相机内参数矩阵推导

假设每个像素在$x$方向的长度表示为$d_x$，$y$方向表示为$d_y$，单位是毫米，根据相似三角形的简单规律，则关于图中像点有如下公式成立：
$$\begin{array}{c}\left[\begin{array}{c}Zc/f=X_c/((u-c_x)d_x)\\ Zc/f=Y_c/((v-c_y)d_y)\end{array}\right]\end{array}$$
进一步整理得：
$$\begin{array}{c}\left[\begin{array}{c}u{d}_x-c_x{d}_x=f{X}_c/Z_c\\ v{d}_v-c_y{d}_y=f{Y}_c/Z_c\end{array}\right]\end{array}$$

进一步整理得：
$$\begin{array}{c}\left[\begin{array}{c}u=f{X}_c/(dx{Z}_c)+c_x\\ v=f{Y}_c/(dy{Z}_c)+c_y\end{array}\right]\end{array}$$
令
$$\begin{array}{c}\left[\begin{array}{c}{f}_x=f/d_x\\ f_y=f/d_y\end{array}\right]\end{array}$$
公式（3）可以写成
$$\begin{array}{c}\left[\begin{array}{c}u=f_x{X}_c/Z_c+c_x\\ v=f_y{Y}_c/Z_c+c_y\end{array}\right]\end{array}$$
写成矩阵形式：
$$\begin{array}{c}\left[\begin{array}{c}u\\ v\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}{f}_x& 0& c_x\\ 0& f_y& c_y\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{X}_c/Z_c\\ Y_c/Z_c\\ 1\end{array}\right]\end{array}$$
两边同事乘以$Z_c$可得：
$$\begin{array}{c}{Z}_c\left[\begin{array}{c}u\\ v\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}{f}_x& 0& c_x\\ 0& f_y& c_y\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{X}_c\\ Y_c\\ Z_c\end{array}\right]\end{array}$$把中间的矩阵写成方阵的形式，上式可以整理成：
$$\begin{array}{c}{Z}_c\left[\begin{array}{c}u\\ v\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}{f}_x& 0& c_x\\ 0& f_y& c_y\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{X}_c\\ Y_c\\ Z_c\end{array}\right]\end{array}$$
中间的矩阵即为相机的内参数矩阵。