高等代数 二次型与矩阵的合同(第6章)2 正定二次型与正定矩阵

一.正定二次型(6.3)
1.概念:

2.判定:

定理1:$n$元实二次型$x^{\prime }Ax$是正定的,当且仅当其正惯性指数等于$n$

推论1:$n$元实二次型$x^{\prime }Ax$是正定的
$\iff$其规范形为$y_1^2+y_2^2+...+y_n^2$
$\iff$其标准形中的$n$个系数均大于0

二.正定矩阵(6.3)
1.概念:

2.判定:

定理2:$n$级实对称矩阵$A$是正定的
$\iff A$的正惯性指数等于$n$
$\iff A\simeq I$
$\iff A$的合同标准形中的主对角元全大于0
$\iff A$的特征值均大于0

推论1:与正定矩阵合同的实对称矩阵也是正定矩阵
推论2:与正定二次型等价的实二次型也是正定的,从而非退化线性替换不改变实二次型的正定性
推论3:正定矩阵的行列式大于0

定理3:实对称矩阵$A$是正定矩阵的充要条件是其所有顺序主子式均大于0

推论1:实二次型$x^{\prime }Ax$是正定二次型的充要条件是$A$的所有顺序主子式都大于0

三.对正定的扩展(负定/半正定/半负定/不定)(6.3)
1.概念
(1)~二次型:

(2)~矩阵:

2.判定
(1)半正定:

定理4:$n$元实二次型$x^{\prime }Ax$是半正定的
$\iff$其正惯性指数等于其秩
$\iff$其规范形是$y_1^2+y_2^2+...+y_r^2(0\le r\le n)$
$\iff$其标准形中的$n$个系数均非负

推论1:$n$级实对称矩阵$A$是半正定的
$\iff$其正惯性指数等于其秩
$\iff$其合同标准形中的$n$个主对角元均非负
$\iff$其特征值均非负

定理5:实对称矩阵$A$是半正定的当且仅当其所有主子式均非负

(2)负定:

定理6:实对称矩阵$A$是负定矩阵的充要条件是其奇数阶顺序主子式均小于0,偶数阶顺序主子式均大于0

3.黑塞矩阵:

定理7:设二元实值函数$F(x,y)$有1个稳定点$\alpha =(x_0,y_0)($即$F(x,y)$在$\alpha$处的1阶偏导数全为0$)$.设$F(x,y)$在$\alpha$的1个邻域里有3阶连续偏导数.令$$H=\left[\begin{array}{cc}{F}_{xx}^{\prime \prime }(x_0,y_0)& F_{xy}^{\prime \prime }(x_0,y_0)\\ F_{xy}^{\prime \prime }(x_0,y_0)& F_{yy}^{\prime \prime }(x_0,y_0)\end{array}\right](5)$$称$H$是$F(x,y)$在$\alpha$处的黑塞矩阵(Hesse Matrix).如果$H$是正定的,那么$F(x,y)$在$\alpha$处达到极小值;如果$H$是负定的,那么$F(x,y)$在$\alpha$处达到极大值

该定理可推广的$n$元函数的情形:设$n$元实值函数$F(x_1,x_2...x_n)$有1个稳定点$\alpha =(a_1,a_2...a_n),F(x,y)$在$\alpha$的1个邻域里有3阶连续偏导数.令$$H=(F_{x_i{x}_j}^{\prime \prime }(\alpha ))$$称$H$是$F(x_1,x_2...x_n)$在$\alpha$处的黑塞矩阵(Hesse Matrix).如果$H$是正定的,那么$F(x_1,x_2...x_n)$在$\alpha$处达到极小值;如果$H$是负定的,那么$F(x_1,x_2...x_n)$在$\alpha$处达到极大值