源以每秒0.5几率释放一个粒子。按照量子力学的叠加性原理，一秒钟后体系处于无粒子态和一个粒子态的等几率幅叠加态。一旦粒子发射出来，它将启动一传动机构落下一铁锤打破装有氰化氢的瓶子，毒气释放后会导致容器里的那只猫立刻死亡。当然，如果无粒子的发射这一切均不会发生，猫仍然活着。

既然放射性粒子是处于0和1的叠加态，那么这只猫理应处于死和活的叠加态。这只在特定状态下半死半活的猫就是著名的薛定谔的猫。

薛定谔想要阐述的物理问题是：微观世界遵从量子叠加原理，那么，如果自然界确实按照量子力学运行的话，宏观世界也应遵从量子叠加原理。

1997年科学家在离子阱中观察到这种薛定谔的猫态，即一个被观察的粒子在同一时间里处于两个不同的状态。

本质：宏观世界中是否存在量子效应。

EPR佯谬

爱因斯坦的思想实验

爱因斯坦和波尔就有关量子力学是否自洽、是否完备的学术争论而引发的一系列假设实验中的一个著名的思想实验。

考虑两个粒子A和B组成的一对总自旋为零的粒子对（EPR对），两个粒子随后在空间上分开，并设想分开的距离是如此之大，以至于对粒子A进行的任何屋里操作都不会对粒子B产生干扰。假定将粒子A放在地球位置$x_1$上，而将粒子B放在月球位置$x_2$上，则两者之间的距离为$a=x_1-x_2$。如在地球上测得粒子A的位置为$x$，就意味着测得粒子B的位置为$x-a$；如在月球上测得粒子B的动量为$p$，就意味着测得粒子A的动量为$-p$；这就是说对粒子A的位置和动量都进行了测量，相对于对粒子B的同一物理量也进行了测量。

量子力学称，我们不能对粒子A的位置和动量同时进行精确的测量，也就是说，在测量粒子A位置的同时，连粒子B的动量也不能精确测量了。

本质：真实世界是遵从爱因斯坦的局域实在论，还是波尔的非局域性理论

贝尔态基

1. 贝尔源于玻姆等人引入附加变量而提出的隐变量理论推出了著名的贝尔不等式。

2. 贝尔不等式
   假设两个观察者A和B分别对光子对的个别光子做偏振测量，两人可以任意选择各种不同的测量基底，假设A选了$a$和$a^{\prime }$两种基底，而B选了$b$和$b^{\prime }$. 用$E(a,b)$代表当A用基底$a$而B用基底$b$时，在他们重复多次同样的实验后，统计的结果“平行”与“垂直”的两种几率差（期望值）， 那么经典的理论预测总是有一下的不等式：
   $$-2\le E(a,b)-E(a,b^{\prime })+E(a^{\prime },b)+E(a^{\prime },b^{\prime })\le 2$$
   或用贝尔算符$\hat{B}$表示
   $$-2\le ⟨\Psi |\hat{B}|\Psi ⟩\le 2$$

3. 贝尔态基：贝尔算符的全套本征态
   $$\begin{array}{rl}|{\beta }_{00}⟩& =\frac{|00⟩+|11⟩}{\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\\ 0\end{array}\right]+\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\\ 1\end{array}\right]=\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\\ 1\end{array}\right]\\ |{\beta }_{01}⟩& =\frac{|01⟩+|10⟩}{\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\\ 0\end{array}\right]+\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\\ 0\end{array}\right]=\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\begin{array}{c}0\\ 1\\ 1\\ 0\end{array}\right]\\ |{\beta }_{10}⟩& =\frac{|00⟩-|11⟩}{\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\\ 0\end{array}\right]-\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\\ 1\end{array}\right]=\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\\ -1\end{array}\right]\\ |{\beta }_{01}⟩& =\frac{|01⟩+|10⟩}{\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\\ 0\end{array}\right]-\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\\ 0\end{array}\right]=\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\begin{array}{c}0\\ 1\\ -1\\ 0\end{array}\right]\end{array}$$

应用

量子通信

1. 量子通信系统由量子态产生器、量子通道和量子接收设备组成。
2. 量子信道利用光的量子特性，让一个个光子传输0和1的信息。
3. 量子通信技术按其所传输的信息是经典还是量子而分为两类：
   • 经典：用于量子秘钥的传输，开发无法破译的密码；
   • 量子：量子瞬间传送技术。
4. 最初的量子密码通信利用光子的极化特性，目前主要的方法是用光子的相位（纠缠态）特性进行编码。
5. 利用一对纠缠光子实现瞬时传输的物理基础在于量子力学（纠缠态）的非定域特性。

