PT_多维随机变量_概述

随机变量

• $X_1,X_2,\cdots ,X_n定义在同一个样本空间S$
  • $X=(X_1,X_2,\cdots ,X_n)为n为随机向量或者随机变量$
• 多维随机变量依赖于各个变量,还依赖与它们之间的联系

联合分布函数

• $设F(X,Y)=P(\{X⩽x\}\cap \{Y⩽y\})\widehat{=}P(X⩽x,Y⩽y)$

  • 其中,$\widehat{=}可以读作(理解为)$:记成
  • 偷懒点写,就直接用=,来表示了

• 上式称为二维随机变量的分布函数,为了强调多维,可以称为X与Y的联合分布函数

• F(x,y)可以看做是随机点(X,Y),落在以x,y为右上角顶点的无穷矩形$\alpha$内的概率

  • 即发生事件:$X<x,且Y<y的概率$

性质

• 右连续性:

  • $F(x,y)关于x,y都是一元右连续的$
  • $F(x+0,y)=F(x,y),F(x,y+0)=F(x,y)$

• 规范性:

  • $0⩽F(x,y)⩽1$

    • $$\underset{x\to -\infty }{\lim }F(x,y)=\underset{y\to -\infty }{\lim }F(x,y)=\underset{\begin{array}{r}x\to -\infty \\ y\to -\infty \end{array}}{\lim }F(x,y)=0$$

      $$\underset{\begin{array}{r}x\to +\infty \\ y\to +\infty \end{array}}{\lim }F(x,y)=1$$

• 区间和概率:

  • $给定两个点(x_1,y_1),(x_2,y_2)作为一个矩形的一条对角线,可以唯一确定一个矩形$

    • 并且可以确定下来全部的顶点:(顺时针环绕标记)

      • 左侧两点
      • $A=(x_1,y_1)$
      • $B=(x_1,y_2)$
      • 右侧两点
      • $C=(x_2,y_2)$
      • $D=(x_2,y_1)$

    • 分别以这4个点作为右上角顶点的无穷矩形对应的也有4个

      • $为了便于描述,以无穷矩形的右上角顶点作为参数,描述4个矩形为R(X)$

        • $X\in \{A,B,C,D\}$

      • $但是包含了矩形ABCD的只有4个中的一个(以R(C=(x_2,y_2))为有上角的矩形)$

  • $$\begin{gathered} P(x_1<X⩽x_2,y_1<Y⩽y_2) \\ =S(R(C))-S(R(B))-S(R(D))+S(R(A)) \\ =P(X⩽x_2,Y⩽y_2)-P(X⩽x_1,Y⩽y_2)-P(X⩽x_2,Y⩽y_1)+P(X⩽x_1,Y⩽y_1) \\ =F(x_2,y_2)-F(x_1,y_2)-F(x_2,y_1)+F(x_1,y_1) \\ =\sum _{i=1}^{2}F(x_i,y_i)-\sum _{i=1}^{2}F(x_i,y_{3-i}) \end{gathered}$$

边缘分布函数

• 多维随机变量的每个分量都是一维随机变量

  • 它们都有各自的分布函数
    • 一般的,有:
      • $F_{X_i}(x_i)=P(X_i⩽x_i)$
    • 对于二维
      • $F_X(x)=P(X⩽x)$
      • $F_Y(y)=P(Y⩽y)$
    • 分别称,这两个分布函数为(X,Y)关于X和Y的边缘分布函数(边缘分布)

• $可以认为,对于任意一个随机变量分量X_i$

  • $\{X_i<+\infty \}是一个必然事件,它和任意事件\Phi 的交集都是\Phi$

  • 那么:

    • $$\{X⩽x\}=\{X⩽x\}\cap \{Y<+\infty \}=\{X⩽x,Y⩽+\infty \}$$

    • $$\begin{gathered} F_X(x)=(X⩽x)=P(X⩽x,Y<+\infty )=\underset{y\to +\infty }{\lim }F(x,y) \\ 记作F_X(x)=F_X(x,+\infty ) \\ 相应的F_Y(y)=F_Y(+\infty ,y) \end{gathered}$$

联合分布和边缘分布的关系

• 联合分布通过求极限,可以确定唯一的边缘分布
• 边缘分布却无法反过来确定唯一的联合分布
• 因此,联合分布汇总不仅仅包含各个分量的信息而且包含了随机变量每个分量之间的关系的信息
  • 因此我们要从整体上研究多维随机变量
  • 而不仅仅独立研究各个分量