傅里叶变换（二）—— 卷积 Convolution

【参考资料】
1.万门大学：傅立叶变换、拉普拉斯变换与小波变换

【傅里叶变换系列博客】
1.傅里叶变化（一）—— 复数
2.傅里叶变换（二）—— 卷积
3.傅里叶变换（三）—— 傅里叶变换

1 什么是卷积

先给出卷积的定义（图源自维基）：
$$(f\ast g)(x)=\int f(t)g(x-t)dt$$

理解卷积的意义，结合例子 —— 计算粮仓中粮食的存留量
首先定义两个关于时间 $t$ 的函数 $f(t),g(t)$
其中，

1. $g(t)$: 粮仓接受新粮的速率
2. $f(t)$: 新粮经过 $t$ 时间后还剩下多少的比例
   

如图可知

1. g-t 图：粮仓在 $t_0$ 时刻接受了 $g(t_0)$ 数量的新粮
2. f-t 图：一定数量的新粮经过 $\Delta t$ 时间后只剩下原先的 $f(\Delta t)\times 100\%$。

进一步可得，对于在 $t_0-\Delta t$ 时刻接受的 $g(t_0-\Delta t)$ 数量的新粮，在 $t_0$ 时刻只剩下了 $f(\Delta t)g(t_0-\Delta t)$。由此我们就可以计算出 $t$ 时刻粮仓中的粮食存留量 $S(t)$
$$S(t)=\sum _{i}f(t_i)g(t-t_i)={\int }_0^{t}f(t_i)g(t-t_i)d{t}_i$$

2 卷积的常见性质

由于这些常见性质与普通的函数非常一致，也比较容易理解，因此这里指给结论不谈证明（具体证明请看参考资料1）

2.1 线性（分配率）

$$f\ast (\alpha g_1+\beta g_2)=\alpha f\ast g_1+\beta f\ast g_2$$

2.2 交换律

$$f\ast g=g\ast f$$

2.3 结合律

$$k\ast (f\ast g)=(k\ast f)\ast g$$