量子加密

1. 量子密码学是密码学与量子力学结合的产物。
2. 1970年，美国科学家S. Wiesner提出如何将量子特性用于密码科学，利用单量子态制造不可伪造的“电子钞票”。
3. 量子密码技术并不用于传输密文，而是用于建立、传送解码本。
4. 根据量子力学的测不准原理，任何观测都会立刻改变系统的状态，因此任何窃听者都会被发现，从而保证解码本的绝对安全，从而保证加密信息的绝对安全。
5. 量子密码的优点：可检查解码本是否被盗用。
6. 缺陷：环境噪声也有可能破坏解码本中的比特而留下痕迹。

量子计算

历史

1. 费曼曾构想使用量子力学理论实现量子计算并构建量子计算机。
2. 早期：由于量子态的测不准性质和量子系统容易受噪声干扰，使量子运算很容易出错。
3. 美国电话电报公司计算机专家P. Shor于1994年证明量子计算机能快速地进行大因数分解，并发展出第一套量子算法编码。
4. 于是量子计算机的研究进入实验时代。

量子计算机

1. 量子计算是利用量子态进行信息处理的方法，其实体设备称为量子计算机。
2. 量子计算机的基本原理是通过量子力学的应用，将微晶体管压缩到原子般大小，然后在极小的面积上放入数十亿颗量子微晶体管，进而利用量子态的叠加性和相干性进行信息运算、保存及处理。
3. 量子比特序列可以处在各种正交态的叠加态上。即，用更多的量子比特组成的存储器，其存储信息的能力将呈指数增加。换句话说，在相同比特位数下，量子计算机记录信息的容量是目前传统计算机的$2^n$倍。
4. 量子计算机的运算由量子逻辑门电路构成组件。量子逻辑组件对应于数学上的一个幺正变换矩阵。
5. 量子计算会将存储器内的量子比特变换为纠缠态。
6. 量子纠缠：两个或多个量子系统之间具有的非经典的强关联。
7. 量子计算机可用于模拟量子系统。
8. 实际系统中量子纠缠态很难维持。在量子计算机中，由于量子比特是由原子或其他微粒子系统所构成，很容易受外部环境影响，导致量子相干性的消失——退相干，从而使运算容易产生错误结果。
9. 最重要的问题：克服退相干；最有效的方法：发生退相干前完成运算，或用误差修正的方法消去因退相干引起的错误。
10. 如何保持纠缠态不衰减，或当纠缠态发生偏差时及时修正，是目前量子信息研究中最基本且亟待解决的问题。

量子隐形传态

隐形传态指的是脱离实物的一种“完全”的信息传送。

先提取原物的所有信息，然后将这些信息传送到接受地点，接受者依据这些信息，选取与构成原物完全相同的基本单元，制造出原物完美的复制品。

1993年Bennet等来自4个国家的六位科学家联名发表了一篇文章，提出了量子隐形传态的设想，其原理就是利用量子态纠缠EPR粒子对的远程关联。

将原物的信息生成经典信息和量子信息两部分，他们分别经由景点通道和量子通道传送给接收者。经典信息是由发送者对原物进行某种测量而获得的信息，量子信息是发送者在测量中未提取的其余信息；接收者在获得这两种信息后，就可以制备出原物量子态的完全复制品。

