洛谷 P3390 【模板】矩阵快速幂

【模板】矩阵快速幂

题目背景

一个 $m\times n$ 的矩阵是一个由 $m$ 行 $n$ 列元素排列成的矩形阵列。即形如

$$A=\left[\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{m1}& a_{m2}& \cdots & a_{mn}\end{array}\right]\text{.}$$

本题中认为矩阵中的元素 $a_{ij}$ 是整数。

两个大小分别为 $m\times n$ 和 $n\times p$ 的矩阵 $A,B$ 相乘的结果为一个大小为 $m\times p$ 的矩阵。将结果矩阵记作 $C$，则

$$c_{ij}=\sum _{k=1}^n{a}_{ik}{b}_{kj}\text{,(1≤i≤m, 1≤j≤p).}$$

而如果 $A$ 的列数与 $B$ 的行数不相等，则无法进行乘法。

可以验证，矩阵乘法满足结合律，即 $(AB)C=A(BC)$。

一个大小为 $n\times n$ 的矩阵 $A$ 可以与自身进行乘法，得到的仍是大小为 $n\times n$ 的矩阵，记作 $A^2=A\times A$。进一步地，还可以递归地定义任意高次方 $A^k=A\times A^{k-1}$，或称 $A^k=\underset{k\text{ 次}}{A\times A\times \cdots \times A}$。

特殊地，定义 $A^0$ 为单位矩阵 $I=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& \cdots & 0\\ 0& 1& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& \cdots & 1\end{array}\right]$。

题目描述

给定 $n\times n$ 的矩阵 $A$，求 $A^k$。

输入格式

第一行两个整数 $n,k$。
接下来 $n$ 行，每行 $n$ 个整数，第 $i$ 行的第 $j$ 的数表示 $A_{i,j}$。

输出格式

输出 $A^k$

共 $n$ 行，每行 $n$ 个数，第 $i$ 行第 $j$ 个数表示 $(A^k{)}_{i,j}$，每个元素对 $10^9+7$ 取模。

样例 #1

样例输入 #1

2 1
1 1
1 1

样例输出 #1

1 1
1 1

提示

【数据范围】

对于 $100\%$ 的数据，$1\le n\le 100$，$0\le k\le 10^{12}$，$|A_{i,j}|\le 1000$。

1、矩阵维度是 n, n<= 100, 矩阵乘法复杂度就是 O(n^3) = O(10^6)
2、矩阵快速幂， k <= 10^12,  复杂度是 log2(10^12) = 40 左右，
	则总体复杂度 O(10^7)

#include 
#include 
#include 
using namespace std;
typedef long long ll;
const int MaxN = 110;
const int mod = 1000000007;
ll n, k;

struct matrix
{
	ll c[MaxN][MaxN];
	matrix()
	{
		memset(c, 0, sizeof c);
	}
};

matrix R;

matrix multi(matrix& x, matrix& y)
{
	matrix r;
	for(int i = 1; i <= n; ++i)
	{
		for(int j = 1; j <= n; ++j)
		{
			for(int k = 1; k <= n; ++k)	
			{
				r.c[i][j] += (x.c[i][k] % mod) * (y.c[k][j] % mod) % mod;
				r.c[i][j] %= mod;
			}
		}
	}
	return r;
}

matrix quick_pow(matrix A, ll k)
{
	matrix res;
	for(int i = 1; i <= n; ++i)
		res.c[i][i] = 1;
	while(k)
	{
		if(k & 1)
		{
			res = multi(res, A);
		}

		A = multi(A, A);
		k >>= 1;
	}
	return res;
}

int main()
{
	scanf("%lld%lld", &n, &k);
	for(int i = 1; i <= n; ++i)
	{
		for(int j = 1; j <= n; ++j)
		{
			scanf("%lld", &R.c[i][j]);	
		}
	}
	R = quick_pow(R, k);
	for(int i = 1; i <= n; ++i)
	{
		for(int j = 1; j <= n; ++j)
		{
			printf("%lld", R.c[i][j]);
			if(j == n)
				printf("\n");
			else
				printf(" ");
		}
	}
	return 0;
}

/*
2 1
1 1
1 1
*/

/*
1 1
1 1
*/


/*
2 3
*/

/*
1 2
2 1
*/