量子态不可克隆定理

1. 由于量子态具有叠加性，因此单次测量是不能完全得知一个量子态的。
2. 量子态不可克隆定理：任意量子态是不能复制的。
3. 证明：
   设A和B是两个量子系统，它们分别处于$|{\phi }_A⟩$和$|0_B⟩$状态，后者是系统B在拷贝前所处的空白状态。假设有某种操作能够把系统A的任意量子态拷贝到系统B上，即
   $$|{\phi }_A⟩\otimes |0_B⟩\stackrel{拷贝}{⟶}|{\phi }_A⟩\otimes |{\phi }_B⟩$$
   那么，同样的操作当然也能够将另一量子态从系统A拷贝到系统B上：
   $$|{\psi }_A⟩\otimes |0_B⟩\stackrel{拷贝}{⟶}|{\psi }_A⟩\otimes |{\psi }_B⟩$$
   取它们的叠加态
   $$|\Psi ⟩=|{\phi }_A⟩+|{\psi }_A⟩$$
   按量子态的线性叠加原理，有
   $$\begin{gathered} |\Psi ⟩\otimes |0_B⟩=|{\phi }_A⟩\otimes |0_B⟩+|{\psi }_A\otimes |0_B⟩ \\ \stackrel{拷贝}{⟶}|{\phi }_A⟩\otimes |{\phi }_B⟩+|{\psi }_A⟩\otimes |{\psi }_B⟩\ne |{\Psi }_A⟩\otimes |{\Psi }_B⟩ \end{gathered}$$
   因为
   $$|{\Psi }_A⟩\otimes |{\Psi }_B⟩=|{\phi }_A⟩\otimes |{\phi }_B⟩+|{\psi }_A⟩\otimes |{\psi }_B⟩+|{\phi }_A⟩\otimes |{\psi }_B⟩+|{\psi }_A⟩\otimes |{\phi }_B⟩$$
   结论的矛盾表明，量子态的线性叠加原理排斥了克隆任意量子态的可能性。

Shor算法思想简介

设待分解的大数为N，它的平方用二进制来表示有L位，即$N^2<2^L<2N^2$。选用的周期性函数为余函数类：
$$f(x)=a^x\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}N$$
这里$a(a<N)$是任选的一个与N互质的整数，x取从0到$2^L$的整数值。显然$f(x)$所取的值属于正整数集合$\{1,2,\cdots ,N-1\}$，且是一个周期性的函数。

一般来说，对于大数N，选定一个a，若能求得式中的余函数周期T，设T为偶数（若求得的周期T为奇数，另选一个a重来），则令$A=a^{T/2}+1$，$B=a^{T/2}-1$，求$(A,N)$和$(B,N)$的最大公约数C和D。由数论的结果可知，C和D是N的质因子$N=C\times D$。

取两组各有L各量子比特的存储器，通过幺正变换实现下式的纠缠状态：
$$\begin{gathered} \sum _{i=1}^n|x_i⟩⟩\otimes |f(x_i)⟩⟩ \\ =|x_1⟩⟩\times |f(x_1)⟩⟩+|x_2⟩⟩\times |f(x_2)⟩⟩+\cdots +|x_n⟩⟩\times |f(x_n)⟩⟩ \end{gathered}$$
式中$f(x)$是由上式定义的余函数，$n=2^L$。对存储器x作离散傅里叶变换：
$$|x⟩⟩=\frac{1}{\sqrt{2^L}}\sum _{k=0}^{2^L-1}{e}^{2\pi ikx/2^L}|k⟩⟩$$
于是两存储器里的纠缠态化为
$$|\Psi ⟩=\frac{1}{\sqrt{2^L}}\sum _{x=0}^{2^L-1}\sum _{k=0}^{2^L-1}{e}^{2\pi ikx/2^L}|k⟩⟩\otimes |f(x)⟩⟩$$
此时，第一个存储器（x存储器）变为k存储器。由于$f(x)$的周期性，上式中许多项可以合并，而且大部分项相消或近似相消。只有k取下列各值时系数（概率幅）明显不为0：
$$k=[m\frac{2^L}{T}],(m=0,1,\cdots ,T-1)$$
因此，除$k=0$外，$\frac{2^L}{k}\approx \frac{T}{m}$

量子计算机中Shor算法的每一步骤都是可以通过多项式算法来完成的。所以，在量子计算机中SHor算法是有效的算法。

量子计算

量子逻辑门

简介

1. 量子逻辑电路称为量子逻辑门，按输入比特的个数可分为单比特、二比特、三比特等。
2. 描述单一量子比特逻辑门的矩阵$U$都是酉矩阵，即$U^{†}U=I$.
3. 幺正性约束是量子逻辑门上的唯一的约束，任何一个酉矩阵都可以指定为有效的量子逻辑门。

常见门

1. $Z-gate$
   $$Z\equiv \left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right]$$
   保持状态$|0⟩$不变，将状态$|1⟩$的符号翻转成$-|1⟩$.即
   $$\begin{gathered} \alpha |0⟩+\beta |1⟩\to \left[\begin{array}{c}\alpha \\ \beta \end{array}\right] \\ Z(\alpha |0⟩+\beta |1⟩)\to \left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\alpha \\ \beta \end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\alpha \\ -\beta \end{array}\right]\to \alpha |0⟩-\beta |1⟩ \end{gathered}$$
2. $Hadamard-gate$
   $$H\equiv \frac{1}{\sqrt{2}}\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}\right]$$
   这个逻辑门有时被描述成为非门的平方根（实际并不是），它将$|0⟩$变换到$\frac{|0⟩+|1⟩}{\sqrt{2}}$，将$|1⟩$变换到$\frac{|0⟩-|1⟩}{\sqrt{2}}$.即
   $$U(\alpha |0⟩+\beta |1⟩)\to \frac{1}{\sqrt{2}}\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\alpha \\ \beta \end{array}\right]=\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\begin{array}{c}\alpha +\beta \\ \alpha -\beta \end{array}\right]\to \frac{\alpha +\beta }{\sqrt{2}}|0⟩+\frac{\alpha -\beta }{\sqrt{2}}|1⟩$$
   也就是
   $$\frac{|0⟩+|1⟩}{\sqrt{2}}\alpha +\frac{|0⟩-|1⟩}{\sqrt{2}}\beta$$
3. 其他单比特量子逻辑门
   $$\begin{array}{rl}X& =\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right]\\ Y& =\left[\begin{array}{cc}0& -i\\ i& 0\end{array}\right]\\ S& =\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& i\end{array}\right]\\ T& =\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& e^{i\pi /4}\end{array}\right]\end{array}$$
4. $Controlled-NOT$
   $$CNOT=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 1& 0\end{array}\right]$$
   受控非门的主要作用是在第一个比特为$|1⟩$时将第二个比特变换。也就是说，第一个比特处于激发态时，第二个比特转换态。即，对于
   $${\alpha }_{00}|00⟩+{\alpha }_{01}|01⟩+{\alpha }_{10}|10⟩+{\alpha }_{11}|11⟩\to \left[\begin{array}{c}{\alpha }_{00}\\ {\alpha }_{01}\\ {\alpha }_{10}\\ {\alpha }_{11}\end{array}\right]$$
   有
   $$\begin{gathered} CNOT\ast ({\alpha }_{00}|00⟩+{\alpha }_{01}|01⟩+{\alpha }_{10}|10⟩+{\alpha }_{11}|11⟩) \\ \to \left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 1& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\alpha }_{00}\\ {\alpha }_{01}\\ {\alpha }_{10}\\ {\alpha }_{11}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{\alpha }_{00}\\ {\alpha }_{01}\\ {\alpha }_{11}\\ {\alpha }_{10}\end{array}\right]\to {\alpha }_{00}|00⟩+{\alpha }_{01}|01⟩+{\alpha }_{11}|10⟩+{\alpha }_{10}|11⟩ \end{gathered}$$
5. 其他二比特量子逻辑门
   $$\begin{array}{rl}Swap& =\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]\\ Controlled-Z& =\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& -1\end{array}\right]\\ Controlled-phase& =\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& i\end{array}\right]\end{array}$$
6. $Toffoli$
   $$Toffoli=\left[\begin{array}{cccccccc}1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 1& 0\end{array}\right]$$
   Toffoli门是一个通用门，它在两个比特都处于激发态时，改变第三个比特的状态；在其他状态则保持不变。
7. $Fredkin(Controlled-swap)$
   $$Fredkin=\left[\begin{array}{cccccccc}1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$$

图灵机

经典图灵机

1. 经典计算机实际上就是一个通用图灵机，通用图灵机是计算机的抽象数学模型。
2. TM的构成
   • 记忆单元
   • 处理单元
   • 控制程序
3. TM的三元组$M=(Q,\Sigma ,\delta )$，其中$Q$是一个有限非空集合，表示TM的状态；$\Sigma$是一个有限非空集合，表示运算开始前输入数据的字符，其中有一特别的符号代表空白；$\delta$表示TM的控制程序的状态转换函数，该函数自$Q\times \Sigma$映射至$Q\times \Sigma \times D$（$D=\{L,R,N\}$分别代表读写头左移、右移（一格）或不移动。

量子图灵机

经典图灵机中，若每一步的移动存在不确定性，即当$q$和$\delta$给定时，图灵机以一定的概率$\delta (q,\sigma ,d)$变换到状态$q^{\prime }$和${\sigma }^{\prime }$及实行运动$d$.概率函数$\delta (q,\sigma ,d)$为取值$[0,1]$的实数，完全决定了概率图灵机的性质。

经典计算机理论证明，对解决某些问题，概率算法比确定性算法更为有效。

对所有不可逆的通用图灵机，都可以找到一个对应的可逆图灵机，使得两者具有完全相同的计算能力和计算效